數學專業復變函數教學方法探討

劉聲

【摘要】針對數學專業復變函數課程教學，對復變函數教學中存在的一些問題進行了分析，結合具體知識點和例題，從引導學生自學、抓住本質、結合應用等角度對復變函數課程教學的方法進行了討論.

【關鍵詞】復變函數；引導式教學；教學方法

復變函數是數學專業學生的專業必修課，也是分析方向的主干課程，可以看成是對數學分析內容的推廣與擴展.復變函數除了在數學課程中有較多的應用外，在其他學科，如信號處理、電磁學、電學等學科中也有著廣泛的應用.廣大數學教育工作者們對復變函數教學方法的探討一直都沒有停止過，很多有效的教學方法被學者們提出.其中包括對比教學法[1-3]、幾何教學法[2]、案例教學法[3]以及轉化和反例教學法[4]等.這些方法對提高復變函數教學效果具有較高的參考價值.

本文首先對復變函數教學中存在的一些問題進行分析，然后結合具體知識點和例題探討幾種針對數學專業學生復變函數教學的方法.

一、數學專業復變函數課程的問題分析

目前，在一些高校，尤其是一些獨立院校或者地方二本院校中，在數學專業的復變函數教學中存在一些問題.

第一，課時較少，內容較多.許多高校復變函數的周課時為3.內容包括復變函數、解析函數、復變函數的積分、解析函數的冪級數、留數定理等.對于基礎稍差的獨立院校或者地方二本院校，課時確實較少.

第二，對復變函數的應用涉及較少.事實上復變函數在其他很多學科里都有比較重要的應用.而由于多數數學老師對其他學科了解較少，所以提及較少.

二、數學專業復變函數課程教學法探討

（一）以學生自學為主的引導式教學

在文獻[1-3]中，作者們都提到了類比教學，主要是因為復變函數里很多的結論，如，復變函數的極限、連續、可微、解析函數的冪級數等都是數學分析里結論的推廣.所以，對于這些內容，我們可以通過引導的方式提前讓學生自學，然后讓學生自己講.例如，在教材[5]中，第四章的前兩節內容基本上是數學分析內容的直接推廣，只有兩個定理涉及到了解析函數，所以這部分內容完全可以讓學生課前自學.然后讓學生自己來講解這兩個定理，其他學生對其證明講解過程進行提問，教師再做最后點評.這樣不但可以提高學生的自學能力，還可以把更多的時間留給一些較難內容的講解.

（二）抓住本質避免學生走向誤區

復變函數與數學分析相比，一個大的不同點就是有多值函數的出現.而對于多值函數的單值解析分支、支點、支割線是復變函數的一個難點.所以對這部分內容的教學，需要抓住本質，避免學生走向誤區.下面以一道題為例來說明這個問題.

例[5]求f（z）=3z（1-z）在平面適當割開后可以分解成三個單值得解析分支，求出z=2取負值的那一支z=i的取值.

很多學生可能會參考公式

f（z）k=|3z|earg（z）+2kπ3，k=0，1，2，（1）

來求解此題.先設

f（z）k=|3z（1-z）|earg[z（1-z）]+2kπ3，（2）

然后將z=2代入到f（z）=3z（1-z），將arg（z（1-z））看成是z（1-z）的輻角主值求出使z=2取負值的k.然后將z=i代入到f（z）k，便可求出z=i的取值.

這樣的解法看似沒有任何問題，但事實上是有問題的.主要原因是學生沒有抓住解析分支的本質.因為arg（z（1-z））表示的并不一定是z（1-z）的輻角主值，它只能表示在以一個定點為參考而確定的連續變化的幅角.因此，這個值我們需要通過z=2繞到z=i，z，（1-z）輻角的改變量來確定的.

如果將f（z）=3z（1-z）換成f（z）=z，用公式（2）解題是比較方便的，尤其是當平面被負實軸割破時，arg（z）可表示輻角主值.

而這個題比較理想的求解方法就是教材[5]中利用輻角改變量求解的方法.如果用公式（2）在確定arg（z（1-z））的時候是比較麻煩的.因此，抓住單值解析分支的本質，才不會出現上述的錯誤.

（三）結合復變函數的應用，提高學生的學習興趣

在對數學專業學生講授復變函數的過程中，如果能夠介紹一些復變函數在其他學科中的應用，可以讓學生對復變函數的應用有更多的理解，也能激發他們的學習興趣.

例如，在介紹復數的三角形式的時候，可以介紹在信號處理里面，為了方便處理，也引入了復信號的概念，在電磁學中，有時電磁波也可表示成復數的形式.讓學生了解，復數的出現不只是為了處理負數在實數里不能開平方的問題.在講解留數定理應用的時候，我們可以介紹某些積分在對信號進行傅里葉變換時有比較重要的作用.例如，在留數定理的應用中有個重要積分∫+∞0e-ax2cosbxdx，a>0在計算某些信號的傅里葉變換時就需要用到.

三、總結

本文介紹了數學專業復變函數教學存在的兩個問題，并且通過具體的例題或者知識點，從引導學生自學、抓住本質、結合應用等方面對復變函數的教學進行了探討.旨在為復變函數的教學提供一些參考.

【參考文獻】

[1]楊祺，曹月波，王娜.對比教學法在復變函數教學中的應用[J].蘭州文理學院學報（自然科學版），2014（1）：106-110.

[2]張國威.高校復變函數論教學法的探討[J].安陽師范學院學報，2014（2）：123-124.

[3]王光偉，許書云，郭穎，等.案例教學法在復變函數教學中的運用[J].數學學習與研究，2016（7）：88.

[4]劉顯全.復變函數教學法探討[J].大學數學，2012（2）：155-158.

[5]鐘玉泉.復變函數論：第4版[M].北京：高等教育出版社，2013.endprint