“開區間套”的充要條件及其證明與推廣

胡力文

【摘要】本文在閉區間套定理的基礎上，通過筆者的研究發現，給出了“開區間套”能夠“套”出唯一的一點的充分必要條件（即文中的“開區間套定理”）以及它的證明，并且把這一定理推廣到了高維情形.

【關鍵詞】開區間套;開區間套定理;開域套;開域套定理

在“數學分析”課程中我們已經知道，實數集R具有一種特性，通常稱為完備性或連續性，而有理數集Q卻不具備這種特性.實數的完備性使得極限理論乃至整個分析理論能建立在堅實的基礎之上.為了描述實數的完備性，我們有6條等價的定理，稱為實數的完備性定理，它們分別是確界原理、柯西收斂準則、單調有界定理、閉區間套定理、聚點定理和有限覆蓋定理.本文將從閉區間套定理出發，給出“開區間套定理”，并且把它推廣為高維情形下的“開域套定理”.

一、一維情形下的討論

三、結語：一點感悟

“數學分析”是高校數學系本科階段的一門專業基礎課，本身的理論已經相當完善，不再是一個專門的研究方向了.但是，我們在學習“數學分析”的過程中，還是應該多加思考，善于總結，不要滿足于課堂與教材上的內容，這樣才能有所收獲，甚至有所創新，為以后的進一步學習和科研打下扎實的基礎.

【參考文獻】

[1]華東師范大學數學系.數學分析（上冊，第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]華東師范大學數學系.數學分析（下冊，第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.