慧眼看真相

徒旭波

[摘 要] 學起于思，思源于疑. “思”是學習的重要方法，“疑”是啟迪思維的鑰匙. 本文以教學中的實際案例來探析如何“預設”質疑點，以及如何把握隨堂“未預設”的質疑點，以提高學生的質疑能力.

[關鍵詞] 數學教學；質疑能力；培養

古人云：學起于思，思源于疑. “思”是學習的重要方法，“疑”是啟迪思維的鑰匙. 教師在平常的數學教學中要摒棄“一言堂”，放下“權威”，營造學生“敢言”“敢疑”的學習氛圍，激發學生學習的熱情，培養學生良好的思維習慣.

案例1 2=4？

在“一元一次方程的解法”學習后，設計一道題的解答過程.

解：2（x-2）=4（x-2），兩邊都除以（x-2）得2=4，所以方程無解.

師：上述解答對嗎？

生1：對吧，步驟上應該沒有問題.

生2：好像不對，我解出來有解，但我不是這樣解的.

師：你怎么解的？

生2：先移項，再提取公因式得-2（x-2）=0？搖，即x-2=0，x=2.

師：你解得步步在理，但他的解法看上去也沒有什么不妥，究竟錯在哪里？

生3：我發現一個問題，x=2是方程的解，那么x-2豈不是等于0，兩邊是不能除的！

師：為什么不能除？

生3：因為等式的兩邊同時除以不為零的整式，等式仍成立，否則等式不成立.

師：找到問題所在了，就是在運用等式基本性質進行等式變形時忽略了限制條件，導致求解方程出錯. 事實上，數學有一些性質、定理、基本事實都是有前提條件的，同學們在今后的學習中要精益求精，不可模糊記憶，要正確理解.

探析 本題為預設的質疑題，以謬論對學生的思維構成強烈的沖擊，讓學生從解題依據上質疑，創造一個質疑的空間，在不斷的追問中讓學生發現問題，追溯錯誤的源頭，揭示問題的本質在于方程變形時所依據的前提條件被忽略了，導致謬論的出現.

案例2？搖 所有三角形都能證明是等腰三角形.

學習了等腰三角形的內容后，筆者在一次復習課上，引用了一道網紅題.

師：今天我給大家帶來了一道有趣的問題，曾經有人揚言：所有的三角形都能證明是等腰三角形，而且還非常嚴謹地證明了一番. 現在我來轉述一下過程.

證明：如圖1，作∠BAC的平分線，BC的中垂線交于點G，過點G作GE⊥AB于點E，GF⊥AC于點F.

因為∠EAG=∠FAG，∠AEG=∠AFG=90°，AG=AG，所以△AEG≌△AFG（AAS），所以AE=AF，EG=FG.

因為GD垂直平分BC，所以BG=CG，所以Rt△GEB≌Rt△GFC（HL），所以BE=CF，所以AE+BE=AF+FC，即AB=AC.

師：怎么樣？上面的證明從頭到尾，合情合理，太匪夷所思了. 但是同學們你們認為這個結論正確嗎？

生1：這不可能正確.

師：那問題出在哪？你們試著想想看.

學生們或盯著黑板反復看步驟，或拿起筆在草稿紙上依樣畫葫蘆，只有極少數的人開始慎重地用工具嚴格作圖，過一會兒，一個學生開口了.

生2：老師，奇怪了，我作出來的圖和你黑板上的不太一樣.

師：哦？你是怎么畫的？

生2：我很嚴格地用尺規作了角平分線和中垂線，但是交點總是在三角形的外面.

師：真的嗎？我們不妨一起來作作看.

于是，借助工具在黑板上準確作圖（如圖2），重新證明.

可證AE=AF，那么AB>AE=AF>AC，顯然結論不成立.

師：那么既然我們通過畫圖可以獲知交點總在外面，是不是也可以通過推理證明來解釋這一現象呢？

師：大家有沒有發現最終兩線交點的位置實際上與BC中點D的位置有關，那么點D的位置如何確定呢？

生3：若點D在點H的左側，交點必在外面.

師：很好，也就是要證明BH>HC.

……

最后師生共同探究用面積法（圖3），證明了BH>HC，即角平分線AH與BC的交點H與點A位于BC中垂線的同一側，故與中垂線的交點在三角形外部.

探析 本題為預設的質疑題，從畫線構圖上質疑，選擇一個經典的幾何謬論，激發學生多角度質疑. 從推理過程中根本找不到漏洞時需要轉變質疑的方向，利用工具作圖發現問題所在，因勢利導，再度發問：交點在外面是否可以通過推理論證？在不斷地提出問題，解決問題的過程中培養、發展和提高學生質疑能力和思維品質.

案例3？搖 奇怪，64=65？

一次市級公開課上有教師設計了一個有趣的問題，這是一道圖形面積的問題，神奇之處在于通過一剪一拼，最后面積居然變多了？下面我們一起來見識下：把圖4中8×8的正方形分割成四塊，然后拼成右圖所示的圖形，算算兩者的面積，你發現了什么？

生1：左邊是64，右邊是65.

師：可能嗎？

生2：不可能啊，雖然剪開再拼，但是面積不會變的??？奇怪了！

師：既然不可能，那么問題肯定存在，問題在哪？

生3：我們可以用方格紙剪一剪，試著拼拼看嗎？

師：當然可以，大家也可以一起操作試試.

過了一會，同學們驚喜地找到了答案.

生4：拼圖有問題，中間有空隙，直角三角形的斜邊和梯形的這邊根本不在同一條直線上，原來我們被忽悠了.

師：確實如此，你們通過動手操作實踐找到了破綻之處，很棒，那能否通過計算來解釋呢？

生5：只要說明三點不共線就可以了.

師：如何說？

生5：分別求AB，BC，AC，可得AB+BC>AC，即證.

生6：也可以建立直角坐標系，求AB解析式，再驗證點C不在直線AB上.

生7：∠ABD≠∠BCE，就可以說明三點不共線的.

……

探析 本題為教師預設的質疑題，從眼見為實上質疑，運用教學輔助工具讓學生親眼看見了圖形的剪拼過程，卻不可思議地發現面積多出來的結論. 拋疑激思，讓學生在實際操作中尋找破綻，推波助瀾，在肯定學生做法后引導學生還可以通過數據結合計算等手段進行質疑.

案例4？搖 莫非證明了勾股定理？

在“三角形的內切圓”一課新授后，求直角三角形內切圓半徑時，有兩位同學用不同的方法得到兩種不同的結果.

生1：由面積法得r= .

生2：由切線長定理得r=.

學生疑問：同一個圓怎么會得到兩個不同的答案？

學生爭論：是否有一個答案算錯了？

于是大家都驗算一遍，發現沒有問題.

生3：這兩個答案在數量上應該是相等的，是否是a，b，c 存在著某種數量關系？

于是師生共同板演=的變形過程，得：a2+b2=c2.

生（頓悟）：原來是滿足勾股定理！

老師頓時察覺這是否可以作為勾股定理新的證明方法. 于是教師畫弦圖，重新展示了勾股定理的證明過程. 學生迷茫地看著老師，為什么在這里演示勾股定理的證明？

師：請同學們對比一下這兩個過程，你有什么想法？

生4：老師的意思，莫非我們今天的發現，可以用來證明勾股定理？

學生頓時無比興奮！

師（一時也沒把握）：要證明勾股定理，則a2+b2=c2是要證明的結論，要避免以前循環論證的錯誤，就像以前我們部分同學犯過的錯誤，證明一個結論，無意識地把它當作條件，兜一圈，再來證明這個結論. 那么在這里需要明確的就是，我們兩種結果的得出有沒有用到勾股定理，如果用到了，再證明勾股定理，就犯了循環論證的錯誤了.

學生回到了兩位同學的解答過程.

生5：兩種都沒有用啊！

師：切線長定理是否與勾股定理有關？我們是怎么證明切線長定理的？

生6：全等三角形！

師：哪種全等方法？

生6：HL.

師：HL的證明，是否用到了勾股定理？

此時的課堂眾說紛紜，一石激起千層浪，爭論在課后延續，思維在爭論中成熟……

探析 此案例沒有預設的質疑，題從邏輯推理上質疑，通過半徑的兩個推導公式引出的a2+b2=c2，是否真的又一次證明了勾股定理？解決這個問題的本質是挖出切線長定理，HL定理得到的依據有沒有用到勾股定理，搞清楚整個論證的背后有沒有循環論證，這樣一個發人深省的疑問，可以讓學生看得更遠，想得更多. 在我們的教學中常有這種質疑片段出現，教師若能很好地把握，定能讓學生不斷觸摸到數學的本質.

學生學會質疑、學會思考、學會學習，是我們教學所要追求的“詩和遠方”. 如何設計引發學生質疑的問題，如何引導學生進行質疑，有效培養學生的質疑能力，我們一直在路上.