對高斯公式形成過程的一種理解

付彩霞 楊曉春

【摘要】利用第二型曲面積分的定義以及流體流量的一般求解方法推導(dǎo)高斯公式，為初學(xué)者提供一個完整的、合乎邏輯的公式發(fā)現(xiàn)過程.

【關(guān)鍵詞】高斯公式；流量；第二型曲面積分；形成過程

一、引 言

格林公式建立了沿封閉曲線的曲線積分與二重積分的關(guān)系，沿空間曲線的曲線積分和三重積分之間也有類似的關(guān)系，即為高斯公式.在數(shù)學(xué)上，高斯公式是第二型曲面積分中非常重要的一個公式，利用高斯公式可以簡化曲面積分的計算；在普通物理學(xué)中，應(yīng)用高斯公式可以簡潔明了地證明一些重要的結(jié)論，如著名的阿基米德浮力定律和靜電場的高斯定理.因此，對于高斯公式形成過程的證明與理解尤為重要.

通常根據(jù)曲面積分和重積分的計算給出其快速簡捷的證明方法，而這種證明方法只是單純的數(shù)學(xué)上的證明，沒有賦予一些實(shí)際意義，對于初學(xué)者而言，較為生澀難懂.受到高斯定理的物理應(yīng)用的啟發(fā)，根據(jù)流體流量問題的兩種不同計算，推導(dǎo)高斯公式的形成過程，為初學(xué)者提供一個容易理解、合乎邏輯的公式發(fā)現(xiàn)過程.

三、小 結(jié)

之前的證明多數(shù)是在向量場中對流體的通量進(jìn)行計算，通過元素法的方式進(jìn)行證明，或根據(jù)對坐標(biāo)的曲面積分的向量形式的定義及其計算給出高斯公式的證明.本文在前者的基礎(chǔ)之上，在流體通過曲面流量的物理背景下，通過兩種不同計算方法將幾何與代數(shù)相結(jié)合，詳細(xì)解釋了高斯公式的推導(dǎo)過程.這樣不僅向?qū)W生展現(xiàn)出一個完整的、合乎邏輯的發(fā)現(xiàn)過程，更是給出了分析問題、解決問題的實(shí)例.加深了學(xué)生對于高斯公式的理解和記憶，便于以后的學(xué)習(xí)與應(yīng)用.

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