“四色定理”證明

申學(xué)勤 王若仲 劉曉東 何長勇

【摘要】1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的格斯里（FrancisGuthrie）來到一家科研單位做地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)每幅地圖都可以只用四種顏色著色.這個現(xiàn)象能不能從數(shù)學(xué)上加以嚴(yán)格證明呢？這就是著名的“四色猜想”.對于“四色定理”，其實(shí)只要在平面上或球面上證明設(shè)計不出至少需要五種顏色才能分辨出五塊獨(dú)立的封閉圖形即可.形象一點(diǎn)，把五塊獨(dú)立的封閉圖形看成五個人，封閉圖形與封閉圖形的公共邊界，看成一個人與另一個人握手（握手限定為一只手與一只手）.假定五個人均有四只手，要求任一個人與另外四人均握手，五個人同時握手，看能不能實(shí)現(xiàn)任兩人之間不出現(xiàn)重疊或交叉的情形.那么“四色定理”成立.

【關(guān)鍵詞】四色定理；球面幾何；線段；相交

1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的格斯里（Francis Guthrie）來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)每幅地圖都可以只用四種顏色著色.這個現(xiàn)象能不能從數(shù)學(xué)上加以嚴(yán)格證明呢？這就是著名的“四色猜想”.

電子計算機(jī)問世以后，1976年6月，由美國數(shù)學(xué)家阿佩爾（Kenneth Apprl）和哈肯（Wolfgang Haken）在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計算機(jī)上，用了1 200個小時，作了100億次判斷，結(jié)果沒有一張地圖是需要五色的，最終證明了“四色定理”.

盡管隨著計算機(jī)的普及，絕大多數(shù)數(shù)學(xué)家對“四色定理”的證明沒有疑問，但某些數(shù)學(xué)家對經(jīng)由電腦輔助的證明方式仍舊不夠滿意，希望能找到一個完全的“人工”證明.

一、連線段

定義1 平面上或球面上任意A，B兩點(diǎn)之間有一條連線連接，我們則稱這條連線為A，B兩點(diǎn)之間的連線段.

二、封閉圖形[1-3]

定義3 平面上或球面上任意兩點(diǎn)之間有一條連線段，那么連線段兩邊最邊端的點(diǎn)，稱為平面上或球面上任意兩點(diǎn)之間連線段的端點(diǎn).比如，平面上或球面上任意A，B兩點(diǎn)之間有一條連線段，A和B就是端點(diǎn).

定義4 平面上或球面上任意A，B兩點(diǎn)之間有一條線連接，而連接A，B兩點(diǎn)的連線段（除A，B兩個端點(diǎn)外）中間不經(jīng)過其他的已知點(diǎn)以及連接A，B兩點(diǎn)的連線段（除A，B兩個端點(diǎn)外）中間不與其他的連線段相交，則稱A，B兩點(diǎn)為直接連接.

定義5 平面上或球面上任意A，B兩點(diǎn)之間有一條線連接，而連接A，B兩點(diǎn)的連線段（除A，B兩個端點(diǎn)外）中間經(jīng)過了其他的已知點(diǎn)或者連接A，B兩點(diǎn)的連線段（除A，B兩個端點(diǎn)外）中間與其他的連線段相交，則稱A，B兩點(diǎn)為間接連接.

定義6 球面上一條連線段與另一條連線段有交點(diǎn)，則稱這兩條連線段相交；球面上一條連線段與另一條連線段沒有交點(diǎn)，則稱這兩條連線段不相交.

定義7 如果整個球面上是由一些封閉圖形組合而成的球面圖形，我們則稱這樣的球面為球面組合圖形.

定義8 平面上或球面上一個封閉圖形，如果這個封閉圖形內(nèi)沒有其他的封閉圖形，我們則稱這樣的封閉圖形為獨(dú)立封閉圖形.

定理2 球面上任意兩兩互不重合的A，B，C，D四點(diǎn)，任意兩點(diǎn)之間作一條連線段，那么球面上必定會做出這樣的圖形：連線段的交點(diǎn)只是A，B，C，D四點(diǎn).

證明 因?yàn)锳，B，C，D為球面上任意兩兩互不重合的四點(diǎn)，我們按照一定的次序總可以把A，B，C，D設(shè)計為一個三棱錐形的四個頂點(diǎn)，這樣的話，球面上A，B，C，D四點(diǎn)中，任意兩點(diǎn)之間可以作一條連線段直接連接，那么球面上必定會出現(xiàn)這樣的圖形：連線段的交點(diǎn)只是A，B，C，D四點(diǎn).故定理2成立.

定理3 球面上任意兩兩互不重合的A，B，C，D，E五點(diǎn)，如果任意兩點(diǎn)之間作一條連線段連接，其中任一連線段（除端點(diǎn)外）中間不能經(jīng)過其他已知點(diǎn)，那么球面上一定不會做出這樣的圖形：連線段的交點(diǎn)只是A，B，C，D，E五點(diǎn).

證明 因?yàn)锳，B，C，D，E為球面上任意兩兩互不重合的五點(diǎn)，任意兩點(diǎn)之間作一條連線段連接，在球面上設(shè)計，可以按照如下程序操作：

（一）我們按照一定的次序總可以把A，B，C，D這四點(diǎn)設(shè)計為一個三棱錐形的四個頂點(diǎn)，這樣的話，球面上A，B，C，D四點(diǎn)中，任意兩點(diǎn)之間可以作一條連線段直接連接，那么球面上必定會是這樣的圖形：連線段與連線段的交點(diǎn)只是A，B，C，D四點(diǎn).這樣的話，我們就可以從前面得到的球面組合圖形中不難得出結(jié)論：即這A，B，C，D四點(diǎn)中的其中任何一點(diǎn)相對于其他三點(diǎn)，這一點(diǎn)則在一個封閉的圖形內(nèi).如果我們再按要求直接連接EA，EB，EC，ED，不管怎樣連接，其中至少有一個連接始終要經(jīng)過一個封閉的圖形，所以其中至少有一個連接不能進(jìn)行直接連接.也就是說對于球面上任意兩兩互不重合的A，B，C，D，E五點(diǎn)，如果任意兩點(diǎn)之間作一條連線段，并且要求任一條連線段中間不能經(jīng)過其他已知點(diǎn)，按照此要求不管怎樣連接，最終得到的圖形中至少會多出一個交點(diǎn)不在A，B，C，D，E這五點(diǎn)上.

（二）我們按照一定的次序總可以在球面上先直接連接AB，直接連接AC，直接連接AD，直接連接AE；接下來還可以直接連接BC，直接連接BD，直接連接BE；再可以直接連接CD；再可以直接連接DE；最后連接C點(diǎn)和E點(diǎn)的時候，我們還是要求直接連接，但是從前面得到的球面組合圖形中不難得出這樣的結(jié)論：最后連接C點(diǎn)和E點(diǎn)，要求中間不能經(jīng)過其他已知點(diǎn)，那么連接CE始終要經(jīng)過一個封閉的圖形，所以按照此要求不管怎樣連接，必定會多出一個交點(diǎn).所以按照要求直接連接AB，直接連接AC，直接連接AD，直接連接AE，直接連接BC，直接連接BD，直接連接BE，直接連接CD，直接連接DE，直接連接CE是不可能實(shí)現(xiàn)的情形.也就是說，對于球面上任意兩兩互不重合的A，B，C，D，E五點(diǎn)，任意兩點(diǎn)之間不可能均可作一條連線段直接連接.同時也說明對于球面上任意兩兩互不重合的A，B，C，D，E五點(diǎn)，如果任意兩點(diǎn)之間作一條連線段，并且要求任一條連線段中間不能經(jīng)過其他已知點(diǎn)，按照此要求不管怎樣連接，最終得到的圖形中至少會多出一個交點(diǎn)不在A，B，C，D，E這五點(diǎn)上.

綜上所述，定理3成立.

定理4 球面上任意兩兩互不重合的A，B，C，D，E五點(diǎn)，如果任意兩點(diǎn)之間作一條連線段連接，其中任一連線段（除端點(diǎn)外）中間不能經(jīng)過其他已知點(diǎn)，那么球面上一定不會做出這樣的組合圖形：球面上的組合圖形只由五個獨(dú)立封閉圖形組成.

證明：由定理3可知，定理4成立.

定理5 平面上能夠設(shè)計出滿足某一特征的組合圖形，則在球面上也能設(shè)計出滿足該特征的組合圖形；球面上不能設(shè)計出滿足某一特征的組合圖形，則在平面上也不能設(shè)計出滿足該特征的組合圖形.

證明：在平面上和球面上設(shè)計均要滿足某一特征的組合圖形，因?yàn)樵谇蛎嫔显O(shè)計可以從三維空間考慮設(shè)計，而在平面上設(shè)計只能從二維空間考慮設(shè)計，顯然三維空間要好設(shè)計一些.故定理5成立.

定理6 設(shè)有獨(dú)立封閉圖形A，B，C，D，則平面上或球面上可以設(shè)計出獨(dú)立封閉圖形A，B，C，D的如下組合圖形：獨(dú)立封閉圖形A，B，C，D中任意兩兩獨(dú)立封閉圖形均有公共邊界；并且組合圖形中不會出現(xiàn)有獨(dú)立封閉圖形與獨(dú)立封閉圖形重合或者出現(xiàn)獨(dú)立封閉圖形與獨(dú)立封閉圖形部分重疊的情形.

證明 我們在球面上設(shè)置任意兩兩互不重合的E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，由定理2可知，球面上任意兩兩互不重合的E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，任意兩點(diǎn)之間均可以作一條連線段直接連接，那么球面上必定會設(shè)計出這樣的圖形：連線段與連線段的交點(diǎn)只是E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn).這樣球面上就出現(xiàn)了由四塊獨(dú)立封閉圖形組合成的球面圖形，其中任意兩塊獨(dú)立封閉圖形均有公共邊界，并且任意兩塊獨(dú)立封閉圖形不重合以及任意兩塊獨(dú)立封閉圖形不部分重疊.所以球面上可以設(shè)計出獨(dú)立封閉圖形A，B，C，D中任意兩兩獨(dú)立封閉圖形均有公共邊界的組合圖形，并且不會出現(xiàn)有獨(dú)立封閉圖形與獨(dú)立封閉圖形重合或出現(xiàn)獨(dú)立封閉圖形與獨(dú)立封閉圖形部分重疊的情形.

或者我們總可以把兩兩互不重合的E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，根據(jù)拓?fù)渥儞Q，把兩兩互不重合的E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)拓?fù)渥儞Q為四塊獨(dú)立封閉圖形，任意兩點(diǎn)之間的連線段直接連接拓?fù)渥儞Q為公共邊界，這樣仍然可以得到獨(dú)立封閉圖形A，B，C，D中任意兩兩獨(dú)立封閉圖形均有公共邊界；并且組合圖形中不會出現(xiàn)有獨(dú)立封閉圖形與獨(dú)立封閉圖形重合或者出現(xiàn)獨(dú)立封閉圖形與獨(dú)立封閉圖形部分重疊的情形.

綜上所述，定理6成立.

定理7 設(shè)有獨(dú)立封閉圖形A，B，C，D，E，則平面上或球面上一定不會設(shè)計出獨(dú)立封閉圖形A，B，C，D，E的如下組合圖形：獨(dú)立封閉圖形A，B，C，D，E中任意兩兩獨(dú)立封閉圖形均有公共邊界，并且組合圖形中不會出現(xiàn)有獨(dú)立封閉圖形與獨(dú)立封閉圖形重合或者出現(xiàn)獨(dú)立封閉圖形與獨(dú)立封閉圖形部分重疊的情形.

證明 我們在球面上設(shè)置任意兩兩互不重合的F，G，H，I，J五點(diǎn)，假定任意兩點(diǎn)之間可以作一條連線段直接連接，說明連線段與連線段的交點(diǎn)只是F，G，H，I，J五點(diǎn).這樣球面上就出現(xiàn)了只由五塊獨(dú)立封閉圖形組合成的球面組合圖形，并且滿足任意兩塊獨(dú)立封閉圖形均有公共邊界，任意兩塊獨(dú)立封閉圖形不重合以及任意兩塊獨(dú)立封閉圖形不部分重疊.這樣的情形就與定理3和定理4的情形產(chǎn)生了矛盾.這就說明對于球面上任意兩兩互不重合的F，G，H，I，J五點(diǎn)，任意兩點(diǎn)之間不可能作一條連線段直接連接.同時也說明了球面上一定不會設(shè)計出獨(dú)立封閉圖形A，B，C，D，E的如下組合圖形：獨(dú)立封閉圖形A，B，C，D，E中任意兩兩獨(dú)立封閉圖形均有公共邊界，并且組合圖形中獨(dú)立封閉圖形與獨(dú)立封閉圖形不重合或者獨(dú)立封閉圖形與獨(dú)立封閉圖形不部分重疊.

綜上所述，定理7成立.

三、“四色定理”證明

四色定理：平面上或球面上每幅地圖都可以只用四種顏色著色.

證明：由定理5和定理6以及定理7可知，平面上或球面上每幅地圖中不可能出現(xiàn)有五塊獨(dú)立封閉圖形是如下這樣的情形：任意兩兩獨(dú)立封閉圖形均有公共邊界，并且獨(dú)立封閉圖形與獨(dú)立封閉圖形不重合或者獨(dú)立封閉圖形與獨(dú)立封閉圖形不部分重疊.故四色定理成立.

【參考文獻(xiàn)】

[1]朱德祥.初等幾何研究[M].北京：高等教育出版社，1985.

[2]江蘇師范學(xué)院數(shù)學(xué)系《解析幾何》編寫組.解析幾何[M].北京：高等教育出版社，1960.

[3]朱德祥.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，1983.