芻議數學核心素養視域下幾何公理體系

余慶純

【摘要】溯源幾何公理體系的歷史發展及其與現行中學幾何公理體系的異同，闡述數學核心素養視域下中學幾何公理體系的教育價值，進一步提出培育數學核心素養的教學建議.

【關鍵詞】幾何公理體系；數學核心素養；教育價值；教學建議

公理化方法是數學研究的典型方法，是指從盡可能少的無定義的原始概念（基本概念）和一組不證自明的初始命題、基本公理出發，利用純邏輯推理法則，把一門數學建立成為演繹系統的一種方法[1].幾何公理體系是運用公理化方法，將幾何建立成為一個邏輯理論體系.

幾何公理體系是如何誕生和發展起來的？科學的幾何公理體系和中學幾何公理體系有什么區別？是什么原因引起的？在新一輪數學課程改革之際，著重強調數學核心素養的培養與發展，那么在數學核心素養視域下，中學幾何公理體系有什么教育價值？為了培育數學核心素養，銜接好初中和高中的幾何教學內容，有怎樣的教學建議？本文將對上述問題進行一一探討.

一、幾何公理體系的誕生和發展

歷史上第一個成文的公理體系最初萌芽于公元前三世紀，由古希臘哲學家亞里士多德創立的三段論法.這是亞里士多德在總結了古代積累起來的邏輯知識，以演繹證明的科學（主要是數學）為實例，把完全三段論作為公理，由此推導出所有三段論法（共分為19個格式）[1].

古希臘數學家歐幾里得繼亞里士多德之后，運用形式邏輯的演繹方法提煉出一系列基本概念、命題和公理，將當時所知的幾何知識以一個相對完整的演繹系統表述出來，形成數學史上一部經典著作《幾何原本》.《幾何原本》從5條公理、5條公設和23個定義出發，推理證明出465個數學命題.《幾何原本》是最早運用公理化方法建立起幾何公理體系的范本.

然而歐氏幾何的公理體系并不完善，有些定理的證明僅依賴于幾何直觀，有些定義是不自足或是多余的，特別是“第五公設（即平行公理）”一直以來飽受爭議.19世紀，俄國數學家羅巴切夫斯基提出“第五公理”[1]：過平面外上一已知直線外的一點至少可以引出兩條直線與該已知直線平行.這是羅巴切夫斯基在保留絕對幾何公理系統（即歐氏幾何和羅氏幾何兩個公理系統的公共部分）基礎上，通過剔除“第五公設”，引入“第五公理”而構造出一個新的羅氏幾何公理體系.無獨有偶，1854年數學家黎曼在《關于幾何基礎的假設》一文中提出：從另一新的“平行定理”出發，以鈍角假設（三角形內角和大于180度）建立了新的黎曼幾何公理體系[2].

1899年，數學家希爾伯特在歐氏幾何公理體系基礎上，建立了第一個具有完整、嚴謹邏輯結構的科學的幾何公理體系，稱之為希爾伯特幾何公理體系.在希爾伯特的巨著《幾何基礎》中引進了一些基本概念，包括基本元素（點、直線、平面）、基本關系（結合關系、順序關系、合同關系）、基本公理（5組20條），集中體現了希爾伯特對公理選擇的嚴格要求，即公理需要滿足相容性、獨立性和完備性三條基本要求.20世紀后，在上述幾何公理體系的基礎上，逐漸發展出集合論、概率論、元數學等重要的數學分支.

在數學思想的觀念上，“非歐幾何”（泛指把一切不同于歐氏幾何體系的幾何系統）是公理化思想創新的一個碩果，即通過對公理化方法進行深刻的結構分析，變正面的試證第五公設為從中析出可以變更的公理，進而用新公理替換原公理，同樣可以得到一套具有自我完備性的知識體系[3].在幾何公理體系發展的歷史長河中，公理化方法（特別是它的邏輯推理）一直推動著整個數學乃至其他自然科學領域不斷向前發展.

二、現行中學幾何公理體系的簡析

科學的幾何公理體系和中學幾何公理體系在本質上有很大區別.科學的幾何公理體系，它是從高度抽象性來體現客觀現實的真實性，必須始終貫穿著公理的相容性、獨立性和完備性三條基本要求.對于中學幾何公理體系，首先，要考慮學生的認知基礎、學習能力等學情；其次，要求教師能夠幫助學生構建相對直觀、實用的幾何公理體系，引導學生對新舊知識進行對比學習.當嚴格的公理體系滲透到中學幾何課程中時，需要進一步刪繁就簡，適度降低科學的幾何公理體系的要求.

在中學數學中滲透幾何公理體系，常采用如下原則：保持相容性，弱化獨立性和完備性，偏向公理的相對直觀性、簡要性、實用性.依據現行《義務教育數學課程標準》[4]和《普通高中數學課程標準（實驗）》[5]的要求，將中學幾何公理體系的主要公理內容歸納如下：

由表可以看出：中學幾何公理體系是以《幾何原本》中歐氏幾何為原型建立起來的相對完整的幾何公理體系.從初中到高中階段，注重學生認知水平的階段性、連續性發展，弱化對公理化嚴格論述的要求，允許學生對幾何圖形的直觀承認.

教參[6]中明確指出：中學數學中雖然沒有明確的公理體系形式，但在每一次推理時，我們都有明確的推理根據；在這個意義下，我們心目中都有一個“公理體系”，并在其中進行推理，這種潛移默化的邏輯結構的熏陶是中學數學的“靈魂”，是培養學生的理性精神的特有載體.

三、數學核心素養視域下，中學幾何公理體系的教育價值

在新一輪數學課程改革之際，著重強調數學核心素養的培養與發展，因此需要在數學核心素養視域下，重新審視銜接初中和高中的幾何公理體系的教育價值.

對幾何公理體系和公理化方法的理解，需要培育以數學抽象、邏輯推理、直觀想象為主的數學核心素養.通過幾何內容的學習，培養學生在情境中抽象出數學概念、性質和思想方法，積累從具體到抽象的思維經驗，發展數學抽象素養；培養學生學會分析數學命題，掌握從特殊到一般的類比歸納和從一般到特殊的演繹推理的基本形式，發展數學邏輯推理素養；培養學生學會借助幾何直觀和空間想象感知物體形態及變化規律，理解并運用數形結合的思想方法，培養直觀想象素養.同時，中學幾何教學也在潛移默化之中培養學生用數學眼光觀察世界、用數學思維分析世界、用數學語言表達世界.

張奠宙教授曾談道：古希臘的數學閃耀著理性思維的光輝，不迷信權威，不感情用事，不人云亦云，而是客觀地，冷靜地、邏輯地進行思考，探求真理.這就是我們應該向古希臘文明學習的地方，也是我們學習幾何證明的重要目的之一[7].通過幾何內容的學習，了解幾何公理體系的發展歷程，培育崇尚真理的理性精神，樹立嚴謹求實的科學態度，彰顯數學課程“立德樹人”的教育理念.

四、教學建議

正在修訂的《普通高中數學課程標準（征求意見稿）》中提出：“學生核心素養的培養不是一蹴而就的，具有階段性、連續性、整體性特點”.在實際教學中，培養和發展學生的數學核心素養，要注重銜接初中和高中的幾何教學內容，具體可分為四個階段逐步實現.

第一階段是幾何入門階段.中學生在七年級學習幾何圖形初步，接觸了點、線、面、體等基本的幾何圖形，了解直線、射線、線段、角的性質和基本應用，學習兩直線平行與相交位置關系的判定和性質，了解簡單的推理證明.值得注意的是，學生在該階段常常不知道客觀上已知的性質、定理和主觀上的“想當然”之間的差異.這一階段，教師可以通過展示具體教具或動態演示等途徑，引導學生邊觀察邊思考，有助于培養幾何直觀.同時教師可以創設合理的問題情境，引導學生了解數學的自然語言、符號語言、圖形語言，通過舉例示范，講清楚什么是幾何中的證明，指出證明中每一步推理都要有理有據，摒棄“想當然”的錯誤觀念.本階段是培養學生數學抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養的基礎階段.

第二階段是邏輯推理發展階段.通過對三角形、四邊形的性質、定理、命題的學習，初步掌握運用類比、特殊化等方法來探究和證明三角形、平行四邊形等基本圖形的幾何性質；進一步學習圓和相似形，引導學生運用數形結合、類比的方法來探究和證明圓的性質、相似三角形的判定和性質.這一階段，教師可以充分運用信息技術工具為學生創造多樣化的學習環境；可以通過獨立思考、自主探究、小組合作等形式，鼓勵學生用數學眼光去觀察，用數學思維去分析，用分析法、綜合法等數學方法去推理論證，逐漸養成規范地書寫證明過程的良好習慣.本階段是中學生運用已知公理、定理、性質等作為推理依據，逐步掌握演繹法、歸納法的關鍵階段，也是培養和發展邏輯推理的重要階段.

第三階段是想象能力提升階段.學生開始接觸立體幾何初步，了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法，理解空間點、直線、平面之間的位置關系，運用數學語言表述和論證有關平行、垂直的性質與判定.值得注意的是，學生由二維平面過渡到三維空間，難免會出現知識遷移上的不適應.因此，在教學過程中，教師可以展示立體教具或演示三維圖形動態圖等途徑，引導學生經歷直觀感知、動手操作、度量計算、推理論證等過程，幫助學生建立直觀想象.同時，教師還可以組織學生開展“生活中的立體幾何”“建筑中的立體幾何”等主題探究活動，或者介紹幾何公理體系誕生和不斷完善的數學史實例，構建數學與生活、數學與其他學科的聯系.這一階段是發展學生直觀想象和邏輯推理素養、培育學生理性精神和嚴謹求實態度的關鍵階段.

第四階段是數形結合階段.這一階段學習解析幾何初步，通過平面直角坐標系建立直線和圓的代數方程，研究兩者的幾何性質及位置關系；運用代數法研究幾何，將圖形的平行、垂直、全等、相似等基本性質轉化成向量的運算體系；了解空間直角坐標系.在教學過程中，教師可以組織學生收集數形結合的生活實例，開展數形結合的主題探究活動，引導學生用代數法適當建立直角坐標系，描繪幾何圖形的位置關系及其變化規律，積累發現、提出、分析和解決問題的活動經驗，體會數形結合的思想方法.同時，教師也可以講述有關數形結合的數學史典例，豐富教學內容.本階段是幾何公理體系在代數領域的延續，體現了幾何與代數的相互融合、相互促進；也是培育學生直觀想象素養的重要階段.

綜上，中學幾何公理化體系在數學教育領域中有著舉足輕重的地位.隨著數學課程的不斷改革，中學幾何公理體系潛移默化地承載著數學核心素養的培育，與時俱進地促進中學數學教育的發展.

【參考文獻】

[1]徐利治，王光明.數學方法論選讀[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]潘琰琰.有關公理化方法的發展及其作用探討[J].數學教學研究，2009（12）：62.

[3]黃秦安.“非歐幾何”與“非交換代數”的知識模式及其數學教育哲學意蘊[J].中學數學教學參考（上旬），2017（1-2）：9.

[4]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[5]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[6]課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心.普通高中數學課程標準實驗教科書·數學2·必修（A版）·教師教學用書[M].北京：人民教育出版社，2015.

[7]張奠宙，宋乃慶.數學教育概論[M].北京：高等教育出版社，2004.