平面向量問題的常用解法小結

摘要：平面向量是高考的必考點，也是高考的熱點。考試題型是選擇題或者填空題，考點綜合程度高，方法靈活多樣，能夠考出學生的運用知識的熟練程度以及解題方法的靈活性。本文選取部分高考題為分析對象，按類別來分析歸納平面向量問題的常用解法，為大家備考解題提供些許指導。

關鍵詞：平面向量；解題方法；高考

一、 直接法

平面向量考題的常見模式是對基礎知識的考察，通常將若干知識點整合，解題時只需要按照順序逐層直接解決即可。

例1（2017全國卷Ⅰ理）已知向量a，b的夾角為60°，若|a|=2，|b|=1，

則|a+2b|=。

解析：本題考查向量數量積定義及運算法則，按運算法則直接解決即得。

|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4×1=12

解得|a+2b|=23。

例2（2013上海春季）已知向量a=（1，k），b=（9，k-6）.若a//b，則實數k=。

解析：本題考查坐標運算及向量共線條件，按法則直接解決即得。

由a//b可得19=kk-6，解得k=-34。

二、 幾何圖形輔助法

向量運算法則的圖形運算是向量性質體現的最佳載體，也是數形結合的載體，借此也可以考查學生平面幾何知識的綜合運用。題目常用的圖形載體包括平行四邊形、三角形，考察的性質包括中線、中點、分點等。解決具體問題時畫出圖形輔助，綜合運用向量的圖形運算法則，完成條件與問題結果之間的轉換。

例1（2015全國卷Ⅰ理）設D為ΔABC所在平面內一點，BC=3CD，則（）

A. AD=-13AB+43AC

B. AD=13AB-43AC

C. AD=43AB+13AC

D. AD=43AB-13AC

解析：本題考查向量分解中的圖形法則應用。畫出圖形，將向量運算的圖形法則與平面幾何知識相結合求解即可。

如圖示，由向量加法的三角形法則可知

AD=AC+CD=AC+13BC=AC+13（AC-AB）=43AC-13AB

故選A。

例2（2016全國卷Ⅰ理）設向量a=（m，1），b=（1，2），且|a+b|2=|a|2+|b|2，則m=。

解析：向量模長對應圖形中線段的長度，借助幾何圖形觀察模長關系代表的向量關系，尋求解題的切入點。

向量加法遵循平行四邊形法則（如圖），

令OA=a，OB=b，則OC=a+b。

|a|，|b|，|a+b|分別對應ΔOAC的邊長，由|a+b|2=|a|2+|b|2可知ΔOAC為直角三角形且∠OAC為直角，進而推出a⊥b。于是a·b=m+2=0，解得m=-2。

例3（2013江蘇卷）設D，E分別是ΔABC的邊AB，BC上的點，AD=12AB，BE=23BC，若DE=λ1AB+λ2AC（λ1，λ2為實數），則λ1+λ2的值為。

解析：本題考查向量的數乘及向量分解。畫出圖形，將向量運算的圖形法則與平面幾何知識相結合完成向量分解即可。

根據向量加法法則

DE=DB+BE=12AB+23BC

=12AB+23（AC-AB）=23AC-16AB

于是λ1=-16，λ2=23，故λ1+λ2=12。

三、 坐標轉化法

在正交基底的前提下的向量坐標是向量的又一明顯特征，完成了由形到數的轉化。向量問題坐標化能夠簡化向量問題，也是解決向量問題的有效途徑。題目已知條件中有向量的模長及夾角時，可以考慮借助條件建立恰當的直角坐標系，將問題坐標化后借助坐標運算尋求簡單快捷的解決方法。

例1（2013湖南理）已知a，b是單位向量，a·b=0.若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍是（）

A. [2-1，2+1]

B. [2-1，2+2]

C. [1，2+1]

D. [1，2+2]

解析：根據已知判斷有建系條件。可將a，b放入直角坐標系，把問題坐標化處理。

不妨設a=（1，0），b=（0，1），c=（x，y），

則|c-a-b|=1可轉換為|（x-1，y-1）|=1，即（x-1）2+（y-1）2=1

于是可知向量c對應點C在直角坐標系中的軌跡是以（1，1）為圓心，1為半徑的圓。

|c|表示點C到坐標原點的距離，結合解析幾何中圓的知識易得|c|∈[2-1，2+1]。

例2（2017全國卷Ⅱ理）已知ΔABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內的一點，則PA·（PB+PC）的最小值為（）

A. -2B. -32

C. -43D. -1

解析：向量問題借助等邊三角形為載體，具備建系條件，可以坐標化處理。將數與形的問題互相轉化，充分體現數形結合思想的威力。

以AB所在直線為x軸，以其中點為原點建立直角坐標系（如圖）

則A（-1，0），B（1，0），C（0，3），設P（x，y），

取BC邊中點D，則D（12，32）。

那么PA·（PB+PC）=PA·2PD=2（-1-x，-y）·（12-x，32-y）

=2[（x+1）（x-12）+y（y-32）]=2[（x+14）2+（y-34）2-34]

則當x=-14，y=34時，PA·（PB+PC）取得最小值，為2×（-34）=-32，故選B。

例3（2013山東理）已知向量AB與AC的夾角為120°，且|AB|=3，|AC|=2，若AP=λAB+AC，且AP⊥BC，則實數λ的值為。

解析：根據已知條件，建立坐標系如右圖。

易得B（3，0），C（-1，3），于是AB=（3，0），AC=（-1，3），

那么AP=λAB+AC=（3λ-1，3），BC=（-4，3）。

由AP⊥BC得AP·BC=0，

即-4×（3λ-1）+3×3=0，解得λ=712。

總之，平面向量問題小、巧、活，涉及知識點少，分值高，題型相對固定，方法靈活多變。解好平面向量問題，需要將扎實的基礎知識與靈活的解題方法有機結合，日常復習中要多思考、多嘗試、多探索，為應試中準確快速解題奠定基礎。

參考文獻：

[1]陳碧文.“楊輝三角中的一些秘密”教學設計[J].中國數學教育，2015（8）：48-52.

[2]夏金艷.發現數學的美——以“楊輝三角中的一些秘密”教學為例[J].湖北教育：教育教學，2016（2）：33-36.

作者簡介：

蓋君悅，山東省濟南市，山東師范大學附屬中學。endprint