小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想的培養(yǎng)與應(yīng)用

翁鐘森

摘 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出，模型也是“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，是小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，了解數(shù)學(xué)模型思想、掌握基本建模策略，用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題，是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的重要內(nèi)容，其對培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)有重要意義。

關(guān)鍵詞：模型思想；建模；核心素養(yǎng)

模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。

一、了解數(shù)學(xué)模型思想，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

通過對現(xiàn)實(shí)生活中的問題或情境進(jìn)行概括、抽象，形成數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)模型解決問題的方法策略稱為數(shù)學(xué)建模思想。廣義的講，數(shù)學(xué)中各種基本概念和基本算法，都可以做數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)的定義、性質(zhì)、公式、數(shù)量關(guān)系式都是數(shù)學(xué)模型，建立這些模型并進(jìn)行運(yùn)用的過程就包含著數(shù)學(xué)建模思想。

二、培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的策略

1.鏈接生活，產(chǎn)生建模需求

數(shù)學(xué)模型是在現(xiàn)實(shí)生活與生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)中抽象出來的，必然有基本的活動(dòng)場景及基本的需求。如在教學(xué)長方形面積公式這一模型時(shí)，可以創(chuàng)設(shè)這樣的情境：求長是3厘米，寬是2厘米的長方形的面積有多少，可用1平方厘米的面積單位來擺，一行擺3個(gè)，擺2行，一共是6個(gè)面積單位。如果更大的長方形，如籃球場，我們還用這樣的方法來求，則要準(zhǔn)備多少個(gè)這樣的面積單位，要花多少時(shí)間來擺？這時(shí)學(xué)生的思維得到激發(fā)，他們在操作過程中發(fā)現(xiàn)，長方形的面積數(shù)量是擺的面積單位的個(gè)數(shù)，而這一個(gè)數(shù)恰好是長與寬的乘積，即3×2，于是“長方形面積公式”的模型成為生活實(shí)踐活動(dòng)的工具，而且也明確了這一模型的應(yīng)用條件。

2.參與實(shí)踐，收集建模的材料

讓學(xué)生參與實(shí)踐活動(dòng)，在實(shí)踐活動(dòng)的過程中形成感性認(rèn)知。如三角形面積公式推導(dǎo)，把兩個(gè)完全一樣的三角形分別沿相同長度的邊重合進(jìn)行擺放，得到三個(gè)不同的平行四邊形，這三個(gè)不同的平行四邊形的形狀不同，但它們的面積都是相同的，而共同的是，平行四邊形的面積是對應(yīng)底與高的乘積。在順利推導(dǎo)出三角形面積公式后，再讓學(xué)生思考，用一個(gè)三角形能通過割補(bǔ)變成平行四邊形嗎？讓學(xué)生思考從而從不同的角度完善這一模型。在這基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)三角形的面積、梯形的面積，乃至圓的面積，最終使平面圖形面積這一模型得以完善。

3.抽象概括，完成模型的構(gòu)建

在數(shù)學(xué)建模的過程中，基于單一類型模型的構(gòu)建過程中，要能充分找到單一類型的模型在這一類型的位置，找到它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行抽象概括，再進(jìn)一步找到這一類型的內(nèi)在規(guī)律，完成模型的構(gòu)建。在平面圖形面積公式的推導(dǎo)過程中，從面積單位的定義，長方形面積公式的推導(dǎo)、平行四邊形面積、三角形面積、梯形面積的推導(dǎo)這一過程中，如果從極限的思想觀察，這些直線型都可理解為上、下底面平行的圖形，而這類圖形的面積公式其本質(zhì)為平均長度×高。圓為曲線型，在公式推導(dǎo)過程中，化曲為直，或化為長方形，也可化為平行四邊形、梯形、三角形，而不同的圖形，最終在公式推導(dǎo)過程中都轉(zhuǎn)化為底和高，從而推導(dǎo)出圓的面積公式。

4.遷移轉(zhuǎn)化，優(yōu)化建模的過程

遷移轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，是建模的靈魂，在建模過程中起著重要的作用。在進(jìn)行平面圖形的面積公式推導(dǎo)過程中，長方形的面積公式是所有平面圖形的基礎(chǔ)，其他的平面圖形面積公式可轉(zhuǎn)化為長方形（平行四邊形）面積公式進(jìn)行。在這一轉(zhuǎn)化過程中，充分應(yīng)用了轉(zhuǎn)化的思想。

三、運(yùn)用模型思想，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)

模型思想在教學(xué)過程中對培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新能力有重要而積極作用，對培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，提升學(xué)生核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)的意義重大。當(dāng)我們認(rèn)識(shí)到模型思想的作用時(shí)，就必須在教學(xué)過程中積極培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用模型思想解決實(shí)際問題的能力。

1.弄清內(nèi)在聯(lián)系，靈活應(yīng)用基本模型

有一道這樣的題目，甲、乙、丙三人去春游，甲帶了3個(gè)面包，乙?guī)Я?個(gè)面包，丙沒有帶，吃完后，丙拿6元給甲和乙，甲、乙各應(yīng)收多少元？在學(xué)生理解平均數(shù)問題這一數(shù)學(xué)模型，從平均每人吃幾個(gè)面包入手，從而順利求出甲可得2元，乙得4元。利用模型解題，必須對教材各知識(shí)要素全面把握，把千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)問題納入到基本數(shù)學(xué)模型中。

2.強(qiáng)化數(shù)學(xué)語言，拓展應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

用數(shù)學(xué)語言模擬現(xiàn)實(shí)生活中的一種模型，把一個(gè)實(shí)際生活中的問題抽象成數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)關(guān)系，用數(shù)學(xué)模型解決問題。讓學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型實(shí)際應(yīng)用的直觀、高效。典型的軸對稱的應(yīng)用：在公路的同側(cè)有兩個(gè)村落，要在公路上修一個(gè)公交車站點(diǎn)，使公交車站點(diǎn)到兩個(gè)村的距離和最短，公交車站修在什么位置？把這道題抽象成：在一條直線的同側(cè)上有A、B兩點(diǎn)，在直線上找到一點(diǎn)C，使AC+BC的值最小。在解題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生得出，兩點(diǎn)間，線段距離最短。而在這道題中，AC+BC是兩條線段的和，這時(shí)，我們必須把兩條線段變成一條線段。基于這個(gè)思路，以直線為對稱軸，作點(diǎn)B的對稱點(diǎn)B1，連接AB1與直線相交的點(diǎn)就是我們要找的點(diǎn)C。

3.理解模型本質(zhì)，靈活解決實(shí)際問題

在數(shù)學(xué)模型形成的過程中，要能充分理解其本質(zhì)，靈活應(yīng)用模型思想。如：“正方形面積是10平方厘米，求以正方形邊長為半徑圓的面積。”但在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，無法通過正方形面積求邊長，所以這種原有模型無法解決問題。只好重新思考，建立新模型“圓的面積是正方形面積的π倍”，解決問題。

培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)和能力，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型思想的形成，提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

蔡曉嚴(yán).建立模型的有效策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2015（6）.

編輯 段麗君