定位精準 凸顯素養*
——“函數復習選講”二輪復習課引發的思考

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(平湖中學，浙江 平湖 314200)(鎮海中學，浙江 寧波 315200)

2018年3月23日，浙江省沈虎躍名師網絡工作室學科帶頭人海鹽高級中學趙琴學老師在桐廬中學開設了一節題為“函數復習選講”高三二輪復習課.這節公開課設計不僅樸實而且非常高效，選題不僅精煉而且非常具有代表性，在充分尊重學生的同時，又激發了學生對問題解決的熱情.下面筆者簡要回顧課堂教學的部分環節以及自己的切身感受，談談自己對課堂教學的思考.

1 重視概念，提綱挈領

趙老師在課前設置了“知識儲備”環節，該環節要解決兩個問題：1)函數的三要素是什么；2)研究函數主要研究哪些方面.學生經過思考后進行回答，趙老師利用PPT展示了這兩個問題的答案：1)定義域、對應關系、值域；2)圖像性質.《普通高中數學課程標準(實驗)》指出：“教學中應強調對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿高中數學教學的始終，幫助學生逐步加深理解.”章建躍博士曾說過：“解題錯誤主要源于概念把握不準.”

在高三的二輪復習中，既要兼顧對教材概念、思想、方法的回顧，又要把相互關聯的概念、思想和方法有機地串聯起來，使學生能夠達到真正意義上的融匯貫通.這兩個問題設置得簡單而有內涵，恰好起到了這樣的作用.函數概念是在《數學(必修1)》中學習的，是比較抽象的概念之一，在高三的上學期也會進行比較詳細的復習，在二輪復習時有必要再次激發學生的靈感，從而讓所學知識實現螺旋上升.

2 關注本質，百花齊放

例1已知函數f(x)=|x2-1|+x2+kx,其中k為實數，若函數f(x)在區間(0,2)上有兩個不同的零點，求k的取值范圍.

課堂上學生到黑板板演的解法整理如下：

生1：不妨設0

圖1

所以f(x)在(0,1]上是單調函數，因此f(x)=0在(0,1]上至多有一個解(如圖1).若1

不符合題意，從而

0

于是

即

解得

圖2

生3：因為|x2-1|+x2+kx=0有兩個不相等的實數根，所以函數g(x)=|x2-1|與h(x)=-x2-kx有兩個不同的交點.如圖3，g(1)=0，g(2)=3,從而當h(x)=-x2-kx的圖像經過點(1,0)和(2,3)時，

h(1)=-12-k=0，h(2)=-22-2k=3,

于是

圖3 圖4

生4：因為|x2-1|+x2+kx=0兩個不相等的實數根,所以

如圖4，f(x)與g(x)=-kx有兩個不同的交點.又

f(1)=|12-1|+12=1,

f(2)=|22-1|+22=7,

從而

g(1)=-k>1，g(2)=-2k<7,

于是

g(x)=-x-k,

又

圖5

g(1)=-1-k>0，

于是

感悟例1是2007年浙江省數學高考文科試題第22題的第1)小題.教師給學生留出充分的思考時間，讓學生自己進行解法梳理.在這個過程中，教師密切關注學生“從哪一個視角入手”“在解答過程中的障礙在哪里”.學生思考之后，教師選擇了5名學生先后上黑板進行板演，這5名學生通過不同的構造函數的方法，結合所構造的函數圖像，轉化為兩個函數在區間(0,2)上有兩個不同交點的問題.

本題實質是在考查學生對函數零點概念的理解，并且融多種數學思想及解法于一體，這也是處理函數零點問題最基本的方法.一個等式或不等式通過變形，可以構造多種不同的函數，進而研究所構造函數交點的相關問題.構造兩個不同的函數優先選擇其中一個函數是常函數，另外一個是我們比較熟悉的函數；其次是構造兩個非常函數，這兩個函數都是比較熟悉的函數.本課中，5名學生構造函數的方式恰好遵循這樣的原則，而且學生的思考時間并不是很長，這說明學生有非常好的數學素養，這正是數學高考二輪復習所希望見到的效果.

3 點評到位，錦上添花

在生4的解答之后，趙老師和板演的學生進行了如下交流.

生4(思索)：不一定.

師：那個關鍵點在哪里呢？

生4：和二次函數的切點有關.

師：非常好，我們徒手畫出的圖像是有誤差的，因此在關鍵的位置要輔助精確的計算.如何算出此時的k值呢？

師(掌聲)：非常棒！

感悟學生在解題時，可能更多關注的是答案是否正確，例1采用數形結合得出的結果很明顯是正確的，但是學生在解決過程中缺乏嚴謹性.教師在點評時與學生進行了看似簡單的溝通，卻在邏輯思維方面給予了學生非常好的示范.教師在與學生交流的同時，把解決函數問題的工具性知識(導數知識)進行了很好的滲透.

4 強化訓練，思維升華

圖6

f(x)=xlnx-x,

進而

感悟此解法是學生板演的，該學生完成得非常流暢，一氣呵成，說明學生對將零點問題等價轉化為兩個函數的圖像交點問題掌握得非常熟練，并且通過例題的深入剖析已水到渠成了.該練習題研究函數的單調性，學生非常自然地利用導數工具進行求解，所構造的函數是一個奇函數和一個常函數(這實際上是該題的理想構造)，所求參數的值只有在極值(直線與函數圖像相切)處取得.該題對方程的等價變形及函數性質的要求還是比較高的，學生能夠在短時間內通過分析然后選擇性價比高的解法，并且圓滿得出結果，說明學生在這節課中的學習效果非常好.

5 教學啟示

1)教學要處理好“放”和“收”的關系.

對例題的嚴謹性的論證是否還有其他方法呢？高一的學生能否解決呢？事實上，二次函數的切線問題可以通過聯立方程，利用Δ=k2+8>0解決.深入觀察后發現直線過定點(0,0)，但是這個定點在拋物線的內部，過定點的直線一定不會是拋物線的切線.教師在課堂上是否要把自己研究過解決問題的方法全部傾囊相授，是否所有的學生都有能力把教師辛辛苦苦研究的解法全盤內化？在課堂上，教師是主導，學生應該是主演，上課內容的探究也應該要留白，只有給學生留下一些繼續探索的空間，學生才能夠飛得更高.

2)教學要處理好“本”和“末”的關系.

例1的參考答案有一種解法是利用解方程的思想來研究零點，人教A版《數學(必修1)》第87頁明確指出：方程有實數根等價于函數與x軸有交點,等價于函數有零點.通過解方程的根來研究函數的零點，考查的是學生的數學運算素養；通過等價轉化研究兩個函數的圖像交點，考查的是學生的直觀想象及數學建模素養.章建躍先生曾說過：“要讓學生養成‘回到概念去’思考和解決問題的習慣.”張奠宙教授也說過：“數學教學的有效性關鍵在于對數學本質的把握、揭示和體驗.”因此，教師在課堂上應該更多地關注所研究問題的本質，而不應該把采用什么形式解決問題作為重點關注對象，通過一段時間引領，學生會對數學產生興趣，實現在學習中思考、在探究中提升的效果.大道至簡，揭示問題本質，正是我們的教學追求[1].

3)教學要處理好“遠”和“近”的關系.

圖7

結合兩個函數圖像(如圖7)，當k<0時,若x<0,則兩個函數圖像只有1個交點；若x>0，則兩個圖像有1個公共點，此時兩個函數圖像相切(根據不同函數的增長速度).設函數的公切點為(x0,y0)，則

在課堂上，教師對于試題的挖掘要根據學生的不同階段、不同課型進行，同時課堂的設計也要有近期目標(即本節課要達到什么效果)及長遠目標和學生的可持續發展.正如波利亞曾形象地指出：“好問題同某些蘑菇有些相似，它們大都成堆生長，找到一個之后，你應當在周圍再找一找，很可能就有幾個.”在學生的最近發展區設計有探究價值的題目，鼓勵學生都參與其中，實現“做中學，學中悟”，從而實現學生數學素養的提升.

總之，數學教學不只是教給學生數學知識、思想方法，還要教會學生如何思考[2].數學家克萊因說過：“教師掌握的知識要比他所教的知識多得多，才能引導學生繞過懸崖、渡過險灘.”因此，在課堂上要實現對學生進行恰當、高效的引領，需要教師不斷提升自身的數學素養.