注重知識生長 優化認知結構

郭源源

[摘 要]隨著新課程改革的推進，高效課堂建設成為順利實施新課程改革和素質教育的關鍵，而優秀的教學設計可以有效整合知識，優化知識結構，從而激發學生的學習興趣，提升課堂教學效率.

[關鍵詞]教學設計；整合知識；優化結構

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號] 16746058（2017）35000802

【教學目標】

1.經歷探索直線與圓的位置關系的活動過程，了解直線與圓的三種位置關系.

2.通過觀察直線與圓的位置關系，發現圓心到直線的距離和圓的半徑之間對應的數量關系，會運用數量關系刻畫和判斷對應的位置關系.

3.感受類比研究方法，體會分類、數形結合、特殊到一般等基本數學思想.

[設計意圖]課程標準中要求數學知識的教學應注重知識的生長與延伸，把每堂課的教學知識置于整個知識體系中，注重知識結構和體系的優化，引導學生感受數學的整體性，并讓學生在教學活動中，感悟數學思想，積累數學活動經驗.在本章中，點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系、圓和圓的位置關系（閱讀材料）成了一個體系，其中蘊含了一些常見的基本數學思想和研究方法.基于以上分析，確定了本節課的教學目標.

【教學重難點】

重點：直線與圓的三種位置關系.

難點：用數量關系刻畫對應的位置關系，體會數形結合思想.

[設計意圖]本節課的教學過程中有大量的數學操作活動和匯報交流活動，這些活動都能讓學生充分感受和操作體會直線與圓的三種位置關系.并讓學生從研究的方法中感悟相應的數學思想.

【教學過程】

導入語：數學家華羅庚說過，讀書經歷的是由薄到厚，再由厚變薄的過程.當我們學習的數學知識越來越多，越來越厚時，應學會把同類知識的脈絡厘清，建構知識框架，形成知識體系.這樣我們腦海中的數學會越學越清晰.

一、教學情境

下面我們一起欣賞幾組美麗的圖片.（出示日出、切水果游戲、動漫等圖片）

提問：通過欣賞幻燈片，同學們猜猜看，今天我們的研究對象是什么？——直線與圓的位置關系.

[設計意圖]筆者沒有采用先帶大家復習點與圓的位置關系，然后觀察日出畫位置關系圖的那種形式，而是引導學生觀察圖片后猜想今天的研究對象，學生根據要研究的問題，尋找知識的最近聯想區，并借助點與圓的位置關系進行類比研究.筆者認為這樣更符合學生的認知規律和探索心理.

二、探索活動

【活動1】尋找知識的生長點.

問題1.如何研究直線與圓的位置關系？你有哪些可借鑒的經驗？

[設計意圖]本節課屬于類比研究課，類比研究的價值之一就是學生能夠根據已學過的知識找到可類比的知識源.因此直接拋出本節課的主題，通過問題倒逼學生回憶相關知識.

問題2.那你還記得當時我們是如何研究點與圓的位置關系的嗎？試著在表格中畫出來.

[設計意圖]再次經歷從分類、歸納位置關系到刻畫數量關系的過程，進一步感悟研究方法，為本節課的教學做好鋪墊.

問題3.為什么研究位置關系時，還要通過數量關系來刻畫？

（世界上存在很多隱性的圓，比如信號的覆蓋區域，特殊的警區等，我們通過直觀無法準確判斷位置關系，因此數學上我們還會用數量關系來進行精確刻畫.）

[設計意圖]突出解決數量關系時，刻畫位置關系的必要性，從而掃清后面用“數”刻畫“形”的障礙.

【活動2】類比研究

問題4.今天我們研究的問題是另一種幾何對象與圓的位置關系，你準備怎么研究？

前面的研究經驗是否像同學們所說的那樣可以互相借鑒？這節課我們來試試看.

[設計意圖]通過類比點與圓，弄清研究直線與圓位置關系的大致步驟，為后面自主探究奠定基礎，也滲透了類比研究法.

問題5.（操作）將透明膠帶看作一個圓，將鉛筆看作一條直線.在同一平面內，對于直線與圓，你能擺出幾種不同的位置關系？畫出示意圖，說說你的分類標準.

[設計意圖]在直觀感受和已有學習經驗的幫助下，通過自己動手操作，并分類、歸納，明確研究方向，提升探究新問題的能力.

問題6.下一步研究什么？

追問：研究哪些量的數量關系？并說說理由.

追問：既然同學們都認為需要圓心到直線的距離d和半徑r這兩個量.那么三種位置和這兩個量必須滿足怎樣的數量關系？（形→數）

追問：反過來，知道圓心到直線的距離d與半徑r的數量關系，能否確定直線與圓的位置關系？（數→形）

[設計意圖]研究的量需讓學生通過類比來把握，增強學生的方法感受.經歷從定性描述到定量刻畫的過程，讓學生感悟數形的聯系.

三、嘗試解決

【例題1】 （形推數）

（1）已知直線l與⊙O相切，且圓心O到直線l的距離d等于3，⊙O的半徑的值為 .

（2）已知直線l與⊙O有兩個公共點，且圓心O到直線l的距離d等于3，⊙O的半徑范圍是 .

（3）已知直線l與⊙O位置如圖所示，且⊙O的半徑為3，圓心O

到直線l的距離d的范圍是 .

【例題2】 （數推形）

在△ABC中，∠A=45°，AC=4，以C為圓心，r為半徑的圓與直線AB有怎樣的位置關系？為什么？

（1）r=2 （2）r=22 （3）r=3

【例題3】 （注意細節）

（1）已知⊙O的半徑為5，點A在直線l上，若OA=5，則直線l與圓O的位置關系是 .

（2）判斷對錯：

直線AB與⊙O沒有公共點，則AB與⊙O相離.（）

直線AB與⊙O只有一個公共點，則AB與⊙O相切.（）

直線AB與⊙O有兩個公共點，則AB與⊙O相交.（）

[設計意圖]由圖形的位置關系決定數量關系，由數量關系判定圖形的位置關系，這里的“數形結合”既是重要的知識，又是重要的思想方法.故在例題中設置從形推數，到由數推形，最后兩者結合解決問題，為的就是讓學生從簡單的知識內容中挖掘出重要的思想方法.endprint