二次函數(shù)在高中數(shù)學應用的淺析

陳紫翔

摘要：高中學習階段，將會對二次函數(shù)進行更加系統(tǒng)的，全面的，深入的學習。本文從二次函數(shù)本身的概念、性質(zhì)、圖像到具體的題目中的體現(xiàn)和解答，通過概念闡述與具體題目相結(jié)合的方式，對二次函數(shù)相關(guān)知識進行分析。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；高中數(shù)學；“二次”應用

二次函數(shù)作為最基本的非線性函數(shù)，基本初等函數(shù)中我們在高中學習中接觸最多的，也是串聯(lián)起我們整個高中數(shù)學學習的一個必不可少的紐帶。二次函數(shù)，衍生出來的二次不等式，二次方程也都是非常重要的。“三個二次”之間的關(guān)系千絲萬縷，十分微妙。因此，熟練掌握二次函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像以及如何應用在題目解答中的，十分重要，也是我們能夠舉一反三，活學活用的前提和基礎(chǔ)條件。

一、二次函數(shù)的概念和性質(zhì)

一般地，自變量x和因變量y之間存在關(guān)系如：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且二次函數(shù)的開口方向取決于a。當a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。|a|的大小會影響二次函數(shù)開口的大小，|a|越大開口越小，反之|a|越小開口越大。），則稱y為x的二次函數(shù)。二次函數(shù)最高次數(shù)必須為2， 二次函數(shù)的圖像是一條對稱軸與y軸平行或重合于y軸的拋物線。

倘若等式左邊y的值等于0，那得到一個二次方程。這個方程的解稱作二次函數(shù)的零點。

二、二次函數(shù)的圖像

（一）二次函數(shù)基本圖像

在平面直角坐標系中，作二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像。我們可以看出，不特別規(guī)定定義域的取值范圍時，二次函數(shù)圖像就是一條永無止境的拋物線。我們可以通過平移拋物線y=ax2的圖像得到二次函數(shù)y=ax2+bx+c所以對應的圖像。〖JP〗

（二）二次函數(shù)的軸對稱性

二次函數(shù)圖像是軸對稱圖形。從二次函數(shù)的一般式中可得到，對稱軸是直線x=[SX（]b[]2a[SX）]。

對稱軸與二次函數(shù)圖像唯一的交點就是二次函數(shù)圖象的頂點。特殊情況：b=0時，y軸（即直線x=0）是對稱軸。

（三）決定二次函數(shù)位置的因素

在二次函數(shù)的一般式中，一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

我們可以記憶為：左同右異。即當對稱軸在y軸左側(cè)時，二次項系數(shù)a與一次項系數(shù)b同號（ab>0）；當對稱軸在y軸右側(cè)時，二次項系數(shù)a與一次項系數(shù)b異號（ab<0）。

注：一次項系數(shù)b有其自身的幾何意義。在二次函數(shù)圖像與y軸的交點處，該二次函數(shù)圖像切線的函數(shù)解析式（所對應的一次函數(shù)）的斜率k的值。

（四）函數(shù)作圖

二次函數(shù)的作圖方法有描點法和五點作圖法（五點草圖法）。五點作圖法是二次函數(shù)中一種常用的作圖方法。顧名思義也就是通過五個特殊的點（頂點、與x軸的交點、與y軸的交點及其關(guān)于對稱軸的對稱點），來確定函數(shù)圖像。

三、二次函數(shù)的應用

例1.設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x） = x2+|xa|+1，x∈R，

（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性；

（2）求函數(shù)f（x）的最小值。

思路點撥：該題所給函數(shù)含有絕對值，需要去掉絕對值，將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，分段求解。

解：（1）當a=0時，f（x）=x2+|x|+1， 函數(shù)f （x）是在定義域x∈R上的偶函數(shù)；

當a≠0時，f（a）=a2+1，f（a）=a2+|2a|+1，f（x）≠f（a），

此時函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)；

（2）[ZK（][XCimage149.tif；%50%50，JZ]=[XCimage150.tif；%50%50，JZ][ZK）]

當[XCimage151.tif；%50%50，JZ]時，[XCimage152.tif；%50%50，JZ]，此時，[XCimage153.tif；%50%50，JZ]；

當[XCimage154.tif；%50%50，JZ]時，[XCimage155.tif；%50%50，JZ]

當[XCimage156.tif；%50%50，JZ]時，[XCimage157.tif；%50%50，JZ]

例2.已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+1a，在區(qū)間[0，1]上有最大值2，求a的值。

解：由函數(shù)f（x）=x2+2ax+1a，得對稱軸x=a，

①若a≤0，則f（x）在[0，1]上為減函數(shù)，有f（x）max=f（0）=2，

由[JB（{]a≤0f（0）=2[JB）][JB（{]a≤01a=2[JB）][JB（{]a≤0a=1[JB）]a=1；

②若0

由[JB（{]0

[JB（{]0

或a=[JB（{]0

1[SX（][KF（]5[KF）][]2[SX）][JB）]，此時a無解；

③若a≥1時，f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，有f（x）max=f（1）=2，

由[JB（{]a≥1f（1）=12+2a+1a=2[JB）][JB（{]a≥1a=2[JB）]a=2；

綜上所述，由①②③可知，當函數(shù)f（x）=x2+2ax+1a在區(qū)間[0，1]上有最大值2時，a的值為1或2。

四、總結(jié)

縱觀高中數(shù)學的學習，以及高考題目中所體現(xiàn)出來的對學生能力的考查。二次函數(shù)可以說是高中數(shù)學的重中之重，從二次函數(shù)最基本的概念，性質(zhì)，圖像，到二次函數(shù)根的分布，二次方程的解的個數(shù)，二次不等式的取值范圍，甚至于解析幾何中二次函數(shù)與直線與圓錐曲線的關(guān)聯(lián)。這些無不說明，二次函數(shù)在高中數(shù)學中的地位和作用，因此學會和用好二次函數(shù)對于我們的學習和考試來說，任重而道遠。

參考文獻：

[1]余紅兵.“三個二次”的應用[J].數(shù)學教學通訊，2005，（235）：92.

[2]謝永香.二次函數(shù)在高中數(shù)學中的應用淺探[J].數(shù)學·教學經(jīng)緯，2014，（182）：30.

[3]李長清.淺談二次函數(shù)在高中階段的應用[J].新教師教學，2011，（3）：101.