邵漢民
【摘 要】“數列”是引導學生研究數的變化特征,培養學生數感,促進學生思維發展的一種學習材料。等差數列、等比數列和裴波那契數列是比較常見的三種數列。教師以文化視角進行教學實踐,可以讓學生經歷數列規律的探究過程,有層次地促進學生的思維發展。
【關鍵詞】數列;數學文化;探究價值;思維發展
等差數列、等比數列和裴波那契數列是三種常見的數列,在生活中可以找到它們的現實原型,如堆成三角形或梯形的圓木堆可以看作等差數列的原型,做拉面時師傅不斷地對折拉面的過程中,拉面根數增加的情況就是一個等比數列,而大自然中大多數花朵的花瓣數,如果從少到多排列起來,居然會是一組裴波那契數列。同時,關于這三個數列,都有一些數學故事,等差數列有高斯求和的故事,等比數列有達依爾的麥粒故事,裴波那契數列有兔子繁殖的故事。如何利用好這些現實原型,并充分挖掘這些故事的數學內涵,讓學生經歷這些數列的抽象過程,促進學生的思維發展?對此,筆者進行了教學思考與實踐。
利用等差數列求和這一數學知識培養學生良好的數感,是“等差數列”學習價值的體現。但是,作為小學生,如果我們單純地讓學生求等差數列的和,掌握它的計算公式:和=(首項+末項)×項數÷2,似乎還沒有真正挖掘出“等差數列”的教學價值。如何通過找尋“等差數列”與現實模型、圖式模型之間的聯系,體驗數學與現實之間的內容聯系?如何通過“等差數列求和”的簡便算法的探究與圖式變換之間的比較,形成數形結合的思維習慣?如何淡化數學形式化思維,讓學生從數學的本質出發理解解題的思路?出于對以上問題的思考,我們基于二下年級學生的學習基礎,開展把等差數列求和轉化為三角形點子圖的研究。具體安排以下三個教學環節。
(一)經歷從“等差數列”的現實模型到圖式模型再到數學表達的過程
1.引入主題:看照片回憶周日愉快的親子活動(掰玉米、摘黃瓜)。然后出示下面圖片。
2.引導觀察:說一說它們是怎么擺放的?
3.指導概括:能用最簡潔的符號把這些形狀描述下來嗎?
通過以上三個層次的引導,形成以下數學抽象的過程。
(二)探索從數學計算到圖式變換再到數形結合的歷程
1.提出問題,自主探究:一共有多少個點子?
2.交流匯報,理清思路。
1+2+3+4+5+6=(1+6)+(2+5)+(3+4)=7×3=21
(三)經歷從變式練習到特征比較再到拓展練習的進程
弗賴登塔爾曾明確指出:“毫無疑問學生也應該學習數學化,當然從最低的層次開始,也就是先從非數學內容進行數學化,以保證數學的應用性,同時還應該進到下一層次,即至少能對數學內容進行局部組織?!币陨先齻€環節的教學設計,體現了弗賴登塔爾的這一數學教學思想。由此,我們在對如“數列”這樣一些高度抽象的數學化材料的處理上,不能只囿于數學公式的推理,而應該從更普遍意義上來理解,即如何讓學生經歷數學思維的全過程。
不熟悉“幾何級數”的變化特點,茫然地做出承諾,就會釀成大錯,這樣的事例,我們可以從一些數學科普讀物中找到,如下面列舉的“達依爾的麥子”就是一個很好的教學材料。
相傳古印度人達依爾發明了國際象棋而使當朝的國王十分開心,國王便決定重賞他。
“我不要您的重賞,陛下。”達依爾接著說,“我只要您能在我的棋盤上賞些麥子:在第一格放一粒,第二格放2粒,第三格放4粒,以后每格放的麥粒都比它前面一格多一倍,我只求能放滿64格就行了。”
“區區小數,幾粒麥子,這有何難,……”國王未加思考立即允道。
有句話叫作“君無戲言”。如果國王的賞賜真的要實現,那么就算國王傾全國的財富,也滿足不了對達依爾的賞賜。
對于這樣一則數學故事,如果將其轉化成教學過程,把目標停留于求解,那么就變得太難了,對于六年級的小學生來說不免顯得力不從心,也沒有必要。但如果除去這種純粹難度外,這里包含著太多的數學化的過程。如果從這個角度來思考,等比數列的教學目標不只是為了求出問題的解,而是在求問題解的過程中,經歷數學化的過程。
(一)從數的表達到式的表達
小學計算中一般以數為基本單位,因此由題意可以分析得出每格中所放的麥子數依次為1,2,4,8,16,32……一直到第64格上放的麥子數這樣一組等比數列。這樣的表示方法可以讓人明顯地感受到數的大小變化,但是越往后數的位數越來越多,書寫越來越不方便。能否用更簡捷的方法來表示結果?從分析數的特征入手,從4開始,每個數都可以表示成若干個2相乘的形式。如下圖。
這個規律可以有兩種表達,即用乘法的形式表示和用冪的形式表示。通過以上三種表示每格中麥子數的方法的比較,既可以發現它們之間的聯系,更可以體會到數學表達的優化過程。
誠然,對于六年級的小學生來說,也只學到平方數與立方數的表達,對于如63個2相乘的運算用冪的形式來表示,還是很陌生。但是,如果我們能運用遷移的思路,讓學生理解平方數與立方數的基本結構,類比“乘方”這種運算形式簡寫式an,也是可以實現的。
(二)從按運算順序直接計算到用遞推法找規律簡算
在計算其結果時,一般我們用邏輯推理的形式來進行教學。
從以上列舉中發現,“前幾項的和等于后一項的數減1”,所以棋盤上64格上的麥粒數的和等于第65格上的麥粒數減1,即264-1。
就數學思維而言,以上解決問題的形式是一種數學演算的過程,是解決等比數列的一種解題過程。如果從方法論的角度來思考,解決這一個問題可以用方法一、方法二進行簡化計算。
以上三種方法,從計算的簡捷性來看,當然是前兩種方法更加優越,但從小學生的可接受性來說,方法二更好。因此,在實際教學中我們要引導學生用方法二來思考。
可以直接提出要求:現在請同學們計算出結果。1分鐘之后,請學生匯報計算情況,從學生的匯報中得到方法二中的學習材料,再組織學生討論。
(三)從計算出結果到感受大數
最后結果的計算,可以借助于計算器。這些麥粒的總數為1+2+22+23+……+263=264-1=18446744073709551615粒。
一個20位數,這么多麥粒究竟有多少?光看這個數,可能并不能感受到有多少。就如我們人的聽覺,當聲音的頻率過高與過低時都不可能聽清楚一樣,當一個數過大或過小時,我們也不可以用具體的表象進行感知。
那么,如何讓學生感知到這個數的大???
方法一是把單位變大,如20000粒左右的麥子大約是1千克,那么一噸麥子就是20000000粒,這樣一除,18446744073709551615粒麥子大致上是922 327 203 685噸。
第二種方法是進行形象化的描述,也就是說大約需要九千二百二十三億噸麥子才能滿足達依爾的要求。這大約是全球兩千年所產小麥的總量。
這讓區區一個印度國王如何賞得起呢?
在數學史料中,有許多數學家編制過數學題,其中有一些題目,如果從自然現象與自然規律來看,是不符合客觀規律的,甚至是十分荒唐的,如“雞兔同籠”問題,雞和兔關在同一個籠子里,這是不合常理的。那么數學家為什么要編制這樣的題目,其真正的價值是怎樣的?我們可以從對斐波那契數列的分析中找到答案。
假定一對剛出生的小兔一個月后就能長成大兔,再過一個月便能生下一對小兔,并且此后每個月都生一對小兔。一年內沒有發生死亡,問一對剛出生的兔子,一年內能繁殖多少對兔子?
如果從生物學的角度來看待這個問題,這是一件十分荒唐的事情,小兔子一個月后并不能變成大兔,母兔一般一次可以生育5~6只小兔。總之,兔子不會按斐波那契所說的這樣有規律地生長與生育。這也正是這道名題受到人們質疑的原因,因為它所展現的情境不符合實際。
如果從數學的角度來講,問題情境有兩個用途,一是體現數學的實用價值,二是為數學知識構建一個現實原型。當然兩者能夠兼顧更好。斐波那契數列中的問題情境,顯然是后者。數學家編制這樣一個問題,是讓解題者感受到,在解決紛繁復雜的問題時,如果能找到規律,就可以根據規律進行推理。斐波那契數列的教學價值就在于此。
下面是我們設計的教學過程。
1.理解題意,獨立解答。
教師談話引入題目,請學生讀題,說說題目的意思。然后請學生獨立解答。
2.交流方法,發現規律。
一般學生會有以下三種基本思路。
(1)圖示法
我們用◎表示一對大兔,用○表示一對小兔,逐月統計兔子的對數:
第1月底
第2月底
第3月底
第4月底
第5月底
第6月
……
(2)列表法
(3)列舉法
一月,只有1對小兔,大兔為0對,合計1對;
二月,1對小兔長成1對大兔,小兔變為0對,大兔1對,合計1對;
依此類推:
三月:小兔有1對;大兔有1對;合計1+1=2(對);
……
不論用哪一種方法,只要花時間,學生均可以推導出最后的結果。但這并不是本題在小學教學中的真正用意。本題的真實用意應該是培養學生的反思意識,能從前幾個月結果之間的關系,發現規律。
因此,可以讓學生解決到中途,或有個別學生解答出結果時,讓學生停一停,反思自己已知的結果,從中找一找規律。如果發現了規律,可以根據規律推導出下一個結果,并用原來的方法進行驗證。這是解決問題時很重要的思維習慣。通過觀察學生找到了規律:
第三個數起,后一個數都是前兩個數的和。即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144……
為了紀念這位數學家,這個數列后來便以斐波那契的名字命名,叫作斐波那契數列。數列的每一項,則稱為“斐波那契數”。第十二位的斐波那契數,即為一對剛出生的小兔,一年內所能繁殖的兔子的對數,這個數為144。前面的幾個斐波那契數分別是1,1,2,3,5,8,13,21,34……
3.聯系自然,感受神奇。
接著可以結合圖示向學生展示自然界中的斐波那契數。
斐波那契數列在它誕生的近800年間,由于它的神奇,引來無數的“斐迷”,驅使他們不僅在數學領域研究它,更有人從自然領域、化學領域和科學領域去探究它的奇妙。
綜合以上的思考與教學,當我們在指導學生進行課外閱讀或進行數學課外延伸教學的時候,不要只是從知識的層面來看某些內容可用還是不可用,而要深入到其中的思維層面,看其是否能促進學生的思維發展。
(浙江省杭州市蕭山區所前二小 311200)