Mathematica在中學數學教學中的若干應用

摘 要：Mathematica是美國Wolfram公司研制開發的數學計算軟件系統，它很好地結合了數值和符號計算引擎、圖形系統、編程語言、文本系統及與其他應用程序的高級連接。自1987年發布系統的1.0版本開始便迅速流行起來，后經不斷改進和完善，于2017年推出了11.0中文漢化版本。Mathematica功能強大，已廣泛應用于各個領域。目前，Mathematica在中學數學教學中應用還不是很多，本文將分享一些應用案例和研究心得。

關鍵詞：Mathematica；中學數學教學；教學改革

作者簡介：甘哲，湖南教育出版社。（湖南 長沙 410000）

中圖分類號：G622 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2018）13-0061-02

Mathematica是美國Wolfram公司研制開發的數學計算軟件系統，很好地結合了數值和符號計算引擎、圖形系統、編程語言、文本系統及與其他應用程序的高級連接。自1987年發布系統的1.0版本開始便迅速流行起來，后經不斷改進和完善，于2017年推出了11.0中文漢化版本。Mathematica功能強大，已應用于各個領域。目前，Mathematica在中學數學教學中應用還不是太多，本文將分享一些應用案例和研究心得。

一、符號計算

著名的數學家萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）說過：“讓一些杰出的人才奴隸般地把時間浪費在計算上是不值得的。”他渴望有朝一日能用計算機把科學家從這奴隸般的計算中解放出來。計算機的誕生，是為了應對大量復雜的計算。最開始僅限于數值計算，后來隨著計算機的發展，人們希望用來處理數學符號的演算，也稱計算機代數。簡單地說，就是用符號運算代替了數的運算，這里的符號可以代表整數，有理數，實數和復數，也可以代表多項式，函數，還可以代表數學結構等。現在，人們已經開始利用計算機代數發現、驗證、證明和解決許許多多的數學問題，符號計算的方法和能力正顯示出巨大的優勢。

■+■≈0.8333是數值計算，得到近似結果。而■+■=■，則是符號計算，得到準確結果。32-22=5是數值計算，x2-y2=（x-y）（x+y）則是符號計算。目前的計算機甚至能將圖片當作符號進行處理。顯然這樣的操作，有利于學生理解記憶數學公式。

二、大數計算

在不少資料上，有類似的教學設計：

教師：現在來做一個數學游戲，請大家來搶答，今天是星期一，那么10天后是星期幾？

學生：是星期四。

教師：100天后是星期幾？

學生：是星期三。

教師：8100天之后是星期幾？（巨大的數字讓學生感到茫然，短暫的思考后出現了轉機）

學生：8100=（7+1）100展開后最后一項肯定是1，而前面各項都是7的倍數，所以8100被7除，余數是1，8100天后是星期二。

教師：傾畢生之精力也難以將8100的具體數值算出來，就連計算器也無能為力，但在數學真理面前卻是“小菜一碟”，顯示出數學理性精神的光輝與無比的威力、魅力。想知道8100=（7+1）100的展開式是什么嗎？今天我們一起學習二項式定理。

這樣的設計比較常見，用問題入手，引出要講的知識點，二項式定理也確實是解決此類問題的利器。問題是，真的傾畢生之精力也難以將8100的具體數值算出來，就連計算器也無能為力嗎？使用符號計算軟件，一瞬間就可以得到結果：

2037035976334486086268445688409378161051468393665936250636140449354381299763336706183397376。

這反映了設計者不了解計算機能做什么。事實上，計算機能做這些“出人意料”的事情，正突顯了數學的巨大優勢，絲毫不影響二項式定理的“光輝形象”。

三、算法編程

1976年的一天，《華盛頓郵報》于頭版頭條報道了一則數學新聞。文中記敘了這樣一個故事：70年代中期，美國各所名牌大學校園內，人們都像發瘋一般，夜以繼日，廢寢忘食地玩弄一種數學游戲。這個游戲十分簡單：任意寫出一個自然數N，并且按照以下的規律進行變換：如果是個奇數，則下一步變成3N+1。如果是個偶數，則下一步變成N/2。不單單是學生，甚至連教師、研究員、教授都紛紛加入。為什么這種游戲的魅力經久不衰？因為人們發現，無論N是怎樣一個數字，最終都無法逃脫回到谷底1。準確地說，是無法逃出落入底部的4-2-1循環。這就是著名的“冰雹猜想”。

當執行下面簡單的幾行代碼后，計算機就會快速返回計算結果。

Collatz[n_]：=If[EvenQ[n]，n/2，3n+1]

Collatz3[n_]：=Nest[Collatz，n，3]

FixedPointList[Collatz3，31]

{31，142，107，484，364，274，206，155，700，526，395，1780，1336，167，754，566，425，319，1438，1079，4858，3644，2734，2051，9232，1154，866，650，488，61，46，35，160，20，16，2，2}

也可以通過搜索計算，窮舉一些式子的可能性。有這樣一道數字謎題：

在方格內填寫1，2，……9九個數字，使得等式成立。

共有10組答案，單靠人力是很難完全解出來的。

四、繪制函數與探究最值

1. 繪制函數。函數圖像是研究函數性質、解決函數相關問題的重要工具，主要考查函數解析式與函數圖像的關系，重點考查識圖、用圖、畫圖等方面的能力，多以選擇題、填空題的形式出現，函數的圖像是數形結合的典范，縱觀近幾年高考試題，函數圖像考查涉及的面廣，形式靈活，經常以新面孔出現，是每年的必考內容。而手工繪制函數存在較大誤差，會影響學生的認知和判斷，因此使用計算機作圖是很有必要的（圖1）。

2. 探究函數最值。所謂無巧不成題。題目的數據常常是精心設置的，稍微改動一下就會出現問題。譬如某題：“若a>0，b>0，a+2b=1，求a2+b2+■■的最小值。”被改成“若a>0，b>0，a+2b=1，求a2+b2+■的最小值。”看似改動之后變簡單了，實則不然。通過計算機計算，看看a和b為何值時，函數值取得最小值。發現改變后的題目，計算結果要復雜很多。

In[19]：=FindMinimum[{a2+b2}+■，a+2b=1 && a>0 && b>0}，{a，b}]

Out[19]={0.85，{a？邛0.4，b？邛0.3}}

In[20]=FindMionimum[{a2+b2+■，a+2b=1 &&a; >0 && b>0}，{a，b}]

Out[20]={8.30827，{a？邛0.4，88733，b？邛0.255634}}

此外，Mathematica的應用還有很多。包括繪制完全圖圖2，繪制分形圖圖3等。相信隨著Mathematica在中學數學的應用越來越深入，必然還將有更多的發現。

五、探究軌跡與數列

1. 探究軌跡。解析幾何中要求學生探究動點與多定點之間的關系，除了加減乘除，還有很多超出老師預期的。譬如下面兩例：

例1：已知點P（2，0），Q（1，0），MP*MQ=10，探究點M的軌跡。輸入：ContourPlot[（（x-2）^2+y^2）^（1/2）*（（x-8）^2+y^2）^（1/2）==10，{x，0，10}，{y，-2，2}]，執行得到圖4。

例2：已知點P（2，0），Q（1，0），MP^3=MQ，探究點M的軌跡。輸入：ContourPlot[（（x-2）^2+y^2）^（1/2）^3==（（x-1）^2+y^2）^（1/2），{x，-1，2}，{y，-1.5，1.5}]，執行得到圖5。

2. 探究數列。已知數列{an}滿足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an，求數列{an}的通項公式。（2006年福建高考試題文科22題）

此題用計算機可快速解答，只需執行下面語句，就可以得到通項公式為：

RSolve[{a[n+2]==3a[n+1]-2a[n]，a[1]==1，a[2]==3}，a[n]，n]

{{a[n]->-1+2n}}

參考文獻：

[1] 金榮樂.Mathematica系統在初中數學中的應用與實踐[J].數學學習與研究，2008，（1）.