懸索橋施工期大尺寸主纜馳振分析方法研究

李勝利, 王超群, 寧佐強, 王東煒

(鄭州大學 土木工程學院，鄭州 450001)

一般工程界所認為的馳振是細長物體因氣流自激作用產生的一種純彎曲大幅振動，理論上是發散的，即不穩定的[1]。但是人們在研究中發現，馳振現象應當是一種橫風向運動占主導作用的三自由度運動[2]，主要發生在具有非流線型截面的細長鈍體結構中。成橋后的主纜截面一般呈圓形，理論上不會發生馳振現象。然而施工期暫態主纜卻并非圓形截面,在不同施工階段截面形狀各異,這使其有發生馳振失穩的可能性。主纜(見圖1)一般由上百根索股組成,每根索 股又由上百根鍍鋅鋼絲組成[3]。其中每根索股的制造可由廠家在工廠完成，但是由索股組裝成主纜的工序卻因主纜截面尺寸過大而必須在施工現場完成,而且單根索股的架設時間有隨著主纜跨徑的增加而有變長的趨勢，如東海某大跨徑懸索橋主纜單根索股架設需要5 h左右。隨著索股架設工序的推進,暫態主纜的截面形狀不斷變化,主纜的馳振性能也在不斷變化。由于主纜在架設過程中尚未承受吊索等的約束作用，故而暫態主纜若在風的作用下發生馳振現象，必然會有較大的振動幅度，嚴重影響了施工安全性和工人舒適性。這種情況下，停工是在所難免的，因此也嚴重影響了整個橋梁架設的施工進度，以東海某大跨徑懸索橋(見圖2)為例，其平均每天索股架設根數竟不到一根。因此進行懸索橋大尺寸主纜施工期馳振性能研究很有必要。研究表明，由傳統單自由度馳振研究方法得到的臨界風速及失穩風攻角范圍均和實際觀察到的數據有一定程度的出入[4]，這對有效預防暫態主纜馳振失穩現象的發生是不利的，故而有必要進一步改進馳振分析方法。

圖1 主纜索股牽引形象進度圖Fig.1 Visual progress chart of main cable strands

自DenHartog在其橫風向馳振模型中，將結構橫風向速度引入氣動力項中，建立被廣泛運用的單自由度馳振分析方法之后[5]，Nigol等[6]又在扭轉馳振氣動力模型中引入了結構的扭轉，Yu等[7]則在豎向扭轉兩自由度馳振模型中同時考慮的結構橫風向運動速度和結構扭轉對相對風速的影響。國內的徐風云等[8]指出施工期強風作用下主纜具有三維振動特征，即橫向、豎向和縱向復合振動，另外兩根主纜三維振動具有不同步振動的特性等等；李勝利等則基于暫態主纜可能發生馳振失穩的理論，采用CFD 數值模擬和有限元數值計算的研究方法，分析得到了東海某大跨徑懸索橋主纜施工期各工況可能發生馳振失穩的風攻角范圍。

已有的研究多是基于單自由度馳振研究方法，即便涉及到主纜馳振的多自由度特征，也僅僅是定性的分析，未能定量的提出一個同時考慮暫態主纜不同方向運動及其相互影響作用的模型。基于此，本文建立了一個同時考慮暫態主纜橫風向運動及順風向運動的二自由度馳振模型，借用Routh-Hurwitz代數判據[9]推導得到了該模型下的臨界失穩狀態方程。基于東海某大跨徑懸索橋的工程實例，運用本文推導的兩自由度馳振分析模型，計算得出施工期主纜的馳振臨界風速，并和登哈托準則進行對比分析。

圖2 東海某大跨徑懸索橋總體布置圖Fig.2 General layout of the suspension bridge

1 懸索橋施工期暫態主纜馳振分析方法

按相對攻角變化所建立的氣動自激力理論，忽略了物體周圍非定常流場的存在，因而是將氣流視為定常的，這種理論可以稱之為準定常理論，相應的氣動力則稱為準定常力。實踐證明，在靜態條件下所得到的三分力系數隨風攻角變化的曲線，已經足以作為建立馳振現象的理論基礎，即馳振基本上是由準定常力控制的。傳統的單自由度馳振模型以及本文即將提出的二自由度馳振模型均是以準定常理論為基礎的。

1.1 單自由度馳振模型

假設均勻流以攻角α、速度Uα流過一個暫態主纜的的斷面(見圖3)。

圖3 纜索上的升力與阻力Fig.3 Lift and drag forces on main cable

圖3中所示主纜斷面的豎向振動方程可表示為

(1)

(2)

(3)

1.2 二自由度馳振模型

一般情況下，暫態主纜的馳振響應包括水平向(順風向)、豎向(橫風向)和扭轉三個自由度的分量，但大多以橫風向運動為主。因此在橋梁的抗風設計中一直沿用傳統的單自由度DenHartog判據，這對小跨徑的橋梁施工而言，計算精度已經達到工程實踐的需求。李永樂等[12]在研究懸索橋施工期馳振時，發現多自由度分析方法較單自由度馳振模型能更真實地反映主纜的馳振性能。

僅就單根主纜而言，由于各根索股緊密排列，因而可認為扭矩引起的扭轉偏量很小。本文暫且忽略因截面扭轉引起的相對風速改變。可建立同時考慮主纜橫風向和順風向運動的氣動力模型，如圖4所示。

圖4 暫態主纜二自由度馳振分析模型Fig.4 Two-degree-of-freedom model for galloping of main cable

x-o-y為體軸坐標系，L-O-D為風軸坐標系。相對風速及風攻角之間的關系可表示為[13]

(4)

在風軸坐標系下，阻力及升力可分別表示為

根據幾何關系，將其轉換為體軸坐標系下的阻力及升力，轉換關系為

Fx=FDcos(αr)-FLsin(αr)
Fy=FDsin(αr)+FLcos(αr)

(5)

式中：α=α0+αr為總的風攻角；α0為初始風攻角；CD(α)和CL(α)為阻力系數和升力系數；ρ為主纜所在處的空氣密度；D為主纜的特征寬度(取迎風面寬度，即截面的高度)；Fx、Fy分別為體軸坐標系下的水平力和豎向力。

(6)

由結構動力學[14]知識可知，暫態主纜兩自由度運動方程可表示為

(7)

式中：mx、my分別為x、y方向的系統單位質量；cx、cy分別為x、y方向的系統阻尼；kx、ky分別為x、y方向的系統剛度。

將式(6)代入式(7)中，可得

(8)

式(8)可合并同類項，整理之后簡化為

(9)

其中，

(10)

顯而易見，式(10)中，耦合因子Gx、Gy、Gz很難同時為零。根據文獻[13]可初步判斷，同覆冰導線一樣，暫態主纜一旦發生馳振，必然會有水平豎向耦合現象的發生。

下面建立微分方程式(9)對應的特征方程

假設x(t)=Xest，y(t)=Yest則式(10)可化為

(11)

約去公因子est，可得

(12a)

(12b)

s4+2(ωxζx+ωyζy)s3+(ωx+ωy+4ωxωyζxζy+GxGy)s2

(13)

像式(9)這種解耦困難的復雜多自由度體系運動方程可借助代數判據來判斷系統的運動穩定性，本文采用Routh-Hurwitz判據，其本質反映了特征方程系數與其特征根之間的關系。

式(13)所對應的胡爾維茨矩陣為

(14)

其中，

H4=1,H3=2(ωxζx+ωyζy),

(15)

系統穩定的充要條件為Δi>0，i=0, 1, 2, 3。

其中，Δi為胡爾維茨系數矩陣D的各階主子行列式值，即

(16)

展開后，可得

Δ1=H3=2(ωxζx+ωyζy),

(ωxζx+ωyζy)(8ωxωyζxζy+2GxGy)-GxGz,

(ωxζx+ωyζy)(8ωxωyζxζy+2GxGy)-GxGz)×

(ωxζx+ωyζy)(8ωxωyζxζy+2GxGy)-GxGz)×

(17)

式中：ωx、ωy分別為x、y方向的結構圓頻率，ωx=2πfx、ωy=2πfy；fy、fx則分別為結構兩個振動方向的自振頻率，可通過建立有限元模型進行動力特性分析得到；ζx、ζy為兩個方向的結構阻尼比，本文中取一般值1%[15]。

根據文獻[13], 通過求解Δi=0臨界狀態方程便可以得到暫態主纜系統的馳振臨界風速。

2 工程實例分析

本文以東海某大跨徑懸索橋施工期主纜為工程實例分析對象，選取其中四個典型工況(見圖5),這四種典型工況可分別代表主纜施工過程中的下部三角形截面工況、中部五邊形截面工況以及頂部尖頂型截面工況。

圖5 施工期主纜四種典型工況截面Fig.5 Different working conditions of transient main cables during construction

2.1 馳振力系數的數值計算

考慮到實際風洞試驗周期長、設備要求高等缺點，本文采用計算流體軟件Fluent計算四種典型工況主纜在風攻角-5°～+5°內的氣動力系數。數值模型考慮貓道對暫態主纜的影響，具體計算設置與文獻[16]一致。計算得到四種典型工況下對應不同風攻角的阻力、升力系數變化曲線如圖6～圖9所示。

由DenHartog判據可知，馳振力系數A<0是系統運動不穩定的必要條件，如此可初步推斷表1中出現負值的工況、風攻角組合下，有可能發生馳振失穩現象。

圖6 工況1的升力系數、阻力系數及馳振力系數Fig.6 The lift, drag, and galloping coefficients of case 1

圖7 工況2的升力系數、阻力系數及馳振力系數Fig.7 The lift, drag, and galloping coefficients of case 2

圖8 工況3的升力系數、阻力系數及馳振力系數Fig.8 The lift, drag, and galloping coefficients of case 3

圖9 工況4的升力系數、阻力系數及馳振力系數Fig.9 The lift, drag, and galloping coefficients of case 4

表1 暫態主纜各工況不同風攻角情況下的馳振力系數

2.2 暫態主纜動力特性有限元計算

采用ANSYS建立東海某大跨徑懸索橋橋塔、貓道及主纜的有限元模型(見圖10)。考慮預應力的影響，提取各典型工況前10階自振頻率及振型如表2所示。

圖10 東海某大跨徑懸索橋施工期有限元模型Fig.10 Finite element model of the suspension bridge during construction

表2 暫態主纜各工況不同風攻角情況下的馳振力系數

2.3 兩種模型下馳振臨界風速對比分析

由表1可知，工況1下可能發生馳振失穩的風攻角范圍為-1°～2°，工況2下可能發生馳振失穩的風攻角范圍為2°～4°，工況3、工況4由于為主纜施工后期工況，沒有出現馳振力系數小于零的情況。為了方便比較，不妨將上述可能發生失穩的情況列為六組組合，如表3所示。

表3 可能發生馳振失穩的工況、風攻角組合

本文選取(f1，f3)及(f2, f4)兩種模態組合的自振頻率作為二自由度馳振模型的計算頻率；單自由度馳振模型則可取各工況的第一階橫風向(豎向)自振頻率f3作為計算頻率；主纜阻尼比ζ可根據相關經驗取為1%；各工況主纜單位長度質量m分別為：862.79 kg/m、1 941.28 kg/m；；特征寬度D分別為：0.25 m、0.42 m。分別運用傳統單自由度模型和兩種不同模態組合下的二自由度馳振模型計算表3中所給的六種可能發生馳振失穩情況下的馳振臨界風速。由于采用二自由度馳振模型計算馳振臨界風速時需要用到Routh-Hurwitz判據，計算過程較為復雜且容易出錯，現以1號組合為例，取(f1，f3)模態組合簡要介紹一下其計算過程。表4為Routh-Hurwitz判據所需的計算參數。

表4 計算參數

將表4中的H0,H1,H2,H3及H4代入Hurwitz系數矩陣，可得出該系數矩陣的各階主子行列式

Δ1=H3=0.017 379 667；

Δ2=H3H2-H1H4=0.004 287 536+0.017 379 667×

(-1.745 58E-010×U2)-1.759 18E-009×U3；

Δ3=H1(H3H2-H1H4)=1.263 05E-005+

5.11 981E-005GxGy+0.001 341 674GxGz+

0.017 379 667×GxGz×GxGy-GxGzGxGz；

Δ4=H0×Δ3

(18)

由上文可知，系統穩定的充要條件為

Δi>0,i=0, 1, 2, 3, …,

因此只需分別令Δ1,Δ2,Δ3和Δ4等于零，即可解得馳振臨界風速Ug。

由于H0H3均為常數，只需以下兩式成立

H1=0.002 9+1.759 2E-009×U3=0

(19)

H3H2-H1H4=0.004 287 54+0.017 379 67×

(-1.745 58E-010×U2)-1.759 18E-009×U3

(20)

解得Ug=U=134.58 m/s。

表5為所有組合采用單自由度模型和兩自由度模型計算所得的馳振臨界風速。

由表5可知，兩自由度模型計算方法分別采用兩種不同振型組合的計算結果差別很小，這是因為兩種振型組合的自振頻率十分接近，由此可以預見采用前四階振型f1,f2，f3,f4所對應的四種振型組合(f1,f2)、(f1,f3)、(f2,f3)和(f2,f4)所得的馳振臨界風速差別很小，因此下面只取兩自由度模型的振型組合(f1,f3)對應的計算結果與單自由度模型的計算結果進行對比分析，圖11為兩種計算方法所得臨界風速。

表5 兩種計算模型計算結果

圖11 兩種馳振模型計算所得馳振臨界風速對比Fig.11 The galloping critical wind speed calculated by the two models

由圖11可知，對于可能發生馳振的七組工況，其中六組用本文介紹的兩自由度計算方法比用傳統單自由度方法計算所得的馳振臨界風速高。即兩自由度分析方法分析所得相同風速下主纜發生馳振的可能性更小，更加安全。

對比兩種分析方法，Den Hartog單自由度馳振理論只考慮質點橫風向的上下振動，不考慮橫橋向的振動，與實際觀察到的主纜馳振現象有一定差異；本文兩自由度馳振分析方法和文獻[13]關于覆冰導線的兩自由度馳振分析類似，考慮了豎向和橫橋向多種模態的耦合振動。研究者在不考慮貓道氣動干擾效應的主纜馳振時域分析中，也指出多自由度分析方法更加貼近現實情況，較單自由度馳振模型能更真實地反映主纜的馳振性能。因此，用傳統單自由度方法分析主纜馳振時所得結論偏不安全，可能對是否發生馳振產生誤判。

3 結 論

(1)基于本文提出的主纜馳振兩自由度分析方法，取主纜前四階振型，共有四組兩自由度振型組合，對四組振型組合分別計算所得四組馳振臨界風速差別很小。

(2)由于多自由度分析方法更為接近實際情況，較單自由度馳振模型能更真實地反映主纜的馳振性能，其計算結果可信度更高。

(3)兩自由度分析方法比傳統單自由度計算方法所得馳振臨界風速大，傳統單自由度方法對主纜的馳振分析存在誤判的可能性。

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