從省略“個”，到“量”與“率”的重構

于飛 鄭佳麗

【摘 要】在分析學生認知起點和人教版教材關于分數知識點編排后，可以嘗試像教自然數那樣，從表示“量”大小的角度教分數。具體可以從凸顯分數產生過程、1份大小、數形結合三方面，從“問”到學生起點、“圖”表分數大小、數形結合表示“量”三個策略來認識分數表示量的含義。實踐表明，從“量”開始的認識分數教學，符合學生認知規律，學生更能接受和理解分數的意義，并取得較好的教學效果。

【關鍵詞】分數意義；率；量；認識分數

數概念的教學中，在小學三年級之前只有像自然數1、2、3、4這些表示事物數量的叫“數”。慢慢地在分物的過程中，不能分得整數個時，就產生了“分數”。認識分數的起始課，對學生后續學習“分數的意義”，甚至三下的“小數的意義”和五下的“分數與除法”具有深遠影響。認識分數有兩條路徑“率”和“量”，即表示一個數與另一個數之間率的關系，還是表示一個數量的大小。

對于“率”和“量”的探討，筆者進行了多次教學實踐，并對“量”“率”重構的分數教學進行了一些探索和思考。

一、展現認知起點，且看分數“率”中問題

（一）教師的教——數與形，忽略“個”

分數的概念具有雙重性，既有“數的特征”，也有“形的特征”。借助直觀和操作認識分數，將分數的“份數”定義和分數從自然數的拓展定義 “除法”定義有機結合，使學生更好地認識[1（ ）]。嘗試從“數” 的意義認識分數，滲透分數是表示兩個量之間的關系，即表示“率”。

【片段1】

如果村委主任只有1個月餅，平均分給四人怎么分？

（1）你能公平地分一分嗎？把圓形紙片當作月餅，怎么分？

學生上臺操作，把圓片平均分成4份。

（2）想一想：把1個月餅平均分成4份，用怎樣的算式來表示這個分法呢？（ 板書：1÷4= ）

（3）再想一想：每人可以分到這個月餅的多少呢？

生：[14]個。 （板書：[14）]

分數指向于“率”時，對學生來說較抽象，不像學習自然數時有“量” 的支撐，學生在回答“可以分到這個月餅的多少”這個問題時，答案是“[14]個”，它是指向于“量”，而教師有意識地省略了“個”，這其實反映了學生對于分數的認知起點：分數是一個表示“量”，而不是兩者之間“率”的關系。

（二）學生的學——操作與語言，不內化

每人可以得到[14]個月餅，量可以摸得著。而對于“一個月餅平均分成4份，其中的1份就是這個月餅的[14]”這樣的分數意義的理解浮于文字表面，沒有內化。在本節課后半段，學生仍然會出現“[18]個”這樣的答案。由此可見，學生對于[14]和[14]個是不能正確區分的。

忽略單位“個”，不尊重學生認識一個數的邏輯規律和認知起點，致使學生被動地接受分數表示的是數與數之間的關系，即“率”。

二、追尋教材原因，探求先有“率”的邏輯問題

（一）忽略學生認知起點

同一分物過程，前三次的結果是表示“量”，學生很容易理解，而為了迎合書本“每塊是它的（ ）分之一”，表示一個量與另一個量的關系，硬生生要求學生表達出：1個月餅平均分成4份，每一份是它的[14]。

從認識整數邏輯規律的“1個、2個、3個”跳躍到分數教學中的“[14]”，學生很詫異。生活經驗告訴學生，分物的結果是得到一個具體的“量”，教師為什么要硬拉著學生去反復理解[12、14]呢？不尊重學生的認知起點，致使多數學生對分數的理解仍然是模糊的、拗口的、困難的。

（二）缺少“量”到“率” 的有效銜接

1.認識自然數，從“量”開始

人類認識自然數的順序就有如下圖所示（一年級上冊第一單元“1～5的認識” 插圖）。自然數1的認識：從實物中抽象出1，表示“1個”，數量的多少，一個具體的量，而不是“1倍”。認識自然數如此，分數也應符合認識一個數的規律。

2.分數認識單刀直入，有違認知規律

“平均分”和“它的”明確指出了分數概念的基本要素，強調只有平均分才能得到它的幾分之一，重點體會分的是“誰”就是“誰” 的幾分之一。

從“半塊”到“一半”，教學中短短幾秒鐘的稍縱即逝，學生是無法感受這一過程和理解的。即教材單刀直入式的教學編排，不符合學生對于一個數的認知規律。

3.從分數到小數，自相矛盾

誠然，教材的安排有其自身的想法，可是教學三年級下冊“小數的意義”時，前后矛盾了。在此之前，學生已經“被動”接受了分數表示的是“率”，分數是沒有“單位”的。而認識小數時教材中突然出現了[310]“米”，在此之前教材中出現的所有分數都表示“率”。分數到底表示“率”還是“量”？

基于對學生認知起點和教材編排分析，筆者認為在認識分數的第一節課省略了單位“個”，是有違認識一個數的規律。正確的應該是先從“量” 的教學，再到“率” 的教學。

三、打破教材束縛，實踐先有“量”的分數教學

認識分數凸顯三點：①分數的產生過程，引導學生經歷把1平均分成幾份，其中的1份或者幾份的過程；②1份的大小，而不是這1份與整個月餅的關系；③數形結合，借助形的直觀來理解分數“量”的含義。

（一）從整數個到分數個，凸顯分數產生過程

自然數“1”開始表示的是如1頭大象、1個人，“1”表示的是事物的數量，后來在分物或者度量的過程中不能得到整數個時，就產生了分數。從分數的產生過程分析，分數首先是用來表示數量的。在筆者的實踐教學中從分物導入，每人拿到4個、2個，數表達的都是“量”。因此把1個月餅平均分成4份時，得到的這個數表達的是“量”，所以緊接著提問：每人還可以得到多少“個”呢？

【片段2】“問”到學生起點

（分物導入，產生剩余）

（1）16個月餅，平均分給4人，每人分到（ ）個。

口答：4個。

（2） 8個月餅，平均分給4人，每人分到（ ）個。

口答：2個。

（3）5個月餅，平均分給4人，每人分到（ ）個，還剩（ ）個。

口答：每人1個，還剩1個沒有分。

師：生活中分東西，有像前面兩題正好分完，可有時還有剩余。今天我們就要把這個月餅繼續分下去，每人還可以分到多少個呢？

這一提問順應了分物的結果表示“量”，從整數個到分數個能較好過渡，分數的出現對學生而言充滿著好奇，但不詫異。

（二）“量”“率”重構，凸顯1份的大小

5個月餅平均分給4人，每人得到的就是“量”，得到用整數表示的“1個”和用分數表示的“[14]個”。因此在教學中，筆者有意識地把1個月餅貼在黑板上，再把剪下來的[14]個月餅涂色貼墻上，強調這一份表示的是大小，是能“摸”著、能體驗到它的大小的。

【片段3】“圖”表分數大小

（先強調平均分，學生把一張圓紙折成如右圖）

師：把一個月餅平均分成4份，那其中的1份是多大呢？誰來指一指？（生指了其中1塊）

師：這一塊對嗎？上面這1份可以嗎？（4份中的任意1份都可以）

（教師把其中一塊涂色。教師呈現下圖）

師：誰知道這1份是多少個月餅，有多大？

生：[14]個。

師（板書分數）：這個數讀作四分之一，今天我們就來認識一個新的數。（板書：分數的初步認識）

在分物過程中出現分數，很順利地理解[14]表示事物的量。借助板書貼紙，凸顯這一份[14]個是直觀摸得著的大小。“量”“率”重構，在實踐先有量的分數教學時，將板書科學利用能夠更好地幫助學生認識分數。

（三）數形結合，理解分數表示“量”

1.由形到數，直觀理解

借用圖形，讓學生體驗和感受分數“量”的大小，使學生直觀認識和理解分數的含義。

【片段4】

（課件出示題目和圖）

把一個圓，平均分成2份，每份是（ ）個圓。

把一個圓，平均分成3份，每份是（ ）個圓。

（學生寫分數，口答后，出示下一問題）

把一個圖形，平均分成8份，每份是（ ）個圖形。

生：[18]個。

[18]、[14]、[13]、[12]等分數借助形的特征，理解分數與以前認識自然數時一樣都表示事物的大小，并且感知在同一個大小的圓里，不同分數表示不同的大小。

2.由數到形，理解[18]個的含義

圖形不局限于圓，從圓擴展到任意圖形，更可以揭示分數的本質，使學生“求同存異”理解分數。

【片段5】

把圖形平均分成8份，每份是（ ）個圖形。

生：[18]個。

師：想一想，這一份有多大呢？你能找找身邊的圖形，折一折找到[18]個嗎？

（粘貼[18]個）

師（追問）：這三個圖形，有什么共同的地方？同樣是[18]個，為什么大小不同？

通過追問，觸及分數本質：都表示把圖形平均分成了8份，其中1份的大小就是[18]個；同樣是[18]個，但大小不一，感知分數的大小是由事物原本大小決定的。

四、反思與總結

（一）像教學自然數那樣認識分數

學習分數是學生在小學階段學習數概念的第一次巨大拓展，教師要尊重學生認識一個數的邏輯規律，使學生體會到認識分數其實與人類最開始學習自然數是一樣的，都表示事物的大小，只是這一份的大小小于完整的1個。

（二）帶量教學與數形結合有效溝通

實踐先有量的教學，需要有“形”的有效支撐。既然分數表示一個事物的大小，這大小必須使學生能感知體會到。課堂上通過學生的折一折、涂一涂等行為，借助形的直觀性，凸顯1份大小的教學，促進學生更好地理解分數表示“量”的含義。分數的認識和教學不是一蹴而就的，教師可以將形的特征與分數的抽象有機結合，展開有針對性的教學。

（三）當1份數量大于1個時教學“率”

認識分數從量開始，但不表示三年級只教學表示“量”的分數。從人教版三年級上冊教材編排“分數的簡單應用”這一內容開始，當事物平均分之后，每份的數量超過1個時，再去理解分數表示一個量與另一個量之間的關系較為合適，即部分與整體的關系，三年級不教學部分與部分的關系。

[14]是一個分數，更是一個“量”的數。“認識分數”是分數的起始課，教師要幫助學生完善分數“量”的概念，讓學生從心底接受分數，也就是整體從“量”的角度去處理分數，而不是從“率”的角度去教學。當教師讀懂了學生的認知起點，將起點與教材進行有效整合，讓學生先從“量”慢慢地過渡到“率”。數學課堂只有更接地氣，才會使教師的教和學生的學深度融合。

（浙江省海寧市南苑小學 314400）