談求函數最值問題的四種常用方法

牛邦舉

[摘 要]求函數最值問題是高中數學教學的重點之一，也是高考必考內容.探究求函數最值的方法有實際意義.

[關鍵詞]函數；最值問題；方法

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2018）02003101

求函數最值問題對培養學生分析問題的能力、思維能力、數形結合能力和運算能力等有著重要意義.求函數最值問題對學生來講是重點和難點，在教學中教師要千方百計加以突破.

一、函數最值的定義

一般的，設函數y=f（x）的定義域為Ⅰ，如果存在實數m滿足，

（1）對于任意的x∈Ⅰ，都有f（x）≤m.（f（x）≥m）

（2）存在x0∈Ⅰf（x0）=m.

那么，我們稱m是函數y=f（x）的最大值（最小值）.

在實際生產實踐中，為了提高經濟效益，必須考慮在一定的條件下，怎樣才能使用料最省，費用最低，收益最大等問題.

二、幾種常見的求最值的方法

1.配方法

主要用于二次函數或可轉化為二次函數的函數.解題過程中要注意自變量的取值范圍.

【例1】 已知函數y=（ex-1）2+（e-x-1）2，求函數y的最小值.

分析：將函數按ex+e-x配方，轉化為變量ex+e-x的二次函數.

解：y=（ex-1）2+（e-x-1）2=

利用二次函數的性質求最值時，要注意自變量的取值范圍以及對稱軸與區間的相對位置.

2.換元法

換元法主要有三角換元法和代數換元法.在換元時要注意中間變量的取值范圍.

【例2】 求函數y=x

+1-x

的最大值與最小值.

解：先求函數的定義域，得0≤x≤1.

則令x=sin2θ，θ∈0，π2，

則y=sinθ+cosθ=

3.反函數法

先求自變量的表達式，利用自變量范圍推導y的范圍.

【例3】 求函數y=x2x2+1（x∈R）

的最小值.

解：由

本題用求反函數的方法，通過x2≥0，推導出y的范圍.

4.不等式法

【例4】 某村計劃建造一個室內面積800m2的矩形菜溫室.在溫室內，沿左右兩側與后側內墻各保留1m高的通道，沿前側內墻保留3m高的空地.當矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜種植面積最大？

解：設溫室的左側邊長為xm，則后墻邊長為800xm.

答：當左側邊長為40m，后側邊長為20m時，蔬菜種植面積最大.本題利用均值不等式解決問題時，要考慮“一正、二定、三相等”.

（責任編輯 黃桂堅）