|x|α的有理插值

許江海,趙 易

(1.杭州電子科技大學理學院,浙江杭州 310018)

(2.杭州師范大學理學院,浙江杭州 311121)

1 引言

眾所周知,對于[?1,1]上的函數|x|用n次多項式逼近的最佳逼近階[1]為O(),此結果在階的意義下是精確的,不可改進.1964年,Newman取結點組構造|x|的有理插值函數

得到[2]結論這個結論大大改進了多項式插值的結果,也引起了許多學者的研究興趣,幾年來關于|x|的有理插值,圍繞著結點分布與誤差收斂速度發表了許多有意義的結果[3?5].

2004年,夏懋[6]研究了對|x|α(1≤α<2)在等距結點的Lagrange插值多項式的逼近,主要給出了在零點的逼近階,文中最終得到定理:令m∈n,n=2m?1且1≤α<2,則有而在2011年,張慧明、李建俊和門玉梅[7]等研究了|x|在正切結點組的有理插值,得到逼近階為朱來義[8]等取偶次第二類Chebyshev多項式零點的第二類chebyshev結點,用不同的方法得到逼近階為且不能改善.

本文對Newman結點組進行了調整,將Newman結點組中的e一般化為任意m(e

構造|x|α的有理插值函數,其中互素且為奇數,得到如下一般的結論.

2 定理證明

為了方便證明定理1.1,先給出如下引理.

引理結論得證.

定理1.1的證明 由于|x|α與rn(X;x)為偶函數,故只需考慮x∈[0,1]的情形.

1)當x∈[0,bn]時,有

2)當x∈[bn,1]時,必存在某一個k,0≤k≤n?1,使得bk+1≤x≤bk≤b,則

則

綜上定理得證.

3 結束語