“勾股定理”基本圖形美學賞析

張春華

[摘 要] “勾股定理”是代數與幾何有機結合的典型例證，因此關于這一章的教學不僅僅是簡單的知識的傳遞與接受，更重要的是要向學生展示幾何知識點內容背后所蘊藏的美感.

[關鍵詞] 勾股定理；基本圖形；美學賞析；人教版

在我國古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫作勾，長的直角邊叫作股，斜邊叫作弦，根據我國古代數學書《周髀算經》記載，在約公元前1100年，人們就已經知道，如果勾是三、股是四，那么弦就是五，后來人們進一步發現并證明了關于直角三角形三邊之間的關系——兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，這就是勾股定理.

教學目標及重難點

1. 教學目標

（1）理解勾股定理的兩種證明方法——畢達哥拉斯證法和趙爽的弦圖證法；應用勾股定理解決簡單的直角三角形三邊計算問題.

（2）通過對直角三角形三邊關系的猜想驗證，經歷從特殊到一般的探索過程，發展合情推理，體會數形結合的思想.

（3）在勾股定理的探索過程中感受數學圖形的美感，增進數學學習的信心.

2. 教學重點

探究并理解勾股定理.

3. 教學難點

探索勾股定理的驗證方法.

“勾股定理”基本圖形之美

1. 勾股定理基本圖形1

圖1是勾股定理的一個重要的基本圖形，表明了勾股定理的幾何意義，即分別以直角三角形三邊為邊長作正方形，滿足直角邊正方形面積之和等于斜邊正方形面積.

（1）形式之美

以上述基本圖形為基礎，繼續向外作類似的幾何圖形，直角邊正方形面積之和始終等于斜邊正方形面積，持續向外作圖，可以形成如圖2所示的樹狀圖形，即“畢達哥拉斯樹”，又被稱為“勾股樹”，三個正方形之間的三角形，其面積小于等于大正方形面積的四分之一，大于等于一個小正方形面積的二分之一. 根據所作的三角形的形狀不同，重復作這種三角形的畢達哥拉斯樹的“枝干”茂密程度就不同. 這些外在的形式給我們帶來了強烈的視覺沖擊以及美學感受.

（2）和諧之美

如果把圖1中的正方形換為其他圖形，勾股定理仍然成立體現出了幾何圖形相互轉變的“和諧”之美.

如圖3、圖4，將正方形分別變成半圓形及等邊三角形，仍滿足s3=s1+s2 . 進一步進行推廣，只要以直角三角形三邊向外作相似的圖形，這一結論都成立.

2. 勾股定理基本圖形2

我國對勾股定理的證明采取的是割補法，最早的形式見于公元三、四世紀趙爽的《勾股圓方圖注》. 在這篇短文中，趙爽畫了一張他所謂的“弦圖”，其中每一個直角三角形稱為“朱實”，中間的一個正方形稱為“中黃實”，以弦為邊的大正方形叫“弦實”，所以，如果以a，b，c分別表示勾、股、弦之長，那么

c2=4·+（b-a）2，

則可得：a2+b2=c2.

統一之美——

圖6是畢達哥拉斯證明勾股定理的示意圖，顯然后面的圖形就是勾股定理基本圖形2，證明方法如下：

作8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再作三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.

從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是（a+b），所以面積相等，即a2+b2+4×ab=c2+4×ab，

整理可得a2+b2=c2.

圖7是伽菲爾德證明勾股定理的示意圖，證明方法如下：

以a，b 為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于ab. 把這兩個直角三角形拼成如圖7所示的形狀，使A，E，B三點在一條直線上.

因為 Rt△EAD ≌ Rt△CBE，

所以∠ADE =∠BEC.

因為∠AED +∠ADE=90°，

所以∠AED +∠BEC=90°.

所以∠DEC=180°-90°=90°.

所以△DEC是一個等腰直角三角形，它的面積等于c2.

又因為∠DAE=90°， ∠EBC=90°，

所以AD∥BC.

所以ABCD是一個直角梯形，它的面積等于（a+b）2.

所以（a+b）2=2×ab+c2.

所以a2+b2=c2.

由此可見，基本圖形集中了趙爽、加菲爾德等人的證明方法，三種證法聞名中外，異曲同工，三位數學家采用的方法都是面積轉換的方法，參考圖形也具備一定的相同點. 從古老的中國到20世紀的西方，數學家的思想結晶實現了統一.

3. 勾股定理數形結合之美

勾股定理的另一個重要意義就是實現了幾何和代數的有機結合，可以將復雜的代數運算轉化成直角三角形問題，下面以案例進行說明.

（1） 題干要求

已知：a，b，c，d都是正數，

求證：+>.

（2）思考分析

對于初中生來說，由于沒有開始學習不等式的有關內容，因此想要用代數的方法進行證明是比較困難的. 根據題干中表達式的特征，聯想勾股定理的有關內容，可以將題目進行轉化，聯系到勾股定理的證明過程. 證明時，可以先構造3個直角三角形，采用數形結合的數學思想進行轉化，證明這一不等式. 在教學過程中，教師可以一步步引導學生轉變思維，由純代數向數形結合轉化，在這個過程中體驗數學的奇異美.

（3）解答過程

構造長為（a+b）、寬為（c+d）的矩形ABCD，E為長邊AD上的一點，F為短邊CD上的一點.

在Rt△ABE中，BE===，

在Rt△BCF中，BF===，

在Rt△DEF中，EF==，

在△BEF中，BE+EF>BF，

即+>.

結語

數學教育不僅僅要向學生講授數學知識與數學思想方法，更要將數學蘊含的“美”感傳遞給學生，包含“美”的數學教學才是富有生機與活力的，數學學習過程才不會顯得枯燥無味，學生會由于數學的神秘與豐富而積極主動地進行探究.

與此同時，數學的美不僅僅指代數學本身的數量關系以及空間關系，數學題的求解也能顯現出其美感. 相比于機械求解，運用合適的數學模型與思想方法就能使得整個求解過程具備數學的美感，得到的結果就是“美”的，這樣的解答方法也是激發學生學習數學的強大動力. 因此，不管是勾股定理還是其他內容，教師在教學過程中都要注意向學生灌輸美學思想，讓學生體會數學問題解決過程蘊含的“美”，激發學生學習數學的熱情.