讓學生在發現、研究、探索中成長

【摘 要】以學生為中心的教學范式的轉換，需要教師滿足學生感到自己是“發現者”“研究者”和“探索者”的心理需求。教師應以學生學習過程中遇到的“問題”和“困難”為前提，設計既可以滿足學生以上心理需要，又幫助學生積累隱性知識的數學實驗課。好的實驗課既要讓學生有所“發現”，也要讓學生不斷“研究”，更要讓學生充分“探索”，從而使設計體現出生態性，讓隱性知識的教學變得可操作、可把握。

【關鍵詞】數學實驗課；倍拼；空間觀念；探索

自2001年新課程改革以來，學校教學的范式已經從以往以教師為中心的教學模式，逐步轉換成以學生為中心的模式。教師在課堂教學中的角色更多的是引領者、促進者和協助者，課堂學習的主體聚焦在學生。蘇霍姆林斯基說過：人的內心里有一種根深蒂固的需要——總想感到自己是發現者、研究者、探索者。在兒童的世界中，這種需要特別強烈。但如果不向這種需要提供養料，即不積極接觸事實和現象，缺乏認識的樂趣，這種需求就會逐漸消失，求知興趣也與之一道熄滅。[1]如何在數學課堂教學中，體現以學生為中心，讓學生感受和成為學習的主人，需要數學教師有針對性地做好課程設計。數學實驗課因其活動“具有具身認知特點”“材料往往是生成性資源”“任務引人入勝”等特點，可以更好地滿足學生以上心理需求，又有利于幫助學生發展那些難以清晰表達的，如數學信念、經驗、思維、直覺、靈感等“隱性知識”。

本文以幾節數學實驗課為例，試對數學實驗的設計提出思考。

一、設計讓學生有所“發現”的實驗課

【案例一】

學生在學習數學的過程中，總有一些共性的“難點”“瓶頸”難以突破，比如學習“三角形面積”時，需要學生能將三角形轉化為已經學過的圖形，用已學過的面積計算方法來解決三角形的面積問題。如果沒有教師的引導與介入，學生很難自覺想到用兩個同樣的三角形拼成一個平行四邊形（倍拼）的方法。倍拼的方法并非在學習三角形時才出現，學生之所以遷移的能力不足，與他們缺少“倍拼”的基本活動經驗有很大關系。是否有可能設計一節數學實驗課，讓學生自然而然地發現“倍拼”是幫助解決圖形問題的重要方法，從而幫助學生積累這種經驗，促進學生有關圖形知識的內化與遷移。

帶著這樣的思考，我們設計了“釘子板上圍圖形”[2]一課。整節課的教學環節大致如下。

（1）介紹學習工具：釘子板與橡皮筋。釘子板上最靠近的4個“釘”中間的部分，我們稱之為“1格”，用橡皮筋在釘子板上可以圍出各種圖形。它們圍出的格子數可以不一樣。

（2）呈現已學圖形：在釘子板上呈現圍好的長方形、正方形、梯形等圖形，請學生數一數，各占多少格。

（3）引導猜測與畫圖：如果在釘子板上圍“占2格”的圖形，可以圍出多少個？并把自己想到的畫在方格紙上。

（4）實驗操作與交流：圍占2格的圖形，先在釘子板上圍圖形，并把圍出的圖形畫下來，再和同伴說一說，這些圖形是占2格嗎？如何說明？

（5）實驗延伸與拓展：圍占3格的圖形，可以圍多少個？你是怎么想的？

在這一案例中，學生最初猜測“釘子板上圍占2格的圖形，可以圍多少個”的時候，多數學生認為可以圍2～3種，猜可以圍4種或4種以上的學生不足20%。學生最初圍出的圖形大致如圖1所示。

但在相互交流中，學生發現，可以根據格子的累加來“設計”圖形，1格+1格，只有長方形，1格+半格+半格，就可以有多種方式了，除了直角三角形、平行四邊形、梯形以外，還可以拼成不規則圖形（如圖2）； 如果是半格+半格+半格+半格，那么又可以拼成不同的圖形 （如圖3）。

接著，有學生圍出圖4，這也占2格嗎？怎么說明它也占2格？學生自然地采用了圖5的方式說明：原來，4格的一半也是2格（倍拼的方法如期而至）！

至此為止，課堂上，學生就像打開了潘多拉魔盒一樣興奮起來，“我發現：3格的一半是1格半，再加上半格也是2格！（如圖6）”“5格的一半是2格半，去掉半格也是2格！（如圖7）”甚至有學生提出：要是釘子板再長些，這樣也可以，這是8格的一半4格，去掉4格的一半是2格（如圖8）……

在這個過程中，圖形的割補、倍拼，學生都在體驗，圖形面積的可加性、面積的不變性學生都在感受，甚至“同底等高的三角形面積相同”學生也在操作、實驗中有了直觀的知覺經驗。

我們對上過這節課的6個班級237名學生，在學習“三角形面積”一課之前，做了前測調查，結果顯示有146人能獨立想到“倍拼”這一方法，占總人數的61.6%。在學習了基本圖形面積以后，有80%以上的學生可以獨立解決稍復雜的“組合圖形面積”問題。雖沒有直接證據證明這是本節實驗課的“功勞”，但我們依舊相信，這節課幫助學生積累的活動經驗，形成了我們看不見的“隱性知識”，正是這些隱性知識，助力學生的后續學習。這節實驗課讓我們看到：只要操作的材料合適，問題合適，學生自己的“發現”，在學生的隱性知識學習中有強大的作用。

二、設計讓學生不斷“研究”的實驗課

【案例二】

“空間觀念”如何培養一直是一線教師教學時一個“模糊”的點。以人教版教材五下中的“觀察物體”為例。

教學該課時教師經常感到，這是一節很“無用”的課，不是教學內容的無用，而是教學本身經常是“隔空打牛”“隔靴搔癢”，起不到真正的作用。稍復雜一點的圖形，對于“會”的學生來說，即使這節課不上，相關內容學生也可以解決；對于“不會”的學生來說，即使上過了這節課，讓其自己思考，依舊無從下手。為什么會這樣？“觀察物體”為什么這么“難教”？

從心理學的視角看，與空間觀念有著密切聯系的概念有空間知覺、空間表象、空間想象和空間能力。“觀察物體”需要學生在頭腦中對原有的“表象”進行加工，融入一部分“空間想象”解決眼前的問題。通過調研發現，“觀察物體”讓學生感到困難的主要原因是：學生缺少空間知覺的支撐，難以形成空間表象，沒有表象自然無從想象，而“當空間想象受阻時，提供操作材料動手實驗，是行之有效的教學對策”[3]。培養空間能力的一個重要條件就是讓學生看到、接觸到學習的對象。那么是否可以設計一節實驗課，以豐富學生的空間知覺為目標，從而促進學生空間能力的發展呢？

小學生形成、發展空間觀念主要依靠“視”與“觸”，亦即主要途徑、手段是觀察與操作[4]。因此我們設計了數學實驗課“圖形穿越”[5]，為學生提供我們自己設計的可以相互“黏”在一起的立方體（羅永軍，專利號：CN205461022V），以及可以當作“墻”的卡紙作為教具，創設立方體可以“穿墻而過”的情境，引導學生在“抓盜賊”的任務驅動下，不斷地通過拼搭、觀察、思考、想象、操作與反思等活動，豐富學生對小立方體搭成立體圖形的“知覺”。同時，我們將立體圖形與其三視圖對應關系，與學生實際生活的房間中物體從不同方向“穿墻而過”留下的痕跡聯系起來，觸覺、運動覺與視覺的協同活動成為學生獲得空間表象的有力支撐；讓學生能夠在豐富的對小立方體的知覺前提下，形成立體圖形與其三視圖的表象。

實踐表明：這節課除了非常受學生的歡迎，讓學生欲罷不能以外，學生在課前與課后解決相應問題的正確率有大幅度提高，理論和實踐都告訴我們，這樣的實驗課的確對促進學生的空間觀念發展有作用。

三、設計讓學生充分“探索”的實驗課

【案例三】

培養學生創造性思維是數學教育的重要目標之一，但學校數學教學中，數學表達的統一性、簡潔性，數學題解法和答案的唯一性，往往又制約著學生“創新思維”的形成。對“探索”過程的經歷，能夠激發學生正向的學習情感，能夠培養學生的積極數學精神，已經是大家的共識。課堂上，教師也注意到了要讓學生經歷“探索”的過程，但由于課堂時間、教學任務和教學內容所限，課堂上的探究往往成了“走過場”式的假探究。是否可以適當地將教學內容設計成實驗課，真正讓學生經歷“探索”答案的過程，以增加學生與“創造性思維”相關的隱性知識呢？

羅永軍老師設計的“擲骰子”[6]一課，就源于此初衷。

“骰子”有6個面，相對面點數的和為7，如果將一摞骰子擺起來，只看到最上面的骰子朝上一面的點數就可以知道這一摞骰子“看不見”的所有面的點數之和（若有a顆骰子，最上面一粒骰子朝上的點數為b，則“看不見”的點數之和為n=7a-b）。知道這個規律、解決相應的問題遠不是這節課的目的，而這樣的規律，學生自己是不是可以發現？他們是怎么發現和解決問題的？

教學時，羅老師先請學生看了一段視頻，一名可以猜到答案的男生聲稱自己有“透視眼”，所以可以“看到”大家看不見的面上的點數。這當然引起了學生們的興趣。羅老師問：“這個透視眼是天生的還是可以練出來的？”“咱們也練練，看是不是可以練出來。”從一顆骰子開始“練”起。課堂上一個調皮的學生學著“拜菩薩”的樣子，嘴里喊著“3、3、3……”骰子一扔，不是3，沮喪地再來一次，“3、3、3……”哇，居然真是3，看他喊“我練成了！”的樣子，真讓人忍俊不禁。當他看到同伴通過反復觀察，發現只要朝上的一面是1，看不見的就是6……這樣的規律，從而“練成”看一顆骰子的透視眼時，驚訝地發現數學原來比“菩薩”好用多了，進而在與同伴交流的基礎上，總結出一顆骰子的“透視眼”是“只要用7減去對面的點子數會算，就練成了”的結論。

實踐中，我們還驚奇地發現：即便學生已經知道“相對面的點數和是7”，到發現“有幾顆，看不見的點子數就是幾個7減去最上面的數”還是要經歷一段“曲折”的探索過程，而不是像我們想的那樣“很快”就能遷移過來了。這節課教學內容簡單，如果學生已經知道這個規律，解決問題無非就是“套用公式”，但是對“什么是教學”的思考，以及教學法的轉變讓我們感受到：如果給學生足夠的時間，讓學生在感到足夠安全的基礎上探索，這樣的實驗課很有價值！

杜威認為：“一切教育活動的首要根基在于兒童本能的、沖動的態度和活動。”[7]但如果“實驗”僅僅等同于“活動”，顯然缺少了數學教育的價值。回顧以上幾個教學案例，可以看到，我們設計的每一節數學實驗課，都是帶著對數學問題的思考，帶著對學生學習中遇到的問題與他們對困難的理解而設計。我們理解的數學實驗，數學是核心內容，促進學生隱性知識的積累是目的，實驗是教學方式。雖然教學環境下的實驗，不那么精準，但它卻極具生態性，讓隱性知識的教學變得可操作、可把握。希望數學實驗課能夠帶領學生在“發現”“研究”“探索”中不斷成長。

參考文獻：

[1]蘇霍姆林斯基.給教師的建議[M].杜殿坤，譯.北京：教育科學出版社，1984.

[2]李量，邢佳立.因“圍”精彩——數學實驗課《釘子板上圍圖形》教學片段實錄與點評[J].小學教學設計，2017（14）.

[3]曹培英.小學生空間觀念的形成與發展有什么特點[J].小學數學教育，2010（4）.

[4]曹培英.跨越斷層，走出誤區[M].上海：上海教育出版社，2018.

[5]邢佳立.巧借“圖形穿越”發展空間觀念——《圖形穿越》教學片段實錄及分析[J].小學教學（數學版），2016（9）.

[6]羅永軍.透視骰子能透視出什么[J].中小學數學（小學版）， 2016（10）.

[7]杜威.學校與社會·明日之學校[M].趙祥麟，等，譯.北京：人民教育出版社，2005.

（浙江省新思維教育科學研究院 310000）