抽象算法不可忽視算理支撐

張錫義

【摘 要】算法、算理構成了運算能力的左、右兩翼，小學數學計算教學中，正確理解運算能力的內涵是前提，著力突出法理并重的意識是基礎，達標檢測體現素養的功能是保障。

【關鍵詞】運算能力；算理；算法；抽象；支撐

【教材簡介】

蘇教版教材“分數四則混合運算”這部分內容，主要教學分數四則混合運算的運算順序及應用運算定律，進行一些簡便計算，教材安排了一道例題和一項練習（見圖1）。

例題以做中國結為素材，讓學生用不同的方法去解決實際問題，然后讓學生自主利用解決實際問題的已有經驗和對整數四則混合運算順序的理解完成計算，自覺把整數四則混合運算的運算順序推廣到分數四則混合運算中，由此得出：分數四則混合運算的運算順序與整數相同。在此基礎上，引導學生通過對兩種解法的比較，使學生進一步認識到：整數的運算律對于分數同樣適用。

【教學點擊】

對于“分數四則混合運算”的教學，絕大多數教師的案例思路無外乎以下兩種。

案例一：先復習分數的四則運算及整數、小數的四則混合運算；然后，教師指出：其實分數四則混合運算的運算順序與整數相同；接著出示例1，學生獨立解答，并進行相應練習；教師再次指出：整數的運算律對于分數同樣適用；最后，學生進行簡便運算練習，結束全課。

案例二：先復習分數的四則運算及整數、小數的四則混合運算；接著出示教材例1，學生列式解答后，教師總結：分數四則混合運算的運算順序與整數相同；然后教師帶領學生比較兩種解法，教師總結：整數的運算律對于分數同樣適用；最后，學生練習，結束全課。

課后細想，這節課大多教師的教學過程都可概括為：“一遷移”——分數四則混合運算的運算順序與整數相同，整數的運算律對于分數同樣適用；“二練習”——分數四則混合運算的脫式計算與簡便計算。但是為什么可以將整數、小數四則混合運算的運算順序遷移到分數四則混合運算？為什么整數的運算律對于分數同樣適用？此處明顯缺乏算理支撐的教學力度，學生對算法遷移的可行性體驗不深，對分數四則混合運算的算法抽象，過多關注了整數、小數四則混合運算的算法遷移，嚴重忽視了算法背后的算理支撐。

【案例透視】

一、探討：為什么教學設計忽視算理支撐

案例一中，先復習舊知，接著教師指出：其實分數四則混合運算的運算順序與整數相同。這個結論的依據在哪里？支持這種抽象算法的算理支撐點在哪里？這種設計的問題在于：其一，這是典型的“斬頭去尾燒中段”式的傳統計算教學，教師只管傳授計算法則，學生并不知道知識的來龍去脈，只要大規模練習提高計算的正確率。其二，教師先直接指出分數四則混合運算的計算法則，再教學例1及相關練習，有一種預先知道結論然后教師告知的感覺，傳達的只是現成知識，至于為什么是這樣的運算順序，學生全然不知，這樣的設計教學，似乎學生只要知其然，而不需要知其所以然。

案例二中，雖然教師直接告訴的成分有所減少，但分數四則混合運算的順序得出與整數的運算律對于分數同樣適用的抽象，只是對運算順序和運算律的淺層次遷移，算理的支撐點沒有穩固的錨樁，學生缺少遷移根基的體驗，知識習得猶如水面浮萍，缺少落地生根。

二、深究：為什么計算教學不能法理并重

1. 教師對運算能力的理解偏差

運算能力在《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）中作為核心概念再次提及，已經引起了廣大教師的高度重視，但是重提并不是回到從前，不應該被理解為“重新恢復那些復雜煩瑣的計算，追求高速度、高效率的計算”（劉堅語），弄清算理，掌握算法，是運算教學的兩個重要組成部分，因此當前的計算教學應當“法理并重”。

以上兩個案例的共同關注點是計算法則的直接出示，其共同的著力點是分數四則混合運算的鞏固練習，其共同的缺點是淡化了計算法則的得出依據。如此教學的結果是學生只知道分數四則混合運算的運算順序、運算律與整數相同，而為什么相同學生卻缺乏思考。

2. 缺少對算理知識的挖掘意識

張天孝老師說：“算理是運算的根本，算法是算理在具體問題中的應用和表現，掌握了算理就能更好地落實算法，有可能讓學生用算理去駕馭多變的算法，自主發現和發明算法。”由此可見，缺少對算理知識的挖掘意識，學生即使知道了不明算理的算法，也只能是機械執行算法的低水平計算練習，更談不上用算理去駕馭多變的算法，也就不可能達成《課標》中運算能力的目標。

研讀本課教材不難發現，教材表達算理支撐的意思相當清楚——在解決實際情境問題的基礎上理解算理，然后遷移抽象出運算順序和運算律。反觀案例教學，其一，案例一中先復習舊知，教師指出分數四則混合運算的運算順序與整數相同，接著教學例1并進行相關練習。潛在的前提是學生已經知道了分數四則混合運算的順序，犯了一個條件問題倒置的邏輯錯誤。這個教學設計嚴重缺失對算理知識的挖掘意識，嚴重偏離了計算教學法理并重的教學原則。其二，先解決含有分數的實際問題，后表述運算順序和運算律，這種先后的邏輯順序就清楚地表明分數四則混合運算的順序對學生是未知的。教學中要通過實際問題的解決，讓學生真實地體驗、感悟到實際生活中這個綜合問題的解決，可以有兩種方法：一是先算做18個大小不同的中國結各用彩繩多少米，后算一共要彩繩多少米；二是先算兩種中國結各做1個共用彩繩多少米，再算一共要彩繩多少米。這兩種實際問題解決的思路，學生很容易理解，這里解決問題的邏輯順序相當清楚，這就是導出分數四則混合運算的順序的算理支撐，這個運算順序就是實際問題解決的先后順序，這個運算順序不是整數、小數四則混合運算順序的簡單遷移，更不是教師不管來由的直接給出。

3. 檢測對運算能力的不夠到位

四則混合運算是小學數學檢測的必備題，而長期以來，在小學數學的檢測試卷中清一色的都是“用遞等式計算，能夠簡便計算的要簡算”等題型，學生只需記牢運算順序、計算法則，認真細心的計算，就能贏得計算題的高分，這也就造成了教師對學生計算已經過關的狹義認識。其實《課標》中運算能力的內涵遠不止于此，會計算、能正確計算不是計算教學的全部，平時的計算教學，也不是教師簡單地給出計算法則，學生機械地計算練習鞏固，檢測呆板地呈現遞等式計算試題。

【對策思辨】

一、前提：正確理解運算能力的內涵

從數學心理學的角度來分析，運算能力主要是指由問題最初定向、抽象概括能力、壓縮簡化運算環節能力、算法轉換能力、優化算法能力及記憶能力等六個要素構成。案例中的教師乃至絕大部分數學教師，對運算能力的理解停留在會計算、能正確計算的層面，這只能是計算最基本的淺顯的能力。尚若如此，只要求按算法正確計算作為教學目標，學生是不可能知道為什么要這樣算的依據，更談不上算法的優化及各種算法之間的聯系和轉換。所以，為了有效地進行計算教學，預防出現案例中的狹隘教法，作為數學教師，要正確理解運算能力的內涵，并據此內涵確定計算教學的目標，實施計算教學的正確教法。

二、基礎：著力突出法理并重的意識

曹培英老師曾指出：算法、算理構成了運算能力的左、右兩翼，在小學數學中兩者是相輔相成的，計算法則教學中要實現兩者的有機融合，做到循理入法，以理馭法，以法促理。新課程的計算教學，已經徹底改變了傳統教學中“斬頭去尾燒中段”的做法，關注的不僅僅是會計算及正確計算，而是高度重視知識的來龍去脈。新課程下的計算教學，學生既要知道算法，同時更要明白這一算法得出的算理支撐；教師要豐富算理、算法這一運算能力的雙翼教學，扎實計算教學中法理并重的意識基礎。

三、保障：達標檢測體現素養的功能

傳統的運算能力的檢測題題型無外乎以下幾種：“直接寫得數”“列豎式計算”“用遞等式計算、能夠簡便計算的要簡算”等，檢測的關注點重在計算結果的正確，很少關注計算的算理考查，以至于反映在教學中的輕算理剖析、重算法記憶、挺計算正確的不科學教法，學生的計算素養不能進行有效的達標檢測。因此，拓寬運算能力檢測的呈現形式，發揮達標檢測促進教學的功能，應是計算教學的當務之急。運算能力的檢測可從以下幾個方面拓寬形式。

1.算術四則運算，畫出直觀圖形，考查算理掌握

畫圖直觀表示出四則運算的含義，是考查學生對算理是否真正掌握的有效方法。如四則運算中分數乘分數算理的檢測，可以給出一道分數乘分數的算式，讓學生根據算式用圖形表示出其計算的算理；或者通過下面的選擇題形式進行考查。下面的大長方形都表示“1”，（ ）的涂色部分可以表示[45×23]的積。

2.列出豎式計算，標注數字含義，明晰豎式算理

對于計算中的列豎式計算，不能僅僅讓學生列出豎式、算出得數，還可以讓學生在豎式中標注出每一步計算的含義。

如小數除法9.6÷3的豎式計算，除了要列出計算的豎式，還應要求學生標出豎式中商“2”及移下來的“6”等相關數字表示的意義。如果學生能正確解決這些問題，就能很好地理解商中小數點為什么跟被除數小數點對齊的道理。

3.四則混合運算，尋找生活原型，理解運算順序

對于四則混合運算，可以給出混合運算式題，讓學生還原出生活中的現實原型，在結合現實問題的解決中，理解四則混合運算的運算順序，這種考查方法可以理解為結合算式合理編出生活中的實際問題。如對于分數四則混合運算：

學生可以編出：六（1）班有48人，參加書法興趣小組的人數占[34]，參加美術興趣小組的人數占[23]。參加書法興趣小組的人數比參加美術興趣小組的人數多幾人？

上面幾種檢測題型，是對傳統運算能力檢測題型的拓展，能實質性地考查學生對算理的掌握程度，能有效提高師生對運算算理的關注程度，是對計算教學法理并重理念在檢測中的有效回應。

（安徽省池州市東至縣教學研究室 247200）