從默會性認識走向顯性化結構

錢建兵

【摘 要】日常生活經驗促使學生形成了“日常數學概念”，而在這些“日常數學概念”中，存在著個人的、生活化的、零散的對數學概念的理解與認識，教學中要了解并利用“日常數學概念”中科學的、數學化的成分，引導學生在操作與思考的不斷深入與精致中，凸顯數學概念的關鍵，并認識到原有知識中的不足，由模糊走向清晰，祛除非本質屬性并進行抽象概括，促進顯性化數學知識結構的形成。

【關鍵詞】默會性；顯性化結構；經驗；思維

一、教材與學情分析

蘇教版教材中“平行四邊形的認識”是在三角形的認識之后編排的內容。教材在編排這一內容時，讓學生利用方格紙，畫出一個平行四邊形，從而發現平行四邊形的特征。這樣的編排，有利于學生充分利用原有認知平行四邊形的經驗。

教材內容如下圖：

學生在生活中見過、接觸過大量的平行四邊形，在圖形的認識過程中，也建立了平行四邊形的“標準式”：上下一組對邊平行、相等，并伴隨著一些直覺性的認識，如有兩個銳角和兩個鈍角。因此，本課的教學，需要幫助學生排除生活概念的干擾，理清哪些是平行四邊形本質的特性，哪些是平行四邊形非本質的特性。在此探究的過程中，積累學習平面圖形的經驗，發展學生的空間觀念。方格中的平行線、單位長度，正好利于學生發現平行四邊形的特征，但也應注意到，這種加工好的素材，也可能會限制學生的思考空間。

與原教材提供多種思路作（畫）平行四邊形相比，只提供一種材料（思路），是向真實兒童經驗的回歸。原教材中的一些方法只是成人想出的，并不是學生根據自己的經驗想出來的。這也提醒我們，成人提供的經驗是否能與兒童的經驗產生聯結，是這種方法有無教學意義的依據。而讓學生在方格紙上畫平行四邊形，學生容易將經驗中的平行四邊形、平行線的認識與方格紙上的條件聯系起來，產生一種聯結，學生在這一情境中更容易整體感知平行四邊形的特征。

課前的調查表明，學生在腦中有著標準的平行四邊形的表象，能認識、判斷一個圖形是不是平行四邊形。如學習長方形與正方形的認識一樣，在課堂學習之前，大量的社會性的、緘默的學習，使學生已經建立了相關的認識。但這種認識是整體性的，這種認識是一種默會性認識，處于一種“不能言”的狀態，因而是不成形的、無結構的。既然已認識了平行四邊形，那么再讓學生去經歷所謂的猜想、操作、驗證，必定索然無味，學生的思維就會始終處在一個比較淺的應對層次上面。另外，對平行四邊形特征的認識，學生對平行的感知要強于對長度特征的感知，特別是如何引導學生去發現標準式中左右一組對邊平行關系，進而發現對邊的相等關系，從而形成明確的結構化的認識，這是教學中需要思考的問題。

二、教學過程

基于以上的認識與思考，我進行了以下的教學實踐。

（一）引入

談話：四根小棒，可能圍成一個什么圖形？

生：長方形。

師：能圍成一個長方形嗎？（給出四根都不一樣長的小棒）

生：不能。四根小棒要兩根兩根一樣長，因為長方形的對邊相等。

師：除了對邊相等，長方形還有什么特征？

生：四個角都是直角。

師：看來，我們研究一個圖形可以從邊與角這兩方面去描述一個圖形的特征。這四根小棒只能圍成長方形嗎？

生：還可以斜過來，圍成平行四邊形。

師：今天我們就來認識平行四邊形。

【反思】回顧長方形的特征，喚起已有平面圖形的學習經驗。同樣的四根小棒，既可圍成長方形，也可圍成平行四邊形，說明學生對對邊相等有一定的認識，只是在教學中我們需要將這些特征顯性化和系統化，將其納入平行四邊形的特征系統。

（二）研究特征

1.呈現“標準式”，反思中初現邊的特征

師：你能在方格紙上畫一個平行四邊形嗎？畫好了在小組里交流一下。（學生在作業紙上操作）

集體交流。

生：我畫的時候先畫出一組邊（指水平方向的），再畫出另一組邊（指左右方向的）。

生：也可以這樣豎著畫。

師：老師注意到了，不管是先畫上下一組邊還是先畫左右一組邊，都要正好畫在這些格子的邊線上。

生：因為方格紙上橫著的線都互相平行，豎著的也互相平行。

師：你們的意思是說平行四邊形有什么特點？

生：這兩條邊是平行的。

【反思】借助方格紙，讓學生將原有認識中的平行四邊形的“標準式”呈現出來，并借助這一“標準式”，來進一步認識平行四邊形的特征。學習的社會性告訴我們，人的社會性本質所驅動的學習都是基于有意識和無意識的模仿。小組的學習形式讓不同質的學生有效地進行交互，促使每一個個體原有經驗的激活。學生對平行四邊形的原有認識具有整體性，能從整體外觀上判斷一個圖形是“像”還是“不像”平行四邊形。即便有學生在畫的時候把兩邊畫得不一樣長，但在自己的觀察之后，能及時地改正過來，并認識到自己錯誤的原因。這也充分說明他內心不斷地將所畫與平行四邊形的標準式表象進行比較。因此，這里畫平行四邊形是對特征的整體呈現。教學中，要讓學生充分地畫，并讓其充分地進行自我反思與同伴交流，即與心里表象不斷對質。這是默會認識走向顯性的前提。但此時學生對平行四邊形缺少精確的把握，即特征的明確。弗賴登塔爾說過，只要學生沒能對自己的活動進行反思，他就達不到高一級的層次。引導學生對畫法的反思，即對平行四邊形的認識走向了顯性化的第一步。

2.思維聚焦，明晰特征

師：我們已會在方格紙上畫平行四邊形，下面兩條直線，你能利用它們，畫一個平行四邊形嗎？

出示：

生：不能，因為這兩條直線不平行。

師：它能成為兩組對邊中的任意一組嗎？

生：不能。平行四邊形的兩組對邊分別平行。

師：你是怎么知道平行四邊形的兩組對邊分別平行的？拿出剛才畫的平行四邊形，你準備怎么檢驗？

生：我們畫的時候，一組對邊就正好是方格的邊線，另一組雖然不在邊線上，但是都一樣地斜過去，角度一樣，所以我判斷是平行的。

生：但也不能代表它們一定平行。我覺得可以用畫平行線的方法檢查一下。

生：可以看成是這邊上的一個三角形平移過去，那么平移后的對應邊應該是平行的。

師：想象一下，怎樣調整，就能成為平行四邊形？調整之后的平行四邊形是什么樣子的？

師：（出示第2組）能利用它們畫一個平行四邊形嗎？

生：也不能，長度不相等。

生：可以，雖然現在看上去它們不等，但可以延長其中的一條，使兩條一樣長。

師：你們的意思是說平行四邊形的對邊還要相等？你能驗證嗎？

生：我是數的（指方格紙上的平行四邊形）。上下兩條邊一樣，左右兩條邊也一樣。

師：左右兩邊也能數嗎？

生：可以量。

生：它們都是同樣大的長方形對角的連線。

生：我還是平移的，平移后對應邊長度相等。

師：想象一下，怎樣使它們成為平行四邊形的一組對邊？想一想這個平行四邊形的樣子。

小結：平行四邊形的特征；變式判斷。

【反思】通過這個層次的操作，將學生的思維引向精致化的過程，從關注整體感覺到局部特征，幫助學生超越經驗。學習新知的過程，是與標準比較的過程。因為學生已認識平行四邊形，這兩個沒有完成的圖形，分別指向了平行與相等的特征，引導學生將自己的經驗與平行四邊形的特征進行對比，從而引導學生重新發現特征。這里的驗證，是學生為了對自己直覺經驗的一種確定，因此具有自主性，不是讓學生在教師的指揮下進行的“驗證”。正因為如此，學生能積極地思維，能夠激活已有的經驗與畫平行四邊形時的體驗。特別是對于對邊相等，不正好畫格子線上，能進行簡單的推理。這種思維方式正是在小學需要適時培養的。不少學生在高年級，仍依賴“眼見為實”的直觀思維思考問題，圖形看上去是直角，就認為是直角，線段之間的長度看見是什么關系就認為是什么關系，思維缺少嚴謹性。不給出完整的圖形，而是讓學生想象，是需要加工的“半成品”，這樣的發現就有一種思維上的探究，在嘗試、想象的過程中強化的平行四邊形的表象，對邊的特征有了新的認識，發展了空間想象力。

（三）研究高

出示標準式平行四邊形，你能根據對三角形高的理解說說什么是平行四邊形的高嗎？

生：這一組對邊之間的距離就是它的高。

師：畫一條它的高。想一想可以畫幾條？它們的長度相等嗎？

生：這一組對邊上的高有無數條，長度都相等。

出示高的定義：像這樣從平行四邊形一條邊上的一點到它對邊的垂直線段，是平行四邊形的高，這條對邊是平行四邊形的底。高用虛線，并且及時畫上垂直記號。

師：另一組對邊可以畫高嗎？這樣的高可以畫多少條？跟另一組對邊上的高一樣嗎？

生：可以。

師：原來平行四邊形兩組對邊間都可以畫高。

師：角頂點上的一點。這一點可以怎么畫高？有不同的畫法嗎。為什么這一點可以畫兩條不同的高？

三、教學反思

（一）對比反思中將經驗的、模糊的認識顯性化

學生的已有認識是一切教學的起點。正是對起點有了比較準確的判斷，對于特征的認識，沒有費多少周折，讓學生自己去探索、發現。重點是通過學生的反思內省，達到對特征的認識由模糊走向清晰，由緘默走向顯性，由零散走向結構。在這些過程中，讓學生的思維參與到課堂中，注重的是空間想象，而不是不假思索地動手。比如對對邊相等的再確定，學生能夠沉靜在思考中，進行論證推理。其實，有時候教學被教師復雜化反而讓學生不知所措，學生真正用于思考的時間很少。特征的發現過程，沒有多少花哨的活動，只是不斷地引導學生與所畫的標準式進行對比，從而發現熟悉地方的風景。

（二）提供的材料要能夠讓學生突破原有的樸素認識，聚焦概念本質

在課上討論平行四邊形與長方形的關系時，不少學生一致認為長方形不具備平行四邊形的特征，理由是長方形四個角是直角，而平行四邊形的四個角是兩個銳角與兩個鈍角。這使筆者深刻地意識到學生對平行四邊形原有的認識：學生原先認識的平行四邊形的特征，不僅有邊的，更有角的。因為原有的認識圖形特征（長方形、正方形）的經驗就有對角的關注。兩個鈍角和兩個銳角，這是學生對平行四邊形樸素的認識，因為這一“特征”比較外顯、直觀，而且掩蓋、干擾了對實質——對角相等的認識。雖然教材沒有提及，但這確實是學生會提及的真的數學問題，我們無法也不能回避。這個問題不解決，學生難以理解平行四邊形與長方形的關系就很正常。因為他們看到的平行四邊形的角確實是這樣的，且這樣的觀念根深蒂固。如果認識了平行四邊形，學生對角的認識還是原有認識，這樣的知識結構是有缺陷的。從知識的獲取方面來說，讓學生不限于一種方式（邊的特征）定義，多視角認識概念，有利于形成“概念域”，是概念學習過程中深層次的精致。直面學生的各種真問題進行教學，是兒童立場的根本。因此，提供的材料要能夠讓學生突破原有的對平行四邊形角的樸素認識，聚焦概念本質。

教學研究就是這樣，就是不斷地發現問題、解決問題而后又發現新問題、解決新問題的過程。如果利用兩個完全一樣的三角形拼一個平行四邊形，一方面，可以感知對邊相等，另一方面，主要是為學生研究平行四邊形的角的特征提供一個平臺，同時豐富圖形轉化的經驗，為三角形的面積計算公式推導做好鋪墊。在交流時，明確問題：四個角有什么關系，而不是模棱兩可“角有什么特征”，學生就自然而然地表達為“對角相等”。因為在操作時，他們是能發現平行四邊形的一組對角是兩個三角形的對應的一個內角，而另一組則是由三角形另外兩個角拼成的，并且是相等的。這樣就可能沒有說教，讓學生自覺地放棄了“兩個鈍角、兩個銳角”的直覺經驗，從而上升到特征的認識，理解平行四邊形與長方形的關系時也就沒有什么障礙了。

（江蘇省南通市通州區西亭小學 226301）