邵漢民
【摘 要】“數(shù)列”是引導(dǎo)學(xué)生研究數(shù)的變化特征,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感,促進學(xué)生思維發(fā)展的一種學(xué)習(xí)材料。等差數(shù)列、等比數(shù)列和裴波那契數(shù)列是比較常見的三種數(shù)列。教師以文化視角進行教學(xué)實踐,可以讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)列規(guī)律的探究過程,有層次地促進學(xué)生的思維發(fā)展。
【關(guān)鍵詞】數(shù)列;數(shù)學(xué)文化;探究價值;思維發(fā)展
等差數(shù)列、等比數(shù)列和裴波那契數(shù)列是三種常見的數(shù)列,在生活中可以找到它們的現(xiàn)實原型,如堆成三角形或梯形的圓木堆可以看作等差數(shù)列的原型,做拉面時師傅不斷地對折拉面的過程中,拉面根數(shù)增加的情況就是一個等比數(shù)列,而大自然中大多數(shù)花朵的花瓣數(shù),如果從少到多排列起來,居然會是一組裴波那契數(shù)列。同時,關(guān)于這三個數(shù)列,都有一些數(shù)學(xué)故事,等差數(shù)列有高斯求和的故事,等比數(shù)列有達依爾的麥粒故事,裴波那契數(shù)列有兔子繁殖的故事。如何利用好這些現(xiàn)實原型,并充分挖掘這些故事的數(shù)學(xué)內(nèi)涵,讓學(xué)生經(jīng)歷這些數(shù)列的抽象過程,促進學(xué)生的思維發(fā)展?對此,筆者進行了教學(xué)思考與實踐。
利用等差數(shù)列求和這一數(shù)學(xué)知識培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)感,是“等差數(shù)列”學(xué)習(xí)價值的體現(xiàn)。但是,作為小學(xué)生,如果我們單純地讓學(xué)生求等差數(shù)列的和,掌握它的計算公式:和=(首項+末項)×項數(shù)÷2,似乎還沒有真正挖掘出“等差數(shù)列”的教學(xué)價值。如何通過找尋“等差數(shù)列”與現(xiàn)實模型、圖式模型之間的聯(lián)系,體驗數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的內(nèi)容聯(lián)系?如何通過“等差數(shù)列求和”的簡便算法的探究與圖式變換之間的比較,形成數(shù)形結(jié)合的思維習(xí)慣?如何淡化數(shù)學(xué)形式化思維,讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的本質(zhì)出發(fā)理解解題的思路?出于對以上問題的思考,我們基于二下年級學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ),開展把等差數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為三角形點子圖的研究。具體安排以下三個教學(xué)環(huán)節(jié)。
(一)經(jīng)歷從“等差數(shù)列”的現(xiàn)實模型到圖式模型再到數(shù)學(xué)表達的過程
1.引入主題:看照片回憶周日愉快的親子活動(掰玉米、摘黃瓜)。然后出示下面圖片。
2.引導(dǎo)觀察:說一說它們是怎么擺放的?
3.指導(dǎo)概括:能用最簡潔的符號把這些形狀描述下來嗎?
通過以上三個層次的引導(dǎo),形成以下數(shù)學(xué)抽象的過程。
(二)探索從數(shù)學(xué)計算到圖式變換再到數(shù)形結(jié)合的歷程
1.提出問題,自主探究:一共有多少個點子?
2.交流匯報,理清思路。
1+2+3+4+5+6=(1+6)+(2+5)+(3+4)=7×3=21
(三)經(jīng)歷從變式練習(xí)到特征比較再到拓展練習(xí)的進程
弗賴登塔爾曾明確指出:“毫無疑問學(xué)生也應(yīng)該學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化,當(dāng)然從最低的層次開始,也就是先從非數(shù)學(xué)內(nèi)容進行數(shù)學(xué)化,以保證數(shù)學(xué)的應(yīng)用性,同時還應(yīng)該進到下一層次,即至少能對數(shù)學(xué)內(nèi)容進行局部組織。”以上三個環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計,體現(xiàn)了弗賴登塔爾的這一數(shù)學(xué)教學(xué)思想。由此,我們在對如“數(shù)列”這樣一些高度抽象的數(shù)學(xué)化材料的處理上,不能只囿于數(shù)學(xué)公式的推理,而應(yīng)該從更普遍意義上來理解,即如何讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維的全過程。
不熟悉“幾何級數(shù)”的變化特點,茫然地做出承諾,就會釀成大錯,這樣的事例,我們可以從一些數(shù)學(xué)科普讀物中找到,如下面列舉的“達依爾的麥子”就是一個很好的教學(xué)材料。
相傳古印度人達依爾發(fā)明了國際象棋而使當(dāng)朝的國王十分開心,國王便決定重賞他。
“我不要您的重賞,陛下。”達依爾接著說,“我只要您能在我的棋盤上賞些麥子:在第一格放一粒,第二格放2粒,第三格放4粒,以后每格放的麥粒都比它前面一格多一倍,我只求能放滿64格就行了。”
“區(qū)區(qū)小數(shù),幾粒麥子,這有何難,……”國王未加思考立即允道。
有句話叫作“君無戲言”。如果國王的賞賜真的要實現(xiàn),那么就算國王傾全國的財富,也滿足不了對達依爾的賞賜。
對于這樣一則數(shù)學(xué)故事,如果將其轉(zhuǎn)化成教學(xué)過程,把目標(biāo)停留于求解,那么就變得太難了,對于六年級的小學(xué)生來說不免顯得力不從心,也沒有必要。但如果除去這種純粹難度外,這里包含著太多的數(shù)學(xué)化的過程。如果從這個角度來思考,等比數(shù)列的教學(xué)目標(biāo)不只是為了求出問題的解,而是在求問題解的過程中,經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程。
(一)從數(shù)的表達到式的表達
小學(xué)計算中一般以數(shù)為基本單位,因此由題意可以分析得出每格中所放的麥子數(shù)依次為1,2,4,8,16,32……一直到第64格上放的麥子數(shù)這樣一組等比數(shù)列。這樣的表示方法可以讓人明顯地感受到數(shù)的大小變化,但是越往后數(shù)的位數(shù)越來越多,書寫越來越不方便。能否用更簡捷的方法來表示結(jié)果?從分析數(shù)的特征入手,從4開始,每個數(shù)都可以表示成若干個2相乘的形式。如下圖。
這個規(guī)律可以有兩種表達,即用乘法的形式表示和用冪的形式表示。通過以上三種表示每格中麥子數(shù)的方法的比較,既可以發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系,更可以體會到數(shù)學(xué)表達的優(yōu)化過程。
誠然,對于六年級的小學(xué)生來說,也只學(xué)到平方數(shù)與立方數(shù)的表達,對于如63個2相乘的運算用冪的形式來表示,還是很陌生。但是,如果我們能運用遷移的思路,讓學(xué)生理解平方數(shù)與立方數(shù)的基本結(jié)構(gòu),類比“乘方”這種運算形式簡寫式an,也是可以實現(xiàn)的。
(二)從按運算順序直接計算到用遞推法找規(guī)律簡算
在計算其結(jié)果時,一般我們用邏輯推理的形式來進行教學(xué)。
從以上列舉中發(fā)現(xiàn),“前幾項的和等于后一項的數(shù)減1”,所以棋盤上64格上的麥粒數(shù)的和等于第65格上的麥粒數(shù)減1,即264-1。
就數(shù)學(xué)思維而言,以上解決問題的形式是一種數(shù)學(xué)演算的過程,是解決等比數(shù)列的一種解題過程。如果從方法論的角度來思考,解決這一個問題可以用方法一、方法二進行簡化計算。
以上三種方法,從計算的簡捷性來看,當(dāng)然是前兩種方法更加優(yōu)越,但從小學(xué)生的可接受性來說,方法二更好。因此,在實際教學(xué)中我們要引導(dǎo)學(xué)生用方法二來思考。
可以直接提出要求:現(xiàn)在請同學(xué)們計算出結(jié)果。1分鐘之后,請學(xué)生匯報計算情況,從學(xué)生的匯報中得到方法二中的學(xué)習(xí)材料,再組織學(xué)生討論。
(三)從計算出結(jié)果到感受大數(shù)
最后結(jié)果的計算,可以借助于計算器。這些麥粒的總數(shù)為1+2+22+23+……+263=264-1=18446744073709551615粒。
一個20位數(shù),這么多麥粒究竟有多少?光看這個數(shù),可能并不能感受到有多少。就如我們?nèi)说穆犛X,當(dāng)聲音的頻率過高與過低時都不可能聽清楚一樣,當(dāng)一個數(shù)過大或過小時,我們也不可以用具體的表象進行感知。
那么,如何讓學(xué)生感知到這個數(shù)的大小?
方法一是把單位變大,如20000粒左右的麥子大約是1千克,那么一噸麥子就是20000000粒,這樣一除,18446744073709551615粒麥子大致上是922 327 203 685噸。
第二種方法是進行形象化的描述,也就是說大約需要九千二百二十三億噸麥子才能滿足達依爾的要求。這大約是全球兩千年所產(chǎn)小麥的總量。
這讓區(qū)區(qū)一個印度國王如何賞得起呢?
在數(shù)學(xué)史料中,有許多數(shù)學(xué)家編制過數(shù)學(xué)題,其中有一些題目,如果從自然現(xiàn)象與自然規(guī)律來看,是不符合客觀規(guī)律的,甚至是十分荒唐的,如“雞兔同籠”問題,雞和兔關(guān)在同一個籠子里,這是不合常理的。那么數(shù)學(xué)家為什么要編制這樣的題目,其真正的價值是怎樣的?我們可以從對斐波那契數(shù)列的分析中找到答案。
假定一對剛出生的小兔一個月后就能長成大兔,再過一個月便能生下一對小兔,并且此后每個月都生一對小兔。一年內(nèi)沒有發(fā)生死亡,問一對剛出生的兔子,一年內(nèi)能繁殖多少對兔子?
如果從生物學(xué)的角度來看待這個問題,這是一件十分荒唐的事情,小兔子一個月后并不能變成大兔,母兔一般一次可以生育5~6只小兔。總之,兔子不會按斐波那契所說的這樣有規(guī)律地生長與生育。這也正是這道名題受到人們質(zhì)疑的原因,因為它所展現(xiàn)的情境不符合實際。
如果從數(shù)學(xué)的角度來講,問題情境有兩個用途,一是體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實用價值,二是為數(shù)學(xué)知識構(gòu)建一個現(xiàn)實原型。當(dāng)然兩者能夠兼顧更好。斐波那契數(shù)列中的問題情境,顯然是后者。數(shù)學(xué)家編制這樣一個問題,是讓解題者感受到,在解決紛繁復(fù)雜的問題時,如果能找到規(guī)律,就可以根據(jù)規(guī)律進行推理。斐波那契數(shù)列的教學(xué)價值就在于此。
下面是我們設(shè)計的教學(xué)過程。
1.理解題意,獨立解答。
教師談話引入題目,請學(xué)生讀題,說說題目的意思。然后請學(xué)生獨立解答。
2.交流方法,發(fā)現(xiàn)規(guī)律。
一般學(xué)生會有以下三種基本思路。
(1)圖示法
我們用◎表示一對大兔,用○表示一對小兔,逐月統(tǒng)計兔子的對數(shù):
第1月底
第2月底
第3月底
第4月底
第5月底
第6月
……
(2)列表法
(3)列舉法
一月,只有1對小兔,大兔為0對,合計1對;
二月,1對小兔長成1對大兔,小兔變?yōu)?對,大兔1對,合計1對;
依此類推:
三月:小兔有1對;大兔有1對;合計1+1=2(對);
……
不論用哪一種方法,只要花時間,學(xué)生均可以推導(dǎo)出最后的結(jié)果。但這并不是本題在小學(xué)教學(xué)中的真正用意。本題的真實用意應(yīng)該是培養(yǎng)學(xué)生的反思意識,能從前幾個月結(jié)果之間的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)規(guī)律。
因此,可以讓學(xué)生解決到中途,或有個別學(xué)生解答出結(jié)果時,讓學(xué)生停一停,反思自己已知的結(jié)果,從中找一找規(guī)律。如果發(fā)現(xiàn)了規(guī)律,可以根據(jù)規(guī)律推導(dǎo)出下一個結(jié)果,并用原來的方法進行驗證。這是解決問題時很重要的思維習(xí)慣。通過觀察學(xué)生找到了規(guī)律:
第三個數(shù)起,后一個數(shù)都是前兩個數(shù)的和。即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144……
為了紀念這位數(shù)學(xué)家,這個數(shù)列后來便以斐波那契的名字命名,叫作斐波那契數(shù)列。數(shù)列的每一項,則稱為“斐波那契數(shù)”。第十二位的斐波那契數(shù),即為一對剛出生的小兔,一年內(nèi)所能繁殖的兔子的對數(shù),這個數(shù)為144。前面的幾個斐波那契數(shù)分別是1,1,2,3,5,8,13,21,34……
3.聯(lián)系自然,感受神奇。
接著可以結(jié)合圖示向?qū)W生展示自然界中的斐波那契數(shù)。
斐波那契數(shù)列在它誕生的近800年間,由于它的神奇,引來無數(shù)的“斐迷”,驅(qū)使他們不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究它,更有人從自然領(lǐng)域、化學(xué)領(lǐng)域和科學(xué)領(lǐng)域去探究它的奇妙。
綜合以上的思考與教學(xué),當(dāng)我們在指導(dǎo)學(xué)生進行課外閱讀或進行數(shù)學(xué)課外延伸教學(xué)的時候,不要只是從知識的層面來看某些內(nèi)容可用還是不可用,而要深入到其中的思維層面,看其是否能促進學(xué)生的思維發(fā)展。
(浙江省杭州市蕭山區(qū)所前二小 311200)
教學(xué)月刊·小學(xué)數(shù)學(xué)2018年3期