基于期望補償的撓性航天器自適應魯棒主動振動控制

余 臻， 郭 毓， 王 璐, 吳益飛， 郭 健

(南京理工大學 自動化學院， 南京 210094)

隨著人類對太空探索與開發的不斷深入，航天技術已成為各個國家大力發展的關鍵技術。現代航天任務愈發復雜，不僅僅局限于對地觀測等常規任務，天地往返、太空漫游等已被列入發展規劃[1]。組建帶有大型撓性附件的航天器已成為目前的發展趨勢，其中最著名的大型撓性航天器就是國際空間站，帶有太陽能電池帆板、大型空間桁架以及移動維修機械臂等大型撓性附件。我國也于2011年發射了首個目標飛行器和空間實驗室“天宮一號”，并于2016年成功發射“天宮二號”。這些大型撓性附件的振動阻尼小，受到太空環境干擾和本體姿軌機動的影響會產生強烈的振動，在真空環境中很難被抑制。強烈的振動不僅會嚴重影響本體的指向精度和穩定度，進而導致有效載荷失效，還嚴重威脅著航天器的安全。然而，撓性航天器的系統參數存在不確定性，例如轉動慣量，在撓性附件展開前后會產生巨大變化。系統中還有許多其他參數也很難離線準確測量得到。強烈的剛柔耦合、參數不確定和外部環境干擾等因素已成為撓性航天器大角度姿態快速機動控制設計中的難題。因此，具有自適應能力和魯棒特性以及主動振動控制能力的控制策略在撓性航天器姿態控制系統設計中越來越受到關注。

過去數十年來，航天控制專家將眾多控制方法應用于撓性航天器姿態機動控制中。Hu等[2-4]對撓性航天器姿態機動的滑模變結構控制進行了深入的研究，并結合主動振動控制方法對機動過程中撓性附件的振動進行抑制。此外，自適應Back-stepping控制[5]、容錯控制[6]及L1自適應控制[7]等均已應用于撓性航天器姿態控制系統設計中。Yao等[8-9]結合自適應控制(Adaptive Control, AC)與確定魯棒控制(Deterministic Robust Control, DRC)方法的優點，提出了自適應魯棒控制理論(Adaptive Robust Control, ARC)。通過引入在線參數更新，降低參數不確定的影響，同時通過魯棒控制律來鎮定不確定非線性。由于使用了帶有參數投影的自適應律，使得參數估計一直保持在確定的界內，可保證二者結合的有效性[10]。為了降低測量噪聲的影響并提高自適應模型補償的效果，使用期望軌跡信息來計算回歸量的思想被納入ARC設計中，基于期望補償的自適應魯棒控制(Desired Compensation Adaptive Robust Control, DCARC)應運而生[11]。對于具有參數和干擾不確定性的撓性航天器系統的姿態控制設計，應用DCARC方法改善姿態控制性能是一個值得研究的課題。

另一方面，大量撓性結構在空間結構中的應用使得針對撓性結構的控制已成為空間控制的一部分。由于對撓性結構的控制精度要求越來越高，被動控制已難以滿足高精度控制要求。近年來，采用智能材料傳感器與作動器進行主動振動控制的研究不斷升溫[12]。在眾多智能材料中，壓電材料由于存在正逆壓電效應，可作為傳感器與作動器，受到振動控制專家的廣泛關注。獨立模態控制[13]、應變率反饋(Strain Rate Feedback, SRF)控制[14]、正位置反饋(Positive Position Feedback, PPF)控制[15]等方法已廣泛應用于撓性結構的主動振動控制中。其中，PPF控制策略作為一種魯棒控制方法最早由Goh[16]提出，對控制溢出不敏感。將PPF控制器的頻率選取為特定模態的固有頻率，可以實現主動阻尼[17]。Hu等將PPF和SRF控制與變結構姿態控制相結合，使撓性航天器在完成大角度姿態快速機動過程中，撓性附件的振動得到抑制。

本文針對一類帶有大型撓性附件的航天器大角度姿態快速機動的控制問題，提出了一種將路徑規劃、基于DCARC的姿態控制以及基于PPF的主動振動控制技術相結合的自適應魯棒主動振動控制方法。本文結構安排如下：第一節描述了一類粘貼有壓電傳感器與作動器的撓性航天器動力學模型并提出了控制方案總體設計；第二節設計了基于DCARC的姿態控制器；第三節分別闡述了多模態PPF主動振動控制器與路徑規劃的設計方法；第四節給出了仿真結果與分析；第五節為本文結論。

1 撓性航天器動力學模型與控制方案設計

1.1 數學模型

對于一類撓性附件表面粘貼有壓電傳感器和作動器的大型航天器系統，可視為由中心剛體和撓性梁組成。中心剛體相對慣性空間做定軸轉動，撓性梁以懸臂方式與其連接。這種模型能夠代表一大類的撓性航天器，如衛星-太陽能帆板系統等。使用混合坐標建模方法得到的姿態動力學簡化模型為

(1)

式中：J為撓性航天器系統的轉動慣量;φ為航天器中心剛體的角位置;Fi為撓性附件第i階模態和中心剛體的耦合系數(i=1,2,…,n);ηi為撓性附件第i階模態坐標;d為作用在航天器上的干擾力矩;u為作用在航天器上的控制力矩;Vi為撓性附件第i階模態阻尼比;ωi為撓性附件第i階模態固有頻率;σi為壓電作動器與撓性附件第i階模態的耦合系數;up為壓電作動器的控制電壓;n為考慮的模態數目。

式(1)中第一個方程為航天器中心剛體動力學方程，第二個為撓性附件模態方程。其中，系統的轉動慣量及外部干擾存在不確定性。中心剛體的運動受到外部干擾以及撓性附件的耦合影響，而撓性附件的振動由中心剛體的姿態運動激發。

控制目標：考慮撓性航天器進行Rest-to-Rest姿態機動，角位置φ從初始姿態角旋轉到期望姿態角。通過設計式(1)中的u和up，使得航天器系統在受到外部不確定性干擾影響并帶有慣量參數不確定的條件下，能夠完成大角度姿態快速機動，并抑制機動過程中撓性附件的振動。

1.2 控制方案總體設計

考慮到撓性航天器存在參數不確定和外部干擾的影響，且需抑制因姿態機動而激發的撓性附件振動，本文提出了一種撓性航天器大角度姿態快速機動自適應魯棒主動振動控制方案，系統結構如圖1所示。首先根據撓性航天器期望的機動角度運用Bang-Coast-Bang(BCB)型路徑規劃中心剛體角加速度，通過路徑參數的選擇使得其不易激發撓性附件振動，從而得到期望的姿態角位置路徑。采用基于DCARC的姿態控制器跟蹤規劃的期望路徑，使得撓性航天器在存在剛柔耦合、參數不確定以及外部干擾下實現大角度姿態快速機動，并具有滿意的動態和穩態性能。在DCARC姿態控制中的自適應模型補償和帶參數投影的自適應律都利用期望路徑信息計算回歸量，以減少在線計算時間和測量噪聲的影響。同時，針對姿態快速機動引起的撓性附件的高頻振動，采用多模態PPF控制設計主動振動控制器，通過壓電傳感器/作動器對撓性附件的振動進行抑制。

圖1 撓性航天器自適應魯棒主動振動控制框圖Fig.1 Diagram of adaptive robust active vibration control for flexible spacecraft

2 基于期望補償的自適應魯棒姿態控制

2.1 模型變換與假設

將撓性航天器中心剛體動力學方程表示為狀態空間方程形式為

(2)

式(2)中第二個方程可改寫為

(3)

由于J和Δ存在不確定性，定義需自適應更新的未知參數為θ=[θ1θ2]T=[JΔn]T，則式(3)可表示為

(4)

假設1參數不確定與擾動不確定的范圍是已知的，即

θ∈Ωθ={θ:θmin<θ<θmax}

(5)

(6)

式中,θmax=[θ1maxθ2max]T和θmin=[θ1minθ2min]T分別為未知參數θ已知的上、下界，且δ也為已知。式(5)中對向量使用的運算符號“<”在本文中表示對向量中對應元素的大小進行比較。

注1由于采用了主動振動控制，主動增加了撓性附件的阻尼，使得撓性模態的幅值及速率均有界，因此未知總擾動是有界的。此外，未知參數的界一般可測量或估計得到，所以假設1是合理的。

定義被控量為

(7)

式中:e=φ-φd為撓性航天器中心剛體角位置誤差;φd為規劃的角位置期望路徑;k1為正增益。因此，控制目標可轉換為控制p。

對式(7)求導并考慮式(3)可得

(8)

2.2 帶參數投影的自適應律

為了確保參數估計始終保持在確定的界內，使用帶參數投影的自適應律為

(9)

(10)

2.3 基于DCARC的姿態控制器設計

考慮到式(8)的形式，基于DCARC的姿態控制律設計為

(11)

式中：ua為自適應期望模型補償。由于使用期望路徑信息計算回歸量，而非實際狀態的在線測量，可以有效減少計算時間，減小測量噪聲的影響;us為魯棒控制律，且由兩部分組成

us=us1+us2,us1=-ks1p

(12)

其中，

ks1≥k2+θ1k1

(13)

式中：k2和ks1均為正增益;us2為鎮定參數不確定和擾動不確定的魯棒控制項。將式(11)和式(12)代入式(8)可得

(14)

基于假設1，設計us2滿足以下條件

(15)

式中,ε為一個可設計的常數。本文中us2設計為

(16)

其中:h≥||θM||||φd||+δ;θM=θmax-θmin。

2.4 穩定性分析

引理1對于任意的自適應函數τ，帶參數投影的自適應律式(9)都具有以下性質[18]

(17)

(18)

定理1對于撓性航天器系統式(1)，采用帶有基于參數投影自適應律式(9)的DCARC控制律式(11)和式(12)可保證：

(1) 撓性航天器系統中所有信號均有界，且正定函數是有界的

(19)

(20)

證明：對Vs求導并將式(14)代入可得

(21)

將式(7)代入，可得

(22)

考慮到式(15)的條件I)以及式(13)

(23)

(24)

(25)

對Va求導并將式(22)代入可得

(26)

考慮到式(15)的條件II)以及式(13)和式(18)

(27)

3 主動振動控制與路徑規劃

3.1 基于PPF的主動振動控制器設計

本文中考慮航天器的撓性附件表面黏貼有一對壓電傳感器/作動器，當撓性附件由于振動發生形變，壓電傳感器會產生電壓；當主動振動控制器輸出控制電壓作用于壓電作動器，其會產生力作用于撓性附件，進而主動抑制振動。

由于柔性結構本質上是分布參數系統，具有無窮多個模態，高模態密度會導致“溢出”現象[19]。PPF控制方法由于對溢出不敏感，被廣泛應用于柔性結構的主動振動控制中。其工作原理是將柔性結構的位置信息輸入給特定的二階補償器，再將補償器的輸出乘以一個正增益后反饋給被控結構，因此命名“正位置反饋”。PPF控制可以由以下兩個方程描述，其中第一個描述被控柔性結構，第二個表示PPF補償器[20]

(28)

(29)

式中：z是描述被控柔性結構位移信息的模態坐標;V和ω分別為結構的阻尼比和固有頻率;g為正增益;ξ為PPF補償器輸出;Vc和ωc分別為補償器的阻尼比和頻率。其閉環系統的穩定條件為

0

(30)

由于撓性附件的主導模態不止一個，為了抑制多個主導模態的振動，需要使用多模態PPF控制器，即通過將多個PPF控制器并聯來實現，其中每個PPF控制器針對一個特定模態，如圖2所示。多模態PPF控制由以下方程描述

(31)

(32)

式中：G為增益矩陣;U為參與矩陣；η和ξ分別為被控柔性結構模態和PPF補償器的坐標向量;Ω和Ωc分別為模態和補償器的頻率矩陣;D和Dc分別為模態和補償器的阻尼矩陣。其閉環系統的穩定條件為

Ω-UTGU>0

(33)

忽略撓性附件模態方程中中心剛體對撓性附件的耦合影響，可得

(34)

壓電傳感器的輸出電壓可表示為附件模態坐標的函數

ys=PTη

(35)

式中，P為系數向量，與傳感器的位置、尺寸、材料等因素相關。因此，多模態PPF補償器為

(36)

式中，X∈Rb×c為設計矩陣，其所有元素均為1，且b為所需控制的模態數目，c為所使用的傳感器/作動器對的數目。根據多模態PPF控制的原理，壓電作動器的控制電壓設計為

up=XTGξ

(37)

關于PPF補償器頻率ωc的選取，有三種情況：主動撓性、主動阻尼和主動剛度。為了產生最大阻尼作用，期望實現主動阻尼情況，即補償器頻率ωc應選擇與被控結構的固有頻率ω接近。而阻尼比Vc的選擇，常需要權衡閉環系統的魯棒性和主動阻尼性能進行折衷考慮。

圖2 多模態PPF控制框圖Fig.2 Diagram of multi-modal PPF control

3.2 BCB型機動路徑規劃

為了在指定時間內盡快完成撓性航天器姿態大角度Rest-to-Rest機動，快速性是需要考慮的問題之一。然而，由于航天器系統存在強烈的剛柔耦合，若中心剛體機動過快，會激發撓性附件的強烈振動。因此，需要在執行機構能力受限和角速度測量受限的情況下，規劃平滑的期望機動路徑。顯然，中心剛體的角位置期望參考軌跡若為階躍信號，則初始階段較大的誤差會導致執行機構的強烈動作，極易激發附件振動。目前，大角度快速機動路徑一般劃分為加速、勻速和減速三個階段，以此平滑姿態運動的過渡過程。

在眾多路徑形式中，BCB型路徑[21]形式簡單，直接將加速段與減速段的角加速度設計為大小相同方向相反的常值，勻速段角加速度為零。根據機動時初始角度和期望目標角度，并綜合航天器最大角加速度和最大角速度的限制可知，BCB型路徑的確定只需要兩個參數，即機動過程中航天器中心剛體期望角加速度以及加速段與減速段時間之和。對于路徑參數的選擇，本文作者在文獻[22]中從頻譜分析的角度出發，提出了一種兼顧機動快速性和穩定性的BCB型機動路徑參數的選擇方法。其主要思想是使用DFT(Discrete Fourier Transform)推導得到規劃的期望路徑的頻譜表達式，使得其主頻避開撓性附件的主導模態頻率，且期望路徑的頻譜在附件各階模態頻率處的幅值盡量低；同時綜合考慮路徑參數與機動時間的關系，折衷選擇。這里仍用此方法選擇BCB型機動路徑參數，使得撓性航天器中心剛體角位置的期望路徑不易激起撓性附件的振動。

4 仿真分析

4.1 仿真參數

通過數值仿真驗證本文所提控制方法的有效性，采用文獻[23]中所給出的撓性航天器的物理參數。航天器轉動慣量標稱值為J=24.62 kgm2，撓性附件前五階模態的頻率分別為ω1=2.580 9 rad/s，ω2=19.329 6 rad/s，ω3=57.938 3 rad/s，ω4=117.971 5 rad/s，ω5=199.687 1 rad/s，阻尼比為V1=V2=V3=V4=V5=0.002，耦合系數分別為F1=3.361 7 kg1/2m，F2=0.419 8 kg1/2m，F3=0.138 4 kg1/2m，F4=0.067 7 kg1/2m，F5=0.039 9 kg1/2m。包含常值與周期性干擾的干擾力矩為d=1.4×10-4sin(0.001t+0.89)+4.3×10-5Nm，最大角加速度和角速度限制為alimit=0.4 °/s2，Vlimit=2.5 °/s。假設航天器需完成-30°～30°大角度姿態機動，且初始和最終期望角速度均為0 °/s。在仿真中，未知參數的上下界分別設為θmax=[30 0.1]T和θmin=[20 -0.1]T。使用BCB型路徑規劃姿態過渡，且路徑參數取為a=0.2 °/s2，T=25 s。

4.2 仿真結果

根據航天器任務要求，考慮了以下四個性能指標來比較分析不同控制方案的優劣：

(1)機動時間ts,姿態角位置和角速度誤差均進入5×10-4°和5×10-4°/s誤差帶所需的時間，評價撓性航天器機動的快速性。

(2)最大誤差em,機動過程中姿態角位置誤差絕對值的最大值，評價撓性航天器的動態平穩性。

(3)指向精度pm,計算從100～200 s的姿態角位置誤差均方根值，評價撓性航天器的穩態性能。

(4)穩定度ps,計算從100～200 s的姿態角速度誤差均方根值，評價撓性航天器的穩定性能。

在仿真中采用兩種控制方案實現上述任務：

(2)DCARC+PPF,將DCARC姿態控制與PPF主動振動控制相結合，其中DCARC控制律參數與(1)中相同。本文僅針對附件前兩階主導模態設計多模態PPF控制器，且控制參數設為g1=0.135，Vc1=0.5，ωc1=2.6 rad/s，g2=0.188，Vc2=0.5，ωc2=19.4 rad/s。

兩種方案的仿真結果如圖3～圖6所示。圖3和圖4分別為撓性航天器中心剛體的姿態角位置和角速度誤差曲線，從圖中觀察到，DCARC姿態控制器在60 s之前就使角位置和角速度誤差均進入5×10-4°和5×10-4°/s誤差帶；而采用DCARC+PPF時，航天器機動時間縮短至45 s左右，且角位置和角速度誤差進一步減小。航天器撓性附件前兩階模態的響應曲線分別如圖5和圖6所示，采用DCARC時前兩階模態的高頻振動被激發，特別是第二階模態；而采用DCARC+PPF時，前兩階模態的高頻振動被有效抑制。綜上，本文所提的自適應魯棒主動振動控制方法可在實現撓性航天器大角度姿態快速機動高精度控制的同時，有效抑制撓性附件的振動。

(a) (b) (a) (b)圖3 姿態角位置誤差曲線 圖4 姿態角速度誤差曲線Fig.3 Angular position error Fig.4 Angular velocity error

(a) (b) (a) (b)圖5 第一階模態響應曲線 圖6 第二階模態響應曲線Fig.5 Response of the first mode Fig.6 Response of the second mode

使用兩種不同控制方案時撓性航天器系統的性能指標如表1所示。

表1 使用兩種不同控制方案時系統性能指標

由表1中數據可以看出：

對于機動時間ts，采用DCARC+PPF控制方法，撓性航天器系統可在44.83 s內完成姿態機動控制。而使用DCARC方法，則需要57.92 s。因此，DCARC+PPF方法在撓性航天器姿態機動的快速性方面更優越。

對于最大誤差em，采用DCARC+PPF控制方法時撓性航天器姿態機動過程中的最大誤差為6.40×10-3°，優于DCARC方法。因此，DCARC+PPF方法在撓性航天器姿態機動的平穩性方面表現更好。

對于指向精度pm，采用DCARC+PPF控制方法時撓性航天器姿態機動控制的指向精度達到2.55×10-8°，優于DCARC方法。因此，在撓性航天器姿態機動的穩態性能方面，DCARC+PPF方法效果更佳。

對于穩定度ps，采用DCARC+PPF控制方法時，撓性航天器姿態機動控制的穩定度可達4.42×10-11°/s，相比于DCARC方法，穩定度提高了四個數量級。因此，DCARC+PPF方法在撓性航天器姿態機動的穩定性能方面表現更優。

綜上，對于撓性航天器姿態機動控制的四個關鍵性能指標，本文所提DCARC+PPF方法均表現優越。因此，可實現撓性航天器大角度姿態快速機動，并有效抑制撓性附件的振動。

5 結 論

針對一類撓性附件粘貼有智能材料傳感器與作動器的航天器進行大角度姿態快速機動的高精度控制問題，提出了一種結合路徑規劃、基于DCARC的姿態控制與基于多模態PPF的主動振動控制技術的自適應魯棒主動振動控制方法。使用BCB型路徑規劃撓性航天器大角度姿態機動過程中的角位置，通過合適的參數選擇得到不易激起撓性附件振動的期望機動路徑。采用DCARC姿態控制器對規劃的期望路徑進行跟蹤，使撓性航天器在存在外部干擾和參數不確定下完成大角度姿態快速機動的同時，具有滿意的動態和穩態性能。由于在DCARC中使用期望路徑信息計算回歸量，可減少測量噪聲的影響，縮短在線計算時間。同時，為了進一步抑制撓性附件的高頻振動，設計了以壓電智能材料作為傳感器和作動器的多模態PPF主動振動控制器，有效提高了撓性附件的阻尼，使得航天器系統的穩定度大幅提高。仿真結果表明所提控制方法在撓性航天器大角度姿態機動的快速性、平穩性和穩態性能方面均表現優越，且對機動過程中撓性附件的振動抑制效果明顯。

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