揭開“錯(cuò)誤”的面紗

周青燕

【摘 要】2017年第11期的《教學(xué)月刊·小學(xué)版》（數(shù)學(xué)）有很多有亮點(diǎn)的文章，其中《低年級(jí)學(xué)生對(duì)應(yīng)思考中的直覺規(guī)律》和《程序性知識(shí)典型錯(cuò)題的成因分析及教學(xué)策略》兩文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐提出，一線教師可以從四個(gè)方面去關(guān)注學(xué)生的“錯(cuò)誤”，讓錯(cuò)誤成為教學(xué)資源。

【關(guān)鍵詞】錯(cuò)誤；賞析

從2017年元月開始，每月7日晚上19：00～21：00，全國著名特級(jí)教師朱樂平率領(lǐng)他的一課研究團(tuán)隊(duì)成員，在線為廣大《教學(xué)月刊·小學(xué)版》（數(shù)學(xué)）讀者做上一個(gè)月文章的導(dǎo)讀與交流，并邀請(qǐng)《教學(xué)月刊·小學(xué)版》（數(shù)學(xué)）的作者與讀者進(jìn)行對(duì)話，回答問題和交流寫作體會(huì)。為此每一期的導(dǎo)讀員在讀本期文章時(shí)都格外用心，希望通過自己的導(dǎo)讀引起讀者共鳴。2017年第11期的《教學(xué)月刊·小學(xué)版》（數(shù)學(xué)）有很多有亮點(diǎn)的文章，現(xiàn)只摘取有關(guān)學(xué)生錯(cuò)誤的文章與讀者交流。

本文所指的數(shù)學(xué)錯(cuò)誤是廣義的：小學(xué)生會(huì)在他們的書面作業(yè)、實(shí)際練習(xí)以及口頭回答老師的問題時(shí)出錯(cuò)，這些錯(cuò)誤可能是因?yàn)榇中幕蛘呤怯蛇\(yùn)算過程的失誤導(dǎo)致，這些錯(cuò)或誤都在本文的討論范圍。2011年之后關(guān)于錯(cuò)誤的研究文章劇增，在眾多的研究中尤以郜舒竹老師的研究時(shí)間跨度長，內(nèi)容涉及面廣，研究影響大。

一、對(duì)《低年級(jí)學(xué)生對(duì)應(yīng)思考中的直覺規(guī)律》的文章賞析

郜舒竹教授在文章中強(qiáng)調(diào)：錯(cuò)誤是必然的、普遍的、相對(duì)的、有理的、有用的。錯(cuò)誤永遠(yuǎn)具有神圣的本性，不要試圖去修正它們，反之，應(yīng)努力去理解它們的合理性，進(jìn)而使之升華。錯(cuò)誤反映出學(xué)生對(duì)事物本質(zhì)的掌握程度，那專家是如何利用看到的錯(cuò)誤信息通過一些路徑與方法去促進(jìn)教學(xué)的呢？

在過去的錯(cuò)誤研究中郜教授收集了大量的學(xué)生錯(cuò)例，分類整理發(fā)現(xiàn)，造成這些錯(cuò)誤的因素是多方面的，如對(duì)空間感、語言的誤解，持續(xù)語言的作用，也受到已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)不恰當(dāng)?shù)臍w納和類比的影響，都是從教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行研究的。在本期文章中，郜教授則是聚焦到了對(duì)學(xué)生“對(duì)應(yīng)思考”中的普遍錯(cuò)誤進(jìn)行研究，對(duì)一個(gè)研究多年的老問題從一個(gè)新的角度去讀懂學(xué)生的錯(cuò)誤。學(xué)生在解決問題時(shí)都需要將課程內(nèi)容中的文字、圖形和符號(hào)進(jìn)行轉(zhuǎn)換與對(duì)應(yīng)，所謂對(duì)應(yīng)就是指在兩種不同類的事物之間建立一種聯(lián)系，以使兩類事物之間的聯(lián)系更加緊密。文章在對(duì)應(yīng)這一數(shù)學(xué)思想下，對(duì)低年級(jí)學(xué)生的錯(cuò)誤分內(nèi)容進(jìn)行了研究，筆者覺得此文除了視角獨(dú)特外，還有以下特點(diǎn)。

（一）收集典型錯(cuò)誤

文章從低年級(jí)語言轉(zhuǎn)換、加減法計(jì)算、文字題轉(zhuǎn)換三個(gè)方面內(nèi)容進(jìn)行舉例。看過文章的老師會(huì)發(fā)現(xiàn)這些錯(cuò)誤都似曾相識(shí)，幾乎都可以在我們批改過的作業(yè)中找到類似錯(cuò)誤，我們平時(shí)做得比較多的可能是以題說題。但是郜教授的文章從一個(gè)共同的角度去分析一類問題，把典型錯(cuò)誤發(fā)散到類似知識(shí)的錯(cuò)誤，如文字題中的保持順序的對(duì)應(yīng)思考：低年級(jí)學(xué)生在解決一個(gè)盤子里有8個(gè)蘋果，幾個(gè)盤子里有40個(gè)蘋果？8×5=40，是學(xué)生常見的典型錯(cuò)誤。

（二）分析聚焦本源

日常教學(xué)中我們也有對(duì)錯(cuò)誤的分析，也重視錯(cuò)誤，會(huì)對(duì)學(xué)生進(jìn)行訪談希望了解錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，但是往往學(xué)生給出的原因十分淺顯：太粗心、沒有看清楚題目。如豎式計(jì)算的錯(cuò)誤可能就是分析：學(xué)生沒有掌握加法豎式計(jì)算的本質(zhì)，不清楚什么叫相同數(shù)位相加。在本文中，郜教授從數(shù)學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系去分析產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，如豎式計(jì)算的錯(cuò)誤，學(xué)生存在這樣的錯(cuò)誤不僅由于對(duì)加法意義的不理解，還從一個(gè)錯(cuò)誤追究到知識(shí)本源：數(shù)的位值意義的理解。

也許我們不能像專家一樣對(duì)數(shù)學(xué)本體知識(shí)進(jìn)行如此深入的分析，但是我們可以站在巨人的肩膀上，如果你多閱讀郜教授的文章，相信在看到學(xué)生的錯(cuò)誤時(shí)你會(huì)更從容的應(yīng)對(duì)。

二、對(duì)《程序性知識(shí)典型錯(cuò)題的成因分析及教學(xué)策略》的文章賞析

本文章作者夏春峰老師是一線教師，他將錯(cuò)誤聚焦在了“怎么辦”上。義務(wù)教育階段，特別是小學(xué)階段，包含大量的有理數(shù)加、減、乘、除運(yùn)算，這類知識(shí)被稱為程序性知識(shí)。學(xué)習(xí)這類知識(shí)，一方面要掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則，另一方面要理解運(yùn)算的意義和算理。郜教授的文章在數(shù)學(xué)思想框架下從解決問題的內(nèi)容上對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行分類研究，夏老師則是從解決問題的方法上對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行了分類，他為我們對(duì)“錯(cuò)誤”進(jìn)行研究提供了思路。

（一）典型錯(cuò)誤分類清晰

文章中對(duì)錯(cuò)誤的成因分析是從五個(gè)方面完成的，他從解決問題的不同過程去分析學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，文章的五個(gè)小標(biāo)題分別對(duì)應(yīng)了解決問題的五個(gè)過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤。

“怎么做”的程序目標(biāo)不明。——讀懂信息，知道要解決什么問題。

“怎么做”的信息提取有誤。——選取信息，知道解決問題需要什么。

“怎么做”的程序規(guī)則不清。——規(guī)則運(yùn)用，尋找可用的數(shù)學(xué)方法與規(guī)則。

“怎么做”的程序環(huán)節(jié)缺失。——解決步驟，結(jié)合具體情景將方法進(jìn)行運(yùn)用。

“怎么做”的程序思維僵化。——慣性思維，區(qū)分不同情境方法下的變式運(yùn)用。

（二）教學(xué)策略操作性強(qiáng)

我們看雜志，閱讀文章的目的是什么？能站在巨人的肩膀上，讓巨人的肩膀成為你起跳的又一個(gè)踏板，不斷思考、實(shí)踐、創(chuàng)新……夏老師的文章中不僅有錯(cuò)誤產(chǎn)生前的干預(yù)措施，還有錯(cuò)誤產(chǎn)生后的改錯(cuò)糾錯(cuò)建議，對(duì)教師如何應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)錯(cuò)誤還是非常值得借鑒的。

三、體會(huì)與啟示

結(jié)合這兩篇文章，面對(duì)數(shù)學(xué)錯(cuò)誤，筆者認(rèn)為除了已有文章中所強(qiáng)調(diào)的讓錯(cuò)誤成為教學(xué)資源，分類整理錯(cuò)誤并對(duì)癥下藥，一線教師可以從以下方面去關(guān)注“錯(cuò)誤”。

（一）讓學(xué)生經(jīng)歷活動(dòng)全過程，不懼怕出現(xiàn)錯(cuò)誤

最近筆者上了一節(jié)《羽毛球的包裝問題》的課，需要學(xué)生在課堂中根據(jù)不足量的羽毛球個(gè)數(shù)設(shè)計(jì)一個(gè)羽毛球筒。一開始筆者這樣設(shè)計(jì)：第一個(gè)環(huán)節(jié)出示問題情境讓學(xué)生獨(dú)立思考三個(gè)問題：如何將裝12個(gè)球的筒變成能裝6個(gè)球的筒？家里只有2個(gè)羽毛球，怎樣才能幫助商家計(jì)算出包裝筒的高度？寫出你的想法。你覺得需要去測量出哪些數(shù)據(jù)？希望扶著學(xué)生去找到解決問題的辦法。第二個(gè)環(huán)節(jié)交流三個(gè)問題，說說測量方法。由于擔(dān)心學(xué)生不會(huì)解決問題，所以把學(xué)習(xí)任務(wù)分解成比較細(xì)小的步驟，但在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，教師過多的問題設(shè)計(jì)和引導(dǎo)反而阻礙了學(xué)生的思考，分步的教學(xué)設(shè)計(jì)也一次次打斷了學(xué)生的思考，學(xué)生在得到任務(wù)就迫不及待地想解決。后來教學(xué)改為一個(gè)大問題：如何用工具得到羽毛球筒的高度？讓學(xué)生用大塊時(shí)間組內(nèi)分工探究，雖然有的順利解決了問題，有的不能解決問題，但這正是一節(jié)課的常態(tài)學(xué)習(xí)狀態(tài)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷活動(dòng)的全過程，不斷進(jìn)行試誤、糾錯(cuò)的實(shí)踐，在實(shí)踐中提煉方法。

（二）不要讓課堂成為競技場，思考需要慢

如上圖，求多個(gè)一樣的立方體拼在一起后的表面積，學(xué)生常出現(xiàn)將各個(gè)立方體的表面積相加作為拼在一起的多個(gè)立方體表面積的錯(cuò)誤，表面上看起來是對(duì)表面積概念不清楚，但深入思考，這是學(xué)生學(xué)習(xí)組合長方體面積必不可少的過程，學(xué)生只有經(jīng)歷了這樣的過程，才能理解單一立體圖形的表面積與組合立體圖形的表面積之間的關(guān)系。這種錯(cuò)誤是學(xué)生思維建模的真實(shí)過程，讓學(xué)生充分思考，探求產(chǎn)生錯(cuò)誤的內(nèi)在原因，有利于學(xué)生自主構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

（三）讓試卷發(fā)揮積極作用，及時(shí)診斷與激勵(lì)

除了在課堂和日常練習(xí)中產(chǎn)生錯(cuò)誤，試卷也是學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤最集中的地方，教師可以通過統(tǒng)計(jì)的方法了解錯(cuò)誤的根源，可以涉及：（1）學(xué)生在哪些問題上出錯(cuò)了；（2）學(xué)生掌握知識(shí)所處的目標(biāo)層次（識(shí)記、理解、應(yīng)用、分析綜合、探究）；（3）學(xué)生成績不良的癥結(jié)（知識(shí)方面、思維方面、心理方面）等，可以編制“自我診斷表”，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我診斷。自我診斷表主要包含以下內(nèi)容：①應(yīng)得分與實(shí)得分；②知識(shí)點(diǎn)得分統(tǒng)計(jì)；③錯(cuò)因分析。

（四）讓微課助力，完成學(xué)困生的轉(zhuǎn)化

在教學(xué)中除了有困惑的學(xué)生錯(cuò)誤百出以外，往往還會(huì)發(fā)現(xiàn)有那么一部分學(xué)生，各種錯(cuò)誤都會(huì)在他們身上集中出現(xiàn)，也就是我們所說的學(xué)困生。他們有的錯(cuò)誤不具有普遍性，有的對(duì)知識(shí)的內(nèi)化需要較長周期，對(duì)于這樣的學(xué)生，推薦讀一讀23頁易榮敏老師的文章《運(yùn)用“答疑型”微課助力學(xué)困生轉(zhuǎn)化》。找到學(xué)生的學(xué)困點(diǎn)，進(jìn)行有針對(duì)性的微課指導(dǎo)，從而幫助學(xué)生達(dá)到個(gè)性化成長。

正如郜教授所說，教學(xué)不僅僅是為了消滅錯(cuò)誤，而是為了發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，從而減少錯(cuò)誤。期望有興趣的老師可以一起來探討這個(gè)話題。

參考文獻(xiàn)：

[1]郜舒竹.低年級(jí)學(xué)生對(duì)應(yīng)思考中的直覺規(guī)律[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2017（11）.

[2]夏春峰.程序性知識(shí)典型錯(cuò)題的成因分析及教學(xué)策略[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2017（11）.

（浙江省杭州市勝利小學(xué) 310016）