淺談高中數學新授課例題教學的幾點思考

李世強

【摘 要】數學例題教學是數學課堂教學的必備環節，是教師教會學生學會獨立思考問題解決問題的重要過程，是授漁以學生的必要途徑，使學生深刻理解例題作用，從而高度重視教材例題示范作用。本文正是基于這樣的出發點針對教師在教學實踐中出現的某些不具有啟示作用的教學誤區提出自己的觀點。

【關鍵詞】高中數學；新授課；教學；思考

數學例題教學是最為基本和重要的解題教學，是數學課堂教學的必備環節。眾所周知，例題的作用在于“加深理解、鞏固理論和培養技能技巧等幾個方面”。要充分實現這幾個方面的作用，關鍵在于所選例題的內容，在于它的目的性。在參加外出學習和學校組織的聽課、評課等教研活動中，我們不難發現，教師們對例題教學非常重視，但具體的教學實踐仍存在這樣那樣的問題。本文試圖結合具體實例談談對新授課例題教學的幾點想法。

一、切實反映新授內容

既然是新授課，準確反映新授內容，通過例題實現對新知識的初步理解和應用自然是第一要務。然而在數學教學課堂上卻不盡然，比如在一堂課題為“計數原理”的公開課上，教師在引導學生得出分類計數原理和分步計數原理之后，設計了四道例題幫助學生加深對兩個原理的理解。最后一道例題如下：

某同學在讀書時，發現了一個數學在生物中的應用：核糖核酸（RNA）分子是在生物細胞中發現的化學成分。一個RNA分子是一個有著數百個甚至數千個位置的長鏈，長鏈中每一個位置上都由一種稱為堿基的化學成分所占據，分別用A、C、G、U表示。在一個RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現，所以在任意一個位置上的堿基與其他位置上的堿基無關。假設有一類RNA分子是有100個位置的長鏈，每個位置由A、C、G、U中的1個堿基占據，那么有多少種不同的RNA分子？

教師的初衷是好的，希望通過這樣一道與其它學科相結合的問題，展現數學的廣泛應用性特征。問題的數學本質并不復雜，但由于問題的大部分內容與剛接觸到的計數原理無關，在課堂上作為例題出示似有不妥，也許更適切的做法是作為閱讀材料留待學生課下解決。

課堂的實際情況也充分反映了這道例題的不適當。教師忙于帶著學生讀題、解題，以致占用了本應進行課堂總結的時間，未能更為明晰地揭示兩種計數原理的數學本質。

教師完全可以通過例題的恰當選取和合理運用實現對兩類計數原理本質異同的切實反映，如“人教版”高中數學教材第二冊（下A）第81頁給出的例1：

書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書。

（1）從書架上任取一本書，有多少種不同的取法？

（2）從書架的第1、2、3層各取一本書，有多少種不同的取法？

第（1）問是一步可以完成的問題，應用分類計數原理解決；第（2）問是需要多步才能完成的問題（此步需要3步），應用分步計數原理解決。教師的任務即是通過情境并不復雜的問題使學生明確分類計數原理和分步計數原理的本質與應用。這個例題可以較好地承擔辨析兩類原理模型本質的任務，無需教師苦心孤詣地另外尋找吸引眼球的題目。

二、注意體現題目的層次性

新授課例題教學除了緊密切合新授課教材內容外，還要發揮承前啟后的作用，注意體現題目的梯度和層次性，使得學生思考解決例題的過程既涉及到對已有相關新知識的復習回顧，又進一步指出下一步學習的方向。

比如，對于高中“任意角的三角函數”的教學，由于學生在初中已接觸過銳角三角函數的定義，在面臨任意角三角函數的學習時，就可能產生如下幾個認知障礙：（1）角的范圍由銳角擴大到任意角；（2）研究方法發生變化，高中要利用坐標的比例建立關于任意角三角函數的解析定義；（3）研究方法的變化帶來定義當中對應法則的變化，初中學習的三角函數定義利用的是在三角形中邊的比值，而高中需要利用坐標的比例建立角的集合和實數集之間的一一對應關系。這些認知障礙如果不能得到有效解決，會長期困惑學生對任意角三角函數的學習和應用。如何解決？直接告訴學生這些明確的結論顯然不是有效的方法，只能通過對某些具體例子的研究使得學生感受在三角函數由銳角擴展到任意角過程中發生的變化。

“人教版”教材中提供了一個可資為用的例子：已知角α的終邊經過點（-3，-4），求角α的正弦、余弦和正切值。如果教師在課堂上能夠有效利用這個例子，它完全能起到前述梯度和層次性的要求，起到幫助學生解除認知障礙的作用。對于這個問題，在新授課進行之初，教師就可以將題目中的角α限定為第一象限內的經過點（3，4）的銳角，指導學生利用初中三角函數的定義加以解決。這既是對初中相關內容的復習，又為下一步提出新的需要建立新定義才可以解決的問題埋下了伏筆。這一環節進行之后，教師再將“經過點（3，4）”改為“經過點（-3，-4）”并不限制到底是哪一象限內的角，再詢問學生如何解決。這個時候，教材上例題的價值就得以更充分地體現。學生也會覺得此時應該學習“任意角的三角函數”，而不是被動地接受教師塞給自己的“任意角三角函數”，學習的興趣和主動性都得到了較大程度的提升。

三、努力為學生提供“內部的幫助”

所謂“內部的幫助”是指解題者熱切關心自己面臨的問題并依靠自身所熟悉方法解出問題的力量。反之，與方法極少關聯的幫助稱之為外部的幫助。

外部的幫助只對學生解決當前的問題，只是在解決當前問題的時候能夠發揮作用，這種“作用”往往很難遷移到新的問題情境之中，甚至出現這種情況：一段時間后，面對同樣的問題，學生可能忘記之前教師提供的“外部幫助”，仍然不知道怎么解題。

內部的幫助則不同，在具備了了解決問題的相關知識基礎的前提下，它指引著解決問題的方向，提出了解決問題的一般化方法，并將問題化難為易、化繁為簡。通過一個個的方法或建議，問題的整個解決過程被分解為達成一個個階段性目標的過程。整個過程不僅解決了當前的一個問題，而且提供了解決一大類問題的可操作性的方法與策略。

如何判斷教師給予學生的幫助是“內部的”還是“外部的”？怎樣為學生提供“內部的幫助”呢？最簡潔的判斷標準即是考察教師提供給學生的是什么。是學生能夠獨立想到并遷移到某一類問題上的提問和建議，還是非常具體的照著做的行動步驟或者可供簡單套用的原理與結論。如果是前者，教師就是在提供有教益的“內部的幫助”。endprint