以生為本，螺旋探究

常艷紅

【摘要】對數學中的一些有深度的學習內容，緊扣“題源”，從學生的“最近發展區”出發，讓學生目睹題目的“出生”，見證題目一步步“成長壯大”的過程，歷經知識點的單調—生長—豐富—成熟的過程，緊跟學生的認知規律，修編“題譜”，挖掘題目成長的“空檔期”，掃除學生盲點，突破思維難點，深化知識點之間的聯系，螺旋式深化學習過程.

【關鍵詞】生長點和延伸點；螺旋式深化學習；分層

新課程提倡注重過程，讓學生親身經歷學習的認知過程，親自去實踐、去體驗、去感悟數學知識的發生、發展過程.在教學的過程中，對一些有深度的學習內容，常常緊扣題目的“源頭”，從“題源”，或從核心知識點出發，基于學生的個體差異和認知規律，從學生的“最近發展區”出發，讓支干慢慢強壯起來，豐富起來，最后成熟了，把題目的出生，成長，成熟過程修編成一組“題譜”——把它們縱橫兩維度或多維度地通過類比、加工、改造、加強或減弱條件，以及延伸、擴展或組合來編擬新的試題，一系列簡單的，有聯系，一個問題比一個問題更深入的系列問題引導，從而讓每一名學生都獲得解題的體驗，并能體會到成功的喜悅，提高教學的實效.

下面是在講解2010年廣州市中考題時的課堂簡錄：

題目 已知：如圖1所示，⊙O的半徑為1，點P是⊙O上一點，弦AB垂直平分線段OP，求弦AB的長.

師：請你們加入一些新元素，再提出一些新問題，最后作答.

生1：連接OA，OB，在Rt△AOH中，由于OH=12OA，可求∠POA度數，也可求∠BOA度數.

生3：不用連接任何線段，可求出，求AP和AB度數.

生4：連接PA，PB，根據中垂線性質知OA=AP，可判斷△APO是等邊三角形.

生5：可以用有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

生6：可求∠BPA度數是120°；還可判斷四邊形AOBP的是菱形.

師：我們鞏固了平行四邊形和菱形的證明方法，很好，我們再來觀察圖：當點P是AB劣弧上（與端點A，B不重合）的移動時，又會發生什么呢？

生1：根據圓周角定理，可知∠ADB=∠APB=120°.

師：以點P為圓心，PH長為半徑作⊙P，分別過點A、B作⊙P的切線，兩條切線相交于點C.請問：能求出∠C的度數嗎？

生1：能根據角的關系判斷△ABC是等邊三角形.

生2：可求出三角形ABC的周長是33和面積是332；

師：能用什么方法求出△ABC的面積？

生1：△ABC是等邊三角形，且AB=3，用底和高求得.

生2：還可用S△ABC=3S△APB=3×12×3×1=332求得.

師：求三角形的面積時，當遇到有內切圓時，要注意內切圓的特點，可以分割成三個部分去求和.

師：當點P是AB上（與端點A，B不重合）的移動時到點D時，DE⊥AB于點E，以點D為圓心、DE長為半徑作⊙D，分別過點A、B作⊙D的切線，兩條切線相交于點C.若⊙D的半徑DE為r，你能否用含r的代數式表示S△ABC？如何求S△ABC？

生1：連接CD，利用三角形內切圓的特點來求面積.

S△ABC=12S△ADB+12S△BDC+12S△ADC，

S△ABC=12×AB×r+12×BC×r+12×AC×r，

S△ABC=12r（AB+BC+AC）.

師：若知道AB+BC+AC的長即三角形的周長，是不是就可以求出面積了？

生1：三角形的面積與其內切圓半徑和三角形的周長是有一定的關系的.

師：若知道三角形的面積，能求出周長嗎？例如，記△ABC的面積為S，若SDE2=43，求△ABC的周長.

生：能，因為SDE2=43S=43r2，所以12r×周長=43r2，即周長=83r.

師：內切圓除了涉及角，還涉及邊嗎？

生：根據切線長定理知AN+BM=3，根據直角三角形的邊關系可知CN=CM=3r，

所以△ABC的周長=2（AE+EB）+2CN=23+23r，

所以=2（AE+EB）+2CN=23+23r=83r，

解得r=13.

最后根據課堂簡錄，把題目的“出生”—“成長”—“豐富”—“成熟”的過程匯編成一個“題譜”，記錄著“題”的每一次成長和進步，也記錄著學生們思維的軌跡，及時發現他們思維的盲點，在恰當的時候及時給予學生引導.以下幾點是在教學實踐過程中的切身體會.

一、關注生長點和延伸點，螺旋上升深化聯系

學習知其然更要知其所以然.在本節的課堂簡錄中，垂徑定理是它的生長點，巧妙地利用圓周角性質，把定點P變為動點，把特殊點轉化成一般點，這種遷移思想的引進，深化知識點之間的聯系，看似解決了問題，卻又暴露了另一個問題，三角形的周長與內切圓的半徑關系，如何把這個問題解決是本題解決的關鍵.剪去多余的分支，只剩下三角形與它的內切圓，利用切線長定理找出三角形周長與內切圓半徑的關系，利用矛盾關系引出本題的另一個生長點，皮亞杰的理論認為兒童認知結構的發展是一個連續構造的過程，每一個階段都是前一階段的延伸，而本題的“最終命題”就是把兩個原生態的生長點及延伸點恰當地利用同弧所對的圓周角相等，把“定”變“動”，由“特殊性”變“一般性”，深化知識之間的聯系.平時的訓練過程中，關注知識點的生成點、嫁接點及交匯點，讓學生目睹題目“出生”時的單調到“蒂落”（多個知識點的適度交匯融合）時的成熟整個成長的過程，體會在成長的過程中，知識點或縱，或橫多角度的在生長點處嫁接，延伸，拓展的演變和同化的過程，遵循螺旋上升的認知規律，深化知識點之間的聯系.

二、以“易”見“繁”需合理，適度加新元素深度學習

“孔子登東山而小魯，登泰山而小天下”，學生所有知識的高度不同，他所看問題的角度就不同，當學生所獵取的知識點越多，他心中的“整體”就越大，知識越豐富，想問題就越全面.對中考中有深度的題目所涉及的知識點高度融合，綜合性強，它需要經過教師對題目的深入研究、挖掘和深層次的思考、拓展、歸納，再根據學生課堂思維過程匯編“題譜”，它們每一題都是一個完整的個體，每個完整的個體增刪一些知識點就又成了一個新的個體，最后的題是前面幾題慢慢“發酵長大”的結果.學生從心里懂得了再難的題目都是由簡單題目“堆積”而成，認識到只要平時認真觀察，及時總結，不再被動地、零散地接受知識，學習把“碎片化”的知識合理地“加減”“融和”“轉移”“打包”，引線搭橋，深入轉化，對知識的理解也能全面，整體.知識點由“細”到“粗”，由“簡單”到“復雜”，由“個體”到“整體”，再到一系列“題譜”，聞一而知十，見“樹”的眾而知“林”的闊，凸顯數學知識的整體性.

三、設計問題有區分度，懂得“得寸”才能“進尺”

義務教育階段的數學課程應突出體現基礎性，普及性和發展性，使數學教育面向全體學生.數學教學活動只有建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎上，才能有效地體驗、探索、總結、提升、應用.依據維果斯基的“最近發展區理論”，結合學生的個體差異，從學生已有的經驗出發，給他們提供了具有一定認知難度的學習梯度，起點低，一步一步引導學生，“得寸”才能“進尺”，步步為營.根據課堂簡錄所匯編的“題譜”，為他們“私人定制”符合他們理解和接受水平的知識內容，讓他們根據自己的能力去選擇解決自己想且自己能的問題，這在一定程度上可以最大限度地挖掘自身的內在潛能，每一名學生可以根據自己的不同“最近發展區”，且根據學生的認知差異，鋪設和搭建學習的“腳手架”，螺旋漸進、深入學習，仿效“等門檻效應”——步步為營，借力使力，懂得“得寸”才能“進尺”的心理學，潛移默化，如春風潤無聲，在自然而然的姿態中解決了問題.G·波利亞在《怎么解題》中強調當學生需要幫助時，“教師應當謹慎地，不留痕跡地幫助學生”.課堂簡錄匯編的系列“題譜”，根據不同知識點的縱向延伸，和相同知識點的橫向拓展，在縱橫交錯中螺旋式深入，最后達到融會貫通的境界.

在數學學習活動中，對數學中的一些有深度的學習內容，緊扣“題源”，從學生的“最近發展區”出發，讓學生目睹題目的“出生”，見證題目一步步“成長壯大”的過程，歷經知識點的單調—生長—豐富—成熟的過程，抓住題目“成長和壯大”的關鍵時期，緊跟學生的認知規律，修編“題譜”，挖掘題目成長的“空檔期”，掃除學生盲點，突破思維難點，層層遞進，深化知識點之間的聯系，螺旋式深化學習過程.同時根據學生的差異性，進行分層學習，通過多次的教學實施，并反思實施過程中的優點，盲點與不足，從而讓每一名學生都獲得解題的體驗，并能體會到成功的喜悅，提高教學的實效.