Poisson方程的一維最優系統和不變解

白月星,蘇道畢力格

(內蒙古工業大學理學院,內蒙古呼和浩特 010051)

1 引言

在現代經濟學和物理領域中求解偏微分方程(PDEs)的解常常是困難的,因此求解PDEs顯得至關重要.Lie對稱是公認的普適性最廣的方法之一,Lie群是研究微分方程的對稱性并求出其解析解的強有力工具,一個主要應用是尋找群不變解[1–5].利用給定對稱群的任意子群求解相應的特征方程,可以把原方程約化為自變量更少的方程.對稱群的每個子群都對應著一組群不變解,然而這樣的子群似乎總有無窮多個,要列出所有可能的群不變解幾乎是不可能的.要找到這些完整且不等價的群不變解,也就需要對所有的群不變解進行分類.對這個問題,Ovsiannikov和Olver分別發展出一些系統有效的方法,由此引入了“最優系統”的概念.構建最優系統有很多方法,如Ovsiannikov利用伴隨表示的矩陣法構建最優系統[6],Petera發展了一種很重要的方法,已經廣泛的應用到物理學中[7,8].目前國內外研究者對其進行研究,推動了最優系統的發展[9–15].

應用對稱方法的前提是確定PDEs擁有的各類對稱.Lie算法把確定對稱的問題轉化為確定對應無窮小向量的問題,而該無窮小向量是由滿足確定方程組的無窮小生成函數確定.完成這個過程將涉及到大量、復雜的機械化計算.研究發現,微分形式的吳方法是有效克服Lie算法缺陷的方法之一.近年來,朝魯教授推廣建立了微分形式的吳方法,即吳-微分特征列集算法[16,17].該算法主要考慮控制計算過程中符號堆積及易于在軟件Mathematica中實現的問題,使吳方法的應用從純代數理論推廣到微分情形,發展了吳方法.我們知道如果直接得到微分方程(組)的全部對稱群是非常困難的,并且傳統Lie算法中未能考慮未知量的序關系,導致計算機上的無窮循環及工作量大等許多困難,而這些問題由吳-微分特征列集算法得到部分解決.目前,吳-微分特征列集算法成功的應用在PDEs的古典對稱、非古典對稱、高階對稱、近似對稱、勢對稱、守恒律和對稱分類等問題上,取得了優異的成果,促進了PDEs對稱理論的研究[18–23].我們基于該算法研究了對稱方法在NLPDE邊值問題中的應用[24,25].最近,朝魯等人利用該算法研究了Lie代數的最優系統.

本文利用Lie對稱方法研究了Poisson方程的單參數李對稱群和群對應的伴隨表達式,在此基礎上構建了該Lie對稱群的一維最優系統,并利用一維最優系統中的元素對Poisson方程進行對稱約化,確定不變解及其精確解.具體過程:首先,利用吳-微分特征列集算法和符號計算軟件Mathemetica,計算Poisson方程對應的古典對稱;其次,計算換位子、伴隨算子,通過伴隨方法構建該方程的一維最優系統;最后,確定古典對稱所對應的不變解以及精確解,豐富了Poisson方程的精確解.

2 Poisson方程的一維最優系統

2.1 Poisson方程的對稱

考慮Poisson方程

假設方程(2.1)對應的對稱向量為

其中ξ(x,t,u),τ(x,t,u),η(x,t,u)為該對稱的無窮小生成函數.根據Lie算法可以得到方程(2.1)的對稱對應的確定方程組,但是很難手動求解.基于吳-微分特征列集算法,應用該算法的Mathematica程序包進行計算得到與確定方程組等價的特征列集對應的方程組,即

求解上面的方程組,得到無窮小生成函數

其中c1,c2,c3,c4,c5是任意常數,則無窮小向量為

所以方程(2.1)有5個單參數古典對稱,其對應的無窮小向量為

2.2 Poisson方程的一維最優系統

在上一部分中得到了無窮小生成向量,下面構造一維最優系統.

定義1無窮小生成元Xα,Xβ的換位子是一階算子

其中

因此得到 [Xα,Xβ]=?[Xβ,Xα].

定義2設G是Lie對稱群,g是G對應的Lie代數,對于每一個v∈g,伴隨算子Adv關于w∈g,有

根據定義1和定義2,可以計算方程(2.1)所擁有的Lie對稱構造一維最優系統.

表1:換位子表

表2:伴隨關系表

根據求一維最優系統的方法,設一個非零的X∈L5,L5是構成Lie代數

其中a1,a2,a3,a4,a5是任意常數.

(1)假設 a1≠0,不失一般性.令 a1=1,則X=X1+a2X2+a3X3+a4X4+a5X5.為了使X2消失,利用伴隨算子X′=Ad(exp(εX3))X,通過計算有

令 ε=a2,則有

下一步將 Ad(exp(εX5))作用于 X′,有 X′′=Ad(exp(εX5))X′,通過計算有

為了消去 X5,令 ε=a5,有X′′=X1+a3X3+(a4+a2a5?a3a5)X4.將 Ad(exp(εX4))作用于 X′′,有 X′′′=Ad(exp(εX4))X′′,通過計算有

為了消去 X6,令 ε=a4+a2a5?a3a5,有X′′′=X1+a3X3.由上式知不能再繼續利用伴隨算子.

(2)假設 a1=0,a5≠0,不失一般性.令 a5=1,則X=a2X2+a3X3+a4X4+X5.為了使X4消失,將伴隨算子Ad(exp(εX3))作用于X,有

通過計算有

令ε=a4,則有X′=a2X2+a3X3+X5.由上式知不能再繼續利用伴隨算子.

(3)假設 a1=a5=0,a2≠0,不失一般性.令 a2=1,則X=X2+a3X3+a4X4.為了使X4消失,將伴隨算子Ad(exp(εX5))作用于 X,有X′=Ad(exp(εX5))X,通過計算有

(4)假設 a1=a2=a5=0,a3≠0,不失一般性.令a3=1,則X=X3+a4X4.為了使X4消失,將伴隨算子 Ad(exp(εX5))作用于X,有X′=Ad(exp(εX5))X,通過計算有

令ε=a4,則有X′=X3.由上式知不能再繼續利用伴隨算子.

(5)假設 a1=a2=a3=a5=0,a4≠0.不失一般性,令 a4=1,則X=X4.由上式知不能再繼續利用伴隨算子.

綜上得到方程(2.1)的一維最優系統為

其中 λi(i=1···6)是任意常數.

3 Poisson方程的不變解

1.下面計算古典對稱

對應的Lie變換群.X1+X3對應的初值問題為

通過求解(3.2)式,得到對應的單參數Lie變換群如下

2.通過古典對稱

對應的單參數Lie變換群為

將Lie變換群(3.4)作用于該情況的不變解u1(x,t),得到

其中,以上得到的精確解都是對應方程的新解,因篇幅有限,其它情況在本文中不進行討論.

4 本文結論

偏微分方程(PDEs)的求解經常出現在物理、工程力學等研究領域中.隨著科技的進步,推動了求解PDEs的持續發展,目前計算PDEs的不變解顯得尤為重要.本文通過應用吳-微分特征列集算法和Mathematica軟件,獲得了Poisson方程的對稱和Lie代數的一維最優系統,并且計算了最優系統中對應元素的Lie變換群.將所得的Lie變換群作用于不變解得到了新的精確解,達到了豐富Poisson方程的精確解的效果.