基于核心素養視角的數學測評研究

何萍 章才岔

[摘? 要] 對核心素養的研究應落實到數學學習評價領域，本文以2017年溫州中考試題為例，進行基于核心素養的數學測評研究，探究數學核心素養的教學與評價，并給出建議.

[關鍵詞] 數學核心素養;數學測評;四基

問題提出

數學核心素養蘊含在知識的發生、發展和應用過程中，又超越具體的知識和技能. 《義務教育數學課程標準》（2011版）（以下簡稱《課標》）提出的10個核心概念對應著普通高中數學課程標準六大數學核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析. 2014年3月，中國教育部《關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》中指出，落實立德樹人首要環節是明確研究制定學生發展核心素養體系和學業質量標準，明確學生完成不同學段、不同年級、不同學科學習內容后應該達到的程度要求. 這一要求直指需要擴展視野，將對核心素養的研究落實到數學學習評價領域.

浙江省教育廳教研室頒發《2017年浙江省初中畢業升學考試說明·數學》明確中考命題指導思想：嚴格遵循《課標》重視對“四基”的考查，注重通性通法;適當考查應用意識和用數學觀點分析、解決問題的能力，適當考查在具體情境中從數學角度發現和提出問題的能力;重視對學習過程的評價，設計有層次的問題考查學生的不同水平，考查通過合情推理探索數學結論、運用演繹推理證明結論的能力等. 以2017年溫州中考試題為例，進行基于核心素養的數學測評研究，探究數學核心素養教學與評價.

對試卷結構與數學核心素養的

考查

1. 試卷整體結構

2017 年溫州市初中數學畢業升學考試試題結構合理，知識覆蓋面廣，重點突出，難易比例適當. 試卷在保持溫州原有中考風格的基礎上，設計了更能體現新課程理念、更為靈活的試題. 在考查學生對核心知識理解、掌握程度的同時，進一步考查學生將知識遷移到類似情境的能力，從而檢測學生已有的和潛在的后續學習能力，體現考基礎、考能力、考素質的學業評價目標測試. 對促進《課標》課程目標的落實、教師教學理念的轉變、教師教學行為的改善、學生學習方式的創新、銜接高中學習具有積極的導向作用.

2017年溫州中考試題滿分150分，考試時間120分鐘，共設置24題. 其中客觀題16個，共70分，主觀題8個，共80分. 整套試題閱讀量較大，圖文并茂，難度嚴格按照學業考試說明的7 ∶ 2 ∶ 1的要求進行編制，著重考查了基礎知識和學生解決實際問題的能力. 同時，該卷對學生探究能力、邏輯推理能力的考查做了很好的嘗試.

2. 數學核心素養的考查

該套試題充分考查數學素養和數學能力，將“四基”“四能”融為一體，結合數學思想、數學思維能力與數學核心素養等方面的要求設計了多樣、靈活的設問形式，全面檢測考生的數學知識和遷移運用能力，尤其是客觀題第10題、第16題和主觀試題對數學核心素養考查突出. 主要試題的內容領域、“四基”指向和考查的核心素養見表1.

典型試題分析

根據喻平的核心素養評價框架，把6個核心素養劃分為3個水平，如表2.

下面選擇典型考題對數學核心素養的考查進行解讀. 由于數學核心素養是綜合地體現在每一個問題中，一個題目很難獨立考查某個數學核心素養，這里關注試題中較為側重的數學核心素養并進行討論.

1. 數學抽象素養的考查

第8題：我們知道方程x²+2x-3=0的解是x₁=1，x₂=-3，現給出另一個方程（2x+3）²+2（2x+3）-3=0，它的解是（）

A.x₁=1，x₂=3? ? ? ? ? ? ? ?B. x₁=1，x₂=-3

C.x₁=-1，x₂=3? ? ? ? ? ? ?D. x₁=-1，x₂=-3

數學素養考查方式分析：數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的素養. 題目以方程為背景，通過抽象、概括認識兩條方程的本質及聯系，考查整體思想，考查一元二次方程的概念、方程的解等知識. 本題考查數學抽象水平A₂，同時考查數學運算水平C₁ .

學生作答分析：數學抽象能力薄弱的學生，需要將第二條方程先化簡再求值，容易造成計算錯誤，且浪費時間.

2. 邏輯推理素養的考查

第21題：如圖1，在△ ABC 中， AC=BC ，∠ ACB =90°，⊙O（圓心O在△ABC內部）經過B ，C兩點，交AB于點E，過點E作⊙O的切線交AC于點F，延長CO交AB于點G，作ED∥AC交CG于點D. （1）求證：四邊形CDEF是平行四邊形;（2）若BC =3，tan∠DEF=2，求BG的值.

數學素養考查方式分析：邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據邏輯規則推出一個命題的思維過程. 本題改編自八年級下冊教材作業題，考查圓的性質、直線與圓相切、平行四邊形的判定、銳角三角函數、等腰直角三角形的性質等，反映演繹推理與合情推理的關系，試題結合邏輯推理和數學運算考查，學生需要對圖形進行分解、提煉、聯想、重構，有效解決問題. 考查邏輯推理水平R₂.

學生作答分析：邏輯推理素養弱的學生表現為找不到輔助線的添法，說明由條件與基本圖形性質推理相關結論的能力、聯想相關知識作輔助線構造出相關的“基本圖形”的合情推理能力、問題分析的推理能力都有待提高.

數學運算薄弱的學生會出現勾股定理應用錯誤，或三角函數計算錯誤等.

3. 數學建模素養的考查

第16題：小明家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭（如圖2）. 完全開啟后，水流路線呈拋物線，把手端點 A 、出水口 B 和落水點 C 恰好在同一直線上，點 A 到出水管 BD 的距離為12 cm，洗手盆及水龍頭的相關數據如圖 3 所示，現用高 10.2 cm 的圓柱形水杯去接水，若水流所在拋物線經過點 D 和杯子上底面中心 E ，則點 E到洗手盆內側的距離 EH為______cm.

數學素養考查方式分析：數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的過程. 本題數學建模體現在將生活實例抽象成數學圖形，從圖形與圖形關系、數量與數量關系中建立數學模型，考查二次函數、方程、直角三角形、平行線、三角函數等知識. 考查數學建模M₃，同時考查數學抽象A₂、邏輯推理R₂、數學運算C₂.

學生作答分析：學生缺少建模經驗，首先表現為自然語言無法抽象為圖形語言，建模出現困難，具體步驟不知如何實施，從圖形信息中找不到解題切入點. 其他常見的錯誤還有：坐標系位置建立不妥當，用近似數求解，審題不仔細，只求得點 E 到水管的距離，計算素養表現不強. 在數學建模核心素養的形成過程中，需要加強積累運用數學知識求解、驗證、完善模型的經驗. 數學建模往往伴隨著數學抽象，所以也要重視數學抽象核心素養的形成，積累從具體到抽象的活動經驗.

4. 直觀想象素養的考查

數學素養考查方式分析：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程. 該題屬于動態探究綜合題，考查了三角形、圓、方程、三角函數、對稱性等初中數學核心知識，蘊含著方程思想、分類討論思想、轉化思想、對稱變換思想等重要的數學思想方法. 通過動點 P 的位置變化，帶動圓及整個圖形的相對運動，運動中隱含著不變性，巧妙地將圓與三角形有機結合在一起，同時又通過引入另一動點 Q，增加了題目的探究性. 在整個變化過程中更巧妙之處在于始終有AB等于AC，MD平行AP，而學生在解題的全過程中需抓住變化過程中的不變關系. 考查直觀想象水平I₃，還考查邏輯推理R₃、數學運算C₃等數學素養.

學生作答分析：直觀想象素養較強的學生能根據文字條件描述畫出運動變化中的圖形，找到變化中的不變性質，從而找到解決此題的突破口. 這既是解決動態幾何問題的核心，也是函數研究的主要性質. 而此素養較弱的學生會將此圖看成靜態圖形，難以在具體情境和圖形之間進行轉化，從而造成思維障礙. 具體表現為不會畫圖（即失去了直觀的工具），分類遺漏，幾何圖形性質選擇不恰當致使推理錯誤. 學生綜合運用數學知識的能力有待提高，直觀想象、邏輯推理、運算素養現狀不盡人意.

5. 數學運算素養的考查

數學素養考查方式分析：數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的過程. 本題模型來自八年級下冊第5章的作業題，輔以坐標系和二次函數為背景，將一次函數與平行線、三角形有機結合在一起，考查了二次函數的相關性質、軸對稱變換、三角形三邊關系、一次函數表達式等知識，體現了對數學運算素養、直觀想象、邏輯推理素養的綜合考查. 考查數學運算水平C₂.

在解決BD最小值時，確定D點位置錯誤：認為BD⊥CD，認為CD=BD，認為D是OB中點，認為當四邊形CPOD是正方形時，BD為最小值，認為D落在（8，0）時BD有最小值，這些錯誤均反映出學生的直觀想象素養和邏輯推理素養有待提高.

6. 數據分析素養的考查

第 19 題：為培養學生數學學習興趣，某校七年級準備開設“神奇魔方”“魅力數獨”“數學故事”“趣題巧解”四門選修課（每位學生必須且只選其中一門）. （1）學校對七年級部分學生進行選課調查，得到如圖6所示的統計圖. 根據該統計圖，請估計該校七年級 480名學生選“數學故事”的人數;（2）學校將選“數學故事”的學生分成人數相等的A ，B ，C三個班，小聰、小慧都選擇了“數學故事”，已知小聰不在 A 班，求他和小慧被分到同一個班的概率. （要求列表或畫樹狀圖）

數學素養考查方式分析：數據分析是指針對研究對象獲得相關數據，運用統計方法對數據中的有用信息進行分析和推斷，形成知識的過程. 主要包括：收集數據，整理數據，提取信息，構建模型對信息進行分析、推斷，獲得結論. 本題以學生身邊的選課問題為背景設計問題，綜合了平均數、概率等基本知識，通過對選課的調查，讓學生估計總體的情況，體現了運用數據觀念分析解決實際問題的命題意圖. 考生要認真閱讀題目，在理解題意的基礎上通過計算平均數，用樣本平均數估計總體平均數，通過列表或畫樹狀圖求得答案. 考查數據分析水平D₂.

結論與建議

根據上述研究，得到以下結論：（1）加強核心知識與數學核心素養的考查是中考命題的主導方向;（2）創新情境下的知識遷移運用能力的考查，是數學核心素養評價的必要途徑;（3）邏輯推理和數學運算是問題解決的必備技能，落實在數學核心素養發展的過程中;（4）直觀想象是數學核心素養的重要表現，要在數學思維活動的過程中有意識地進行滲透和培養.

為數學核心素養教學與評價現狀提供如下建議：（1）研讀《標準》和《說明》，重視和加強四基教學;（2）注重以生為本，立足能力培養和素養提升;（3）加強“過程性”教學，關注知識發生發展的過程;（4）理解數學，重視數學思想方法的歸納、總結和運用;（5）開展基于核心素養的命題研究，實現甄別性評價向發展性評價的轉變.