初中數學解題思路探討

李星星

[摘 要] 對于初中數學，教師需要從數學思想著手，給學生教授有效的解題思路與解題方法. 本文以人教版初中數學為例，結合具體知識點以及例題詳細介紹初中常見的數學思想與解題方法，供廣大初中數學教育工作者參考.

[關鍵詞] 人教版；初中數學；解題思路

創新思路分析

對于初中數學學習而言，最重要的就是引導學生掌握相應的數學知識點，加深理解，學會運用. 在教學過程中，教師要優化示范教學，引導學生對所學知識有一個初步的認知，在此基礎上形成個人的思考，嘗試去運用所學知識. 與此同時，老師也要鼓勵學生總結常見習題的規律、學會自我歸納，幫助學生掌握不同題型的解題技巧，進而鍛煉學生的創新思維.

認真審題，明確方法

初中生的語言理解能力以及邏輯思維能力尚不發達，在題干要求比較復雜的情況下難免會產生誤解或理解不完全. 因此，教師在強調審題的同時，要加強學生理解能力的培養，結合習題與生活.

初中數學思想方法及例題解析

1. 數形結合思想

數形結合思想指的就是利用幾何圖形來處理代數問題，使得題目的數量關系更為直觀地反映出來，將數字與圖形巧妙地結合起來，在此基礎上尋求解題思路，簡化問題的解決過程. 下面以人教版初中數學八年級下冊“勾股定理”一章為例進行詳細說明.

（1）題干要求.

長方形卡片ABCD中，將B點折疊至與D點重合，EF為折痕，如圖1所示. 其中，AB=3 cm，BC=5 cm. 試求折疊后形成的三角形DEF面積為多少？

（2）思路分析.

分析題干與圖形可知，由于B點折疊到D點，因此直線BF的長度與直線DF的長度相等，又因為三角形DCF是直角三角形，根據勾股定理可求解出DF的長度. 然后結合圖形可知∠CDF+∠EDF=90°，∠A′DE+∠EDF=90°，進而推導出∠CDF=∠A′DE. 又因為∠C=∠A′=90°并且A′D=AB=CD，可得三角形A′DE與三角形CDF全等，最后便可求解得出三角形DEF的面積.

（3）解答過程.

設BF=x，則BF=DF=x，所以FC=BC-BF=5-x. 因為三角形DCF是直角三角形，所以根據勾股定理可知DF 2=CD2+FC2. 又因為長方形ABCD卡片中AB長度為3 cm，所以x2=（5-x）2+32，計算可得x=3.4 cm. 因為∠CDF+∠EDF=90°，∠A′DE+∠EDF=90°，所以∠CDF=∠A′DE. 因為∠C=∠A′=90°且A′D=AB=CD，所以△A′DE≌△CDF，即DF=DE=3.4 cm. 因為AB是三角形DEF的高，所以S=DE·AB=×3.4×5=5.1 cm.

2. 化歸思想

在人教版初中數學中，化歸法的一個重要內核就是“化未知為已知”，比如通過一定的轉化過程可以將分式方程轉化為整式方程，將代數問題轉化為幾何問題等等. 下面以人教版初中數學九年級上冊“一元二次方程”一章為例進行詳細說明.

（1）降次運算.

在人教版初中數學中，沒有直接講授四次方程的求解方法，但老師可以引導學生利用化歸的思想，將一元一次方程或者一元二次方程的解法與之結合，轉化為方法明確的方程類型進行求解，例如：

① 題干要求

已知：x2+x=1，求解：x3+2x2+2009.

② 思路分析

利用化歸轉化的數學思想，通過“化整為零”對問題進行簡化處理.

③ 解答過程

因為x2+x=1，所以x2=1-x. 則有：

x3+2x2+2009

=x（1-x）+2（1-x）+2009

=-x2-x+2011

=-（x2+x-1）+2010

=2010.

（2）轉化處理.

對于條件未知或是處理過程繁雜的數學問題，教師需要引導學生運用化歸方法進行轉化，將未知的、難度較大的問題轉變為已知的、難度較小的問題，簡化求解過程，保證求解結果的準確性.

① 題干要求

已知：二元一次方程組x+3y=4，x+y=1， 求解：x，y的值.

② 思路分析

在目前的學習中，同學們還沒接觸到二元一次方程組的求解，因此可以使用化歸法將其轉變為已知的方法，即一元一次方程.

③ 解答過程

令x+3y=4為式①，令x+y=1為式②，①-②得2y=3，所以y=. 將結果代入式①或式②，計算得出結果為：x=-， y=.

3. 分解組合思想

在解題過程中，題干已知條件有時候不能直接應用，需要進行一定的處理. 對題目已知條件進行觀察，從問題的求解出發有目的地對已知條件進行分解或重新組合，進而簡化解題過程，這就是分解組合的解題思路. 下面以人教版初中數學八年級上冊“整式的乘法與因式分解”一章為例進行詳細說明.

（1）題干要求.

已知：x=，y=，求解：x2-6xy+y2.

（2）思路分析.

將x，y直接代入原式求解，過程煩瑣，且容易出錯. 通過觀察題干，我們可以發現x2-6xy+y2可以進行分解組合，變為（x+y）2-8xy這一簡單的式子，此時只需要計算x+y與xy的值.

（3）解答過程.

x2-6xy+y2=（x+y）2-8xy，x+y=+==，xy=·==，所以（x+y）2-8xy=（）2-8×=5-4=1，所以x2-6xy+y2=1.

4. 整體思想

在初中數學的范疇內，整體代入是一種常見的解題方法，這體現的就是整體思想. 整體代入指的就是將題目的已知條件作為一個整體，不進行拆分處理，將已知條件整體運用到問題的求解當中，省去了無謂的計算過程，同時也能保證計算結果的準確性.

（1）題干要求.

已知：x2+x-1=0，求解：x3+2x2+99.

（2）思路分析.

本題若采用常規解法，先計算x的值，然后再代入到x3+2x2+99中進行計算，情況比較復雜，計算過程易錯. 通過觀察x2+x-1以及x3+2x2+99，可知如果將x3+2x2+99整理成x2+x-1或x2+x的形式，就可以借助x2+x-1=0這一已知條件，大大地降低了計算難度.

（3）解答過程.

解法一：x3+2x2+99=x（x2+x-1）2+（x2+x-1）+100，因為x2+x-1=0，所以x3+2x2+99=x·0+0+100=100.

解法二：因為x2+x-1=0，所以x2+x=1，x3+2x2+99=x（x2+x）+x2+99=x+x2+99=100.

5. 極限思想

在選擇題的解題過程中，可以不進行嚴密的數學運算，結合題干已知條件進行特殊處理，考慮最一般或最極限的情況，采用特殊值法進行求解.

（1）題干要求.

已知：菱形ABCD如圖2所示，沿著對角線AC方向移動圖形至A′B′C′D′處，兩者的重疊部分如圖所示，其面積為菱形ABCD面積的一半. AC=，求解：菱形ABCD移動的距離AA′.

A. 1 B.

C. -1 D.

（2）思路分析.

在處理時，可以分析極限情況，即將菱形ABCD看成是正方形.

（3）解答過程.

因為正方形的面積等于其對角線平方的一半，所以S=AC2=1. 因為重疊部分面積為正方形ABCD面積的一半，所以A′C2=，即A′C2=1. 因為AA′=AC-A′C=-1，因此結果選C.

結語

通過以上的論述，筆者認為：初中數學內容具備抽象性、復雜性等特點，所以對于學生而言，數學學習的難度自然比較大. 在初中數學的教學過程中，為了盡可能地降低學生的學習難度，激發學生學習數學的熱情，教師要以教學內容為基礎，引導學生總結不同題型的解題思路與解題方法，為學生學習數學指明方向.