高中數學導數公式的應用研究

張紅宇

【摘要】在高中數學的學習中，高中數學導數公式的應用在學生的學習中十分重要。導數公式的應用對高中數學中對于函數極值的求解，及函數單調性的判斷具有一定的價值。本文對導數及導數公式進行了一個簡單的概述，對高中數學導數公式應用的價值進行了簡單的研究。希望能夠對高中數學的教學有所幫助。

【關鍵詞】高中數學 導數公式 應用研究

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）06-0298-01

前言

近年來，隨著新課標的不斷改革，導數公式的應用在高中數學的教學部分占據著越來越大的比重，人們對新課改數學題目的研究逐步加強。在高中的學習中，數學、物理、化學的學習在某一方面有著相互融合相互滲透的作用。導數公式的應用不僅在高中數學的教學中有著重要的作用，對于物理、化學也有一定的借鑒作用。

一、導數及導數公式

（一）導數

導數是微積分中的重要概念，是函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。不是所有的函數都有導數，若某函數在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。對于可導的函數f（x），xf'（x）也是一個函數，稱作f（x）的導函數（簡稱導數）[1]。

（二）常用的導數公式

導數公式的使用，需要學生一定的適應時間和過程，需要學生從鞏固導數定義出發，進行應用。常見的導數公式如下：

①C'=0（C為常數函數）

②（x^n）'=nx^（n-1）（n∈Q*）；熟記1/X的導數

③（sinx）'=cosx

④（cosx）'=- sinx

⑤（e^x）'=e^x

⑥（a^x）'=（a^x）lna （ln為自然對數）

⑦（Inx）'=1/x（ln為自然對數）

⑧（logax）'=x^（-1）/lna（a>0且a不等于1）

⑨（x^1/2）'=[2（x^1/2）]^（-1）

⑩（1/x）'=-x^（-2）

（u±v）'=u'±v'

（uv）'=u'v+uv'

（u/v）'=（u'v-uv'）/ v^2

二、高中數學導數公式應用的價值

隨著新課標的改革，高中數學導數公式的應用在高考中所占的比重越來越大，高中數學導數公式的應用已經成為學生們在數學、物理、化學的學習過程中十分重要的學習工具。導數公式的應用貫穿于整個高中理科的學習，例如物理中對物體的瞬時速度和加1速度的表示[2]。導數公式的應用實際上就是對可導函數的推導過程，對導數公式的應用不僅可以體現在平常的習題聯系和考試上的解題方法，還可以體現在我們實際生活中的方方面面，例如在我們生活中碰到的利潤最大化的問題和求最高效率的問題等等。這些都可以利用函數的思想和高中數學的導數公式對其進行求解。

1.教學中我們可以引導學生利用導數判別函數的單調性：函數的單調性是函數的最基本性質之一，是研究函數所要掌握的最基本的知識。用單調性的定義來處理單調性問題有很強的技巧性，較難掌握好，而用導數知識來判斷函數的單調性簡便而且快捷。

2.還可以利用導數判別函數的單調性：函數的單調性是函數的最基本性質之一，是研究函數所要掌握的最基本的知識。用單調性的定義來處理單調性問題有很強的技巧性，較難掌握好，而用導數知識來判斷函數的單調性簡便而且快捷。

3.也可以用導數證明不等式：利用導數研究函數的單調性，再由單調性來證明不等式是函數、導數、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點。其主要思想是構造輔助函數，把不等式的證明轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值，從而證得不等式。

4.此外導數在求曲線的切線中也有廣泛的應用：導數的幾何意義：如果函數f（x）的導數存在，則的函數f（x）在x=x0處的導數即為該函數在點（x0，f（x0））切線的斜率。利用這個我們可以求出曲線的切線方程。

例如已知曲線l∶y=x2-2x+a，求過點P（2，-1）的曲線l的切線方程。

解：因y=x2-2x+a，所以y′=2x-2，

則當x=2時，y=a，y′=2.

①當a=-1時，點P（2，-1）在曲線l上，故過點P的曲線l的切線方程為y-（-1）=2（x-2），即2x-y-5=0，

②當a≠-1時，點P不在l上，設曲線l過點P的切線的切點是（x0，y0），

則切線方程為y-y0=（2x0-2）（x-x0）且點P（2，-1）在此切線方程上，

所以有-1-y0=（2x0-2）（2-x0），即y0=2x20-6x0+3.

又y0=x20-2x0+a，

則有x20-2x0+a=2x20-6x0+3，即x20-4x0+（3-a）=0，

Δ=16-4（3-a）=4（a+1），

當a<-1時，Δ<0，切線不存在。

5.另外我們還可以引導學生利用導數解決數列問題：數列是高中數學中的一個重要部分，而數列求和是中學階段數列部分的重要內容之一，有許多初等解決方法。事實上數列可看作是自變量為正整數的特殊的函數，所以可以利用數列和函數的關系，再運用導數來解決數列求和的有關問題。

高中數學新教材中增加的導數初步知識，為高中數學注入了新的活力，有利于溝通初高等數學的聯系，因此導數的應用將成為新教材高考試題的熱點，所以在教學中，穿插與滲透導數的應用，培養學生應用導數的意識和能力應引起人們的高度重視，特別是復習以函數為背景或解決與函數有關的方程，不等式及應用問題時，滲透導數的應用，拓寬解題思路，在應用中增強學生用數學的意識，開拓思維，培養創新精神。

所以，在學習高中數學導數公式的時候，學生不僅要掌握導數公式的概念和應用的方法，還要學會把數學導數與其它知識相結合，和我們的現實生活相結合，這樣才能夠將高中數學導數公式進行充分合理的應用，在遇到問題時找到合適的辦法[3]。

三、結論

在高中數學的學習中，高中數學導數公式的應用在學生的學習中十分重要。導數公式的應用對高中數學中對于函數極值的求解，及函數單調性的判斷具有一定的價值。高中數學導數公式的有效應用能夠提高學生們解題的效率，增加學生們對于學習的自信心，而且還能夠促進學生們數學、物理、化學的學習，為學生們今后的學習打下堅實的基礎。

參考文獻：

[1]農仕科.關于高中數學導數公式的應用研究[J].中學數學，2014，（3）：76-77.

[2]郝利軍.關于高中數學導數公式的應用研究[J].文理導航（中旬），2014，（8）：19-19.

[3]胡海燕.導數公式在高中數學中的應用[J].理科考試研究（高中版），2014，（3）：37.