初中數學思維情境創設的若干思考

儲松苗

[摘 要] 良好的思維情境能夠引發學生的認知失衡，需要學生在情境中有所感悟、有所發現，需要在質疑追問中體味數學，而思維情境價值的彰顯則需要學生在情境中善于總結與反思. 本文以滬科版初中數學函數概念教學為例，闡述上述觀點.

[關鍵詞] 初中數學；思維情境；正比例函數

數學是思維的科學，有效的數學學習過程一定是數學思維得到充分利用并提升的過程. 教學經驗表明，學生在調動思維的時候并不是輕而易舉的，一定是需要外力策動的——比如說我們通過問題來驅動學生思維，這就是最基本的策動方式之一. 但可以肯定的是，簡單甚至機械的問題提出，對學生的思維驅動作用是有限的，有時甚至是起相反作用的. 真正有效策動學生思維的應當是“情境”，因而思維情境的創設才是數學教學中需要重點思考的內容. 筆者有限的實踐表明，思維情境的有效創設，可以讓學生的數學學習過程處于良好的心境當中，從而可以保證學生學得有趣、學得有效. 本文試以滬科版初中數學“正比例函數”的教學為例，進行相關觀點的總結與闡述.

思維情境的創設需要認知失衡

思維情境不同于一般的學習情境，后者往往以形象的事與物作為情境創設的重點，強調學生在數學學習中的“物境”，比如說具體的數學實驗器材、一個相對真實的與數學相關的生活情境等. 思維情境更多地側重于學生在學習過程中的思維，強調的是圍繞學生的數學學習營造一個“思維場”. 思維情境要想發揮作用，首先需要學生入境，從思維的角度來看，學生走入思維情境的關鍵在于認知上的失衡. 因為只有認知失衡了，學生才會自然地產生追求認知平衡的念頭. 初中數學教學中，思維情境需要具有驅動學生興趣、吸引學生注意、引發學生思考，進而讓學生的認知產生失衡的作用.

滬科版數學教材中，“正比例函數”這一內容的教學是以“函數的概念”教學為基礎的，而函數概念的教學又是以理解變量與函數兩個基本概念為基礎的，因此在創設思維情境的時候，就不能離開這兩個要素. 更具體地說，就是要研究學生建構函數概念時已有的認知基礎，然后結合函數教學目標來創設思維情境. 基于這樣的思考，筆者的設計是這樣的：首先，讓學生基于自己熟悉的場景進行描述，如描述自己的身高、體重，描述教室的長度、高度，估計課桌的面積等，這是一個將“數”與“量”結合起來描述某一事物特征的過程. 在這個描述中，學生會自然總結出這一描述方式的特征；其次，給學生提供一個智力題：如果有一根長為l的繩子緊繞在赤道上，現在要讓繩子處于離赤道1米的高度，那這根繩子要增加多長？學生在思考這個問題的時候，通常會直覺性地認為需要增加的長度是很長的，而計算下來實際上只增加π的長度，于是學生在驚訝之余就開始思考“增高1米”與“增長多少”的關系，而這正是函數概念建立所需要的變量與函數的概念.

在這個思維情境創設的過程中，學生原本是有認知基礎的，而在探究之后，這個認知又被打破了，并建立了新的認識，有了這個認識作為基礎再去建立變量與函數的概念，效果就是很好的，學生的思維是高效的.

思維情境的利用需要感悟發現

初中數學學習中，學生的思維常常有形象思維與抽象思維兩種，前者通常以抽象后的數學形象（表象）作為加工對象，而后者更多的是基于數學邏輯關系做出的推理. 當然，數學學習的過程中也離不開一些直覺思維，而由于學生的認知基礎與思維方式不同，直覺思維在發揮作用的時候總有對錯，但這對于數學學習過程來說都是有積極意義的，我們在研究思維情境的時候，一個基本認識就是：只要學生進入了思維的狀態，那數學學習過程就一定是高效的.

這里需要強調的是，在進入思維情境之后，學生的感悟是非常重要的. 感悟是一個相對復雜的過程，有多種思維方式在發揮綜合性作用，有感悟才會有新的發現，沒有感悟那就談不上真正的思維情境.

例如，在學生經由上一點的思維情境認識到函數是通過變量來描述的之后，怎樣才能讓學生建立由數學語言描述的函數、自變量、解析式等概念呢？顯然，這個思維情境是需要進一步推進的，而這個思維情境則是可以由具體的實例來實現的. 比如說給學生一個汽車行駛耗油量與行駛里程的關系：一輛在高速公路上行駛的汽車，每百公里耗油10 L，如果汽車里原有80 L油，那剩余油量與行駛里程之間滿足什么樣的關系呢？

這樣的問題拋出之后，學生的思維就會圍繞“剩余油量”“每百公里油耗”“行駛里程”等概念進行思考，同時也會利用此前所習得的數學知識，建立三者之間的關系. 待學生用文字或自設的符號表示出這一關系之后，再引導學生從變量角度思索這一實例，不少學生就開始了感悟：消耗的油量決定于每百公里耗油量與行駛里程，而剩下的油量決定于原有總油量與消耗的油量，那這個關系就明確了……這樣的一個思維過程中，學生在教師簡要的指導之下，迅速感悟到不同量之間的關系，并下意識地用表達式來表達這樣的關系. 這樣一個學生自主發現的過程，其實就是處于思維情境中的學生通過感悟有所發現的過程.

在實際教學中，這樣的情形并不鮮見，但很少有從思維情境角度來予以解析的. 在筆者看來，這樣的成功教學案例，給教學最大的啟發就是思維情境要高度重視學生的自主感悟，盡量讓學生通過感悟有所發現，這樣可以讓學生的主體地位得到保證，可以讓學生的自主建構過程支撐重要數學概念與規律的學習.

思維情境的拓展需要質疑追問

思維情境并不是讓學生被動地建構知識，事實上一旦學生真正在思維情境中發動思考，那質疑幾乎就是必然的結果，而如果教師的教學足夠民主，在學生質疑的同時進行追問也就是水到渠成的事情. 筆者以為，初中數學教學中多讓學生處于這樣的狀態，對數學教學的效果以及提升學生的數學學習品質也是有好處的.

在函數的定義得出之后，學生開始了對定義表述的內化：在某個變化過程中有兩個變量，設為x和y，如果在變量x的允許取值范圍內，變量y隨著x的變化而變化，它們之間存在確定的依賴關系，那么變量y叫作x的函數，x叫作自變量.

有學生提出：這個定義中為什么前面說是“兩個變量”，后面又說x叫作自變量，y叫作函數，還是x的函數？到底x和y是變量還是函數？這樣的質疑表現出的是學生對數學語言運用的困惑，或者說學生是被函數定義的語言給“繞”住了. 還有學生提出：這樣理解函數的定義太過復雜，不如結合一個具體的例子，如將上面例子中的剩余油量記作y，將汽車的行駛里程記作x，那直接用這個例子說y是x的函數，x叫作自變量還簡單一些.

對于這些質疑與追問，教師要肯定其中合理的地方，同時又要指出不合理之處，尤其是對于后者，往往是促進學生數學理解的關鍵環節. 譬如對上面兩個質疑的回答，就要讓學生認識到在描述一個重要的數學概念的時候，必須用專業、純粹的數學語言，因為這樣才能讓數學定義具有概括性，而具體例子的列舉，只能作為理解定義的手段，本身并不能作為定義.

通常情況下，筆者以為學生能夠質疑，就說明學生在思維，學生質疑如果發生在當疑之處，就說明學生已經抓住了知識構建的關鍵點，如果學生的質疑還伴隨著其一定的邏輯表述，則更說明學生的學習過程是高效的. 因而學生的質疑與追問，往往代表著學生在思維情境中的深入程度.

思維情境的價值需要反思概括

初中數學要追求的一種教學境界，就是“不教而教”，即學生能夠通過數學方法的掌握，進而具有自主發現數學問題、分析數學問題并解決數學問題的能力. 顯然，這種能力的形成并非輕而易舉的.

在筆者看來，這其實也是學生數學學習品質或者說思維品質的重要體現，其需要學生在思維的同時還具有一種元認知的能力，即關注自身思維過程并總結自身思維特點的意識與能力. 這種能力，只能來自于學生對身處思維情境中的自己的思維過程的總結、反思與概括.

滬科版函數概念以及表示方法是在正比例函數、反比例函數的基礎上建立起來的，是在對生活中函數實例的理解中得以深化的. 可以肯定地講，如果只滿足于概念記憶，是無法真正理解函數的，只有對具體的正比例函數、反比例函數進行分析，對實例進行比較，尤其是對能夠引發自己深度思考的概念、實例進行分析比較，才能建立起對函數的內在理解. 這種理解常常伴隨著學生對數學語言、生活語言甚至是默會知識的運用，往往因學生個體差異而異，但可以肯定的是，只要學生在反思、在概括，那思維就在深入，思維品質就在提升，思維情境的價值也就能夠得到進一步彰顯.