比出想法，構出精彩

呂德國　沈紅星

[摘 要] 數學是一門注重思維的學科，題目就是數學思維養成的主戰場. 但做題并不等價于題海戰術，一道題，如果能引導學生從不同的角度去考慮，拓展思維，做到一題多解，這將對學生思維的提升有極大的幫助. 本文聯系筆者的一次說題經歷，與大家一起分享經驗.

[關鍵詞] 思維；一題多解；拓展

題目呈現 如圖1，在△ABC中，AB=3，BC=5，∠ABC=60°，在邊AC上方作等邊三角形ACD，求BD的長.

背景分析

這是一道將三角形與特殊角結合在一起的綜合幾何題，涉及的知識、能力、思想如下.

知識：三角形全等的判定，勾股定理，30°角所對直角邊為斜邊的一半，二元一次方程組等.

能力：幾何直觀能力、分析推理能力、建模能力、計算能力.

思想：類比思想、方程思想、數形結合思想.

學情分析

本題涉及的主要知識點在八年級上冊，學生在學習了全等和勾股定理以后就可以進行作答. 本題改編于三角形全等證明中常出現的“手拉手”模型，當題目圖形僅給出一部分，條件又比較隱蔽時，假如學生沒有意識，將無從下手.

解法分析

1. 類比思想，讓思路清晰

解法1 △ACD是以AC為一邊所作的等邊三角形，那么在AB上方也可以作一個等邊三角形，構造出一個“手拉手”模型. 如圖2，以AB為一邊作等邊三角形AEB，可以證得△AEC≌△ABD，所以有EC=BD. 同樣，過點E作垂線交CB的延長線于點F，構造出有特殊角60°的直角三角形EBF，那么FB=，EF=，所以FC=. 根據勾股定理，可得EC=7，即BD=7.

解法2 既然以AB為一邊向上作等邊三角形可以求出BD，那么以AB為邊向里作等邊三角形可以嗎？如圖3，我們發現有△ABC≌△AED，所以ED=BC=5. 又CD=AC=，過點D作DF⊥BC交BC的延長線于點F，令CF=x，DF=y，在雙直角三角形中，可以列出方程組x2+y2=19，（x+2）2+y2=52，解得x=，y=.因為△BDF為直角三角形，根據勾股定理，得BD==7.

解法3 對于解法2，以AB為邊在△ABC內部作一個等邊三角形，若換個角度理解，也可以認為是在BC上截取線段BE=BA=3. 對于數學問題，很多時候方法總是成對的存在，既然截取可以，那么補短是否也行？如圖4，延長BC至點E，使得CE=AB=3，易得△ACE≌△DAB，那么BD=AE，過點A作AF⊥BC于點F，構造出一個含60°角的特殊直角三角形，得AF=，FE=，再根據勾股定理，得AE=BD=7.

2. 解析幾何，讓思想提升

解法4 解析幾何雖然是高中的知識，但學生學習了直角坐標系以后，針對學有余力的同學，可以適當地介紹解析法. 一題多解可以拓展學生的思維，但多題一解才能真正喚起學生的求知欲，而解析法，無疑有這樣的作用. 如圖5，以B點為原點建立直角坐標系，則A，，C（5，0），D點位于AC的中垂線上，AC的中點坐標為E，，則中垂線的解析式為y=x-，且AC=DC=，設點D的橫坐標為xx>，則有（x-5）2+x-2=19，解得x=，即D，，所以可得BD=7.

3. 模型意識，讓多解歸一

解法5 觀察發現，∠ABC=∠DAC=60°，如果在射線BA上再構造出一個60°，發現就是我們在全等中遇到的“一線三等角”模型，所以可延長線段BA至點E，使得∠AED=60°（如圖6）. 可證得△ABC≌△DEA，那么AE=BC=5，DE=AB=3. 所以EB=8. 過點D作DF⊥AE于點F，構造一個有特殊角的直角三角形，利用含30°角的直角三角形的三邊關系，可得到DF=，BF=，再利用勾股定理，可得BD==7.

解法6 在“一線三等角”模型的基礎上得到了解法5，通過觀察發現，如果把解法5中的圖形補全，我們可以得到平時更常見的一種圖形（如圖7），即在一個大的等邊三角形中套了一個小的等邊三角形，雖然解法跟解法5類似，但學生對此解法中的圖形感觸更深.

原來，看似很深奧的問題竟然出自平時課本中常見的圖形，追本溯源找本質，返璞歸真于課本，找到模型后，問題便迎刃而解.

變式拓展

經過分析我們可以從多個角度出發，得到這道題的多種解法，發散了思維，提升了能力，那這道題就到此為止了嗎？其實我們還可以繼續挖掘，形成變式與拓展，繼續為能力和思維服務. 變式的模式包括“條件與結論互換”“條件不變結論變”“結論不變條件變”等. 如在這道題中，為了讓題目更有梯度，更符合學生的認知規律，可以先讓BC=6，那么有∠ACB=30°，即∠BCD為特殊角90°，這種情況下求BD的長比較簡單，然后轉變到本題，有一個從簡入難的過程. 也可以改變條件，如將∠ABC=60°變成∠ABC=30°或∠ABC=45°；還可以讓△ADC變為含30°和60°角的直角三角形或等腰直角三角形，對AC是直角邊還是斜邊又可以進行分類討論. 當然，這里除了可以求BD的長，還可以求其他角度，求面積，求周長，求位置關系等，如當BC為多少時BD⊥AC. 變不是盲目地變，我們的變，都要以發展思維、提高能力、形成素養為出發點.

教學啟示

1. 從知識層面來說，培養學生的模型意識是初中數學階段一個很重要的任務. 我們在教學中強調模型意識，但并不是指讓學生一看到題目就去找模型，這與讓學生深度思考的本質有區別. 模型意識的建立可以避免學生對知識死記硬背，對一些題目的解決起到意想不到的作用.

2. 從教學層面來說，為了鍛煉學生的思維，我們努力挖掘一道題的各種解法，想做到一題多解. 誠然，對水平較高的學生來說，這種做法對思維的訓練有很大的幫助，但我們面對的是所有學生，一題多解也會讓很多人覺得數學深奧和繁雜. 在教學中，教師可以比學生多走一步，做好歸納與總結，做好變式與提煉，從一題多解和多題一解中讓學生感受到數學的作用與魅力.

3. 從學生層面來說，學生對問題的理解是一個從無到有，需要時間的探索過程，教師要能彎下身，真正從學生的角度看問題，慢下來，等一等學生. 這里的慢下來，一方面指讓速度慢下來，給學生時間認真思考，因為學生自己的思考比教師的講解更重要；另一方面，慢下來也指題目難度慢下來，面對一個難度較大的問題，可按梯度多設計幾個小問題，讓學生的思維有一個從簡到難的過程，讓學生都能參與進來，讓學數學變得有成就感.