從《點(diǎn)集拓?fù)渲v義》的一個(gè)證明談子空間的理解與運(yùn)用

鄭言

【摘要】本文從《點(diǎn)集拓?fù)渲v義》的一個(gè)定理證明出發(fā)，分析了其中出現(xiàn)的一些問題，由此闡述了涉及子空間的概念和定理的理解與應(yīng)用問題，強(qiáng)調(diào)縝密嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要性.

【關(guān)鍵詞】點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué);子空間;局部連通性;連通分支

子空間是點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)中的重要概念，它既可以拓展拓?fù)鋵W(xué)的研究范圍，也可以幫助我們建立不同拓?fù)淇臻g之間的聯(lián)系，而且很多重要的概念，比如，連通子集、緊致子集等都是通過它來定義的，所以掌握好這一概念對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)十分關(guān)鍵.筆者在十余年的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，雖然子空間的定義和相關(guān)性質(zhì)在內(nèi)容上比較簡單，但是這并不代表它可以很容易地靈活運(yùn)用.本文就以熊金成所著的《點(diǎn)集拓?fù)渲v義（第四版）》為例，探討其中一個(gè)定理證明的理解問題.茲附原書定理和證明如下：

定理4.4.1 （（1）（2））設(shè)X是一個(gè)局部連通空間，X的任何一個(gè)開集的任何一個(gè)連通分支都是開集.

證明 設(shè)C是X的一個(gè)開集U的一個(gè)連通分支.如果x∈C，由于U是x的一個(gè)鄰域，所以x有一個(gè)連通鄰域V包含于U.又由于V∩C包含著點(diǎn)x所以不是空集，根據(jù)定理4.3.1可見VC.因此，C是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域.這證明C是屬于它的任何一個(gè)點(diǎn)x的鄰域，因此，C是一個(gè)開集.

其中，所引用的定理4.3.1是指：

定理4.3.1 （1）如果Y是X的一個(gè)連通子集，并且

定理4.4.1的證明雖然篇幅不長，但是其中也存在一些“問題”，或者說出現(xiàn)了“跳步”.筆者在教授這一節(jié)的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生都看不出其中的問題，哪怕是在筆者指出后，依然不解其意，所以證明細(xì)節(jié)就很有探討的必要了.其實(shí)該證明過程有兩個(gè)問題：

1.因?yàn)閄是一個(gè)局部連通空間，所以V是x在X內(nèi)的連通鄰域，而C是U的連通分支.如果用定理4.3.1，那么應(yīng)該是在子空間U內(nèi)應(yīng)用，需要V是x在U內(nèi)的連通鄰域.所以這里的問題是：V是x在X內(nèi)的連通鄰域是否一定有V是x在U內(nèi)的連通鄰域？

2.當(dāng)在子空間U內(nèi)應(yīng)用定理4.3.1后，得到C是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域，那么這個(gè)C也應(yīng)該是點(diǎn)x在子空間U內(nèi)的鄰域，而我們需要的結(jié)論是C是點(diǎn)x在X內(nèi)的鄰域.所以與問題1類似，這里的問題是：C是點(diǎn)x在子空間U的鄰域是否一定有C是點(diǎn)x在X內(nèi)的鄰域？

這兩個(gè)問題其實(shí)屬于一類問題，就是當(dāng)所探討的問題涉及拓?fù)淇臻g及其子空間時(shí)要特別注意一些定理的應(yīng)用范疇.一定要“因地制宜”，即如果在某個(gè)框架下應(yīng)用定理，那么所得到的結(jié)論也只適用于這一框架.所以上面所出現(xiàn)的問題都屬于“失位”，而解決的途徑就是“歸位”.先解決問題2：因?yàn)镃是點(diǎn)x在子空間U的鄰域，所以存在子空間U內(nèi)的開集W使得x∈WC.由于U是X的一個(gè)開集，所以W也是空間X的開集.因此，x∈WC也說明C是點(diǎn)x在X內(nèi)的鄰域.再解決問題1：因?yàn)閂是x在X內(nèi)的鄰域，所以存在空間X內(nèi)的開集W～使得x∈W～V.注意到VU而U又是X的開集，所以W～包含在開子空間U內(nèi)，也是子空間U的開集.因此，又由x∈W～V知此時(shí)V還是x在U內(nèi)的鄰域.最后，如果V是空間X內(nèi)的連通子集，是否一定有V子空間U內(nèi)的連通子集？這個(gè)一般情況下當(dāng)然是不一定成立，但是此時(shí)情形比較特殊，因?yàn)閁是空間X的開集.如果我們假設(shè)V是子空間U內(nèi)的不連通子集，則在子空間U內(nèi)存在兩個(gè)非空無交開集V1和V2，使得V=V1∪V2.特別地，因?yàn)閁是空間X的開集，所以V1和V2還是空間X的開集，但這就會(huì)由V=V1∪V2得出V是空間X內(nèi)的不連通子集，與假設(shè)矛盾.綜合以上事實(shí)，問題1得到了完滿解決.

在上面問題的解決過程中，我們可以看到當(dāng)涉及子空間的概念出現(xiàn)在問題中時(shí)，必須十分小心.一定要仔細(xì)甄別各個(gè)概念所適用的范圍，區(qū)分其是在大空間里還是在子空間里適用.應(yīng)用定理也是這樣，找到它的適用范圍，結(jié)論也只適用于這一范圍.在討論此類問題時(shí)也有“捷徑”：如果子空間是開子空間，那么開集就可以不加區(qū)分地使用;類似地，如果子空間是閉子空間，那么閉集、閉包也可以不加區(qū)分地使用.

點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)是一門高度抽象又嚴(yán)密的數(shù)學(xué)學(xué)科，雖然它隸屬于幾何大類，但是其內(nèi)容與分析學(xué)十分相近，而研究手法又接近于代數(shù)學(xué)，知識(shí)體系龐大復(fù)雜，環(huán)環(huán)相扣，層層推進(jìn).如果在學(xué)習(xí)過程中疏忽了一些知識(shí)，就可能在將來出現(xiàn)短板，會(huì)對(duì)一些知識(shí)點(diǎn)似懂非懂，甚至?xí)莆盏厮剖嵌?不積跬步，無以至千里.筆者希望通過對(duì)這個(gè)定理的探討，使廣大師生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的嚴(yán)肅性，一定要在起步階段夯實(shí)基礎(chǔ)，才能在將來游刃有余.我們可以通過點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的研討提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)他們形成縝密嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維.

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