把握問題關聯，銜接拓展促解

楊振

[摘? 要] 銜接生長性幾何題是近幾年中考的常見題型，問題設置具有層次性、遞進性和銜接性. 由于問題的條件、結論存在緊密的關聯，所以求解時需要充分利用問題的關聯性進行思維的遞進思考. 本文結合中考題對生長性幾何問題進行深度剖析，并開展解后反思，提出相應的教學建議，與讀者交流、探討.

[關鍵詞] 幾何;正方形;生長;銜接

真題解析，解法點評

考題1 （2017年安徽中考）已知一正方形ABCD，邊AB的中點為M.

（1）如圖1，點G為線段CM上一點，且∠AGB=90°，連接AG，BG，并延長，分別交邊BC，CD于點E和點F.

①試證明：BE=CF;

②試證明：BE²=BC·CE.

（2）如圖2，在邊BC上取一點E，使其滿足條件BE2=BC·CE，連接AE，交CM于點G，再連接BG并延長后交CD于點F，試求tan∠CBF的值.

分析 （1）①要證BE=CF，可以將其放在Rt△ABE和Rt△BCF中，通過證明三角形全等來獲得. ②由于涉及邊之間的乘積關系，所以可嘗試通過三角形相似以及等角代換來證明，即先證明△CEG與△CGB相似，根據相似性質得CG²=CE·CB，然后結合CG=BE完成證明.

點評? 本題為涉及正方形的幾何綜合題，主要考查正方形的性質，全等三角形，相似三角形的判定與性質，以及黃金分割點等知識. 本題有兩個小問，兩者之間有著緊密的聯系. 第（2）問是對第（1）問的拓展生長，即后一問的條件是在前一問結論上的變式拓展，問題設計具有鮮明的層次性和遞進性. 在問題的求解過程中，均是基于不同的條件進行問題轉化，將待求結論放在基礎圖形中利用三角形全等或相似的性質來求解，尤其是第（2）問，巧妙地將第（1）問線段的等量關系轉化為數學上的黃金分割點，利用其線段的比例關系實現三角形正切的求值. 對于中考具有拔高生長性的問題，在求解后一問時需要充分利用前一問結論和解題思路的啟示作用，基于問題情境進行轉化，實現問題條件的銜接性思考，對待求結論進行拓展性分析.

考題銜接，題型再析

近幾年中考幾何綜合題特別注重設問的層次性和遞進性，初始問題起點較低，平淡中蘊含幾何規律，之后的問題是對前者的銜接與拓展，可利用前一問題的結論逐步引導學生進行思維的深層探索，充分挖掘結論的一般性. 題型的設置呈現“低起點，高產出”的特點，下面筆者對同類型的幾何綜合題進行深度剖析.

考題2? （2015年四川甘孜、阿壩中考）現有一正方形ABCD，點E，F分別位于正方形的邊BC，CD上，且AF與DE相交于點G，當點E，F分別為邊BC，CD的中點時，有：①AF=DE;②AF⊥DE成立. 試探究下列問題：

（1）如圖4，如果點E不為BC的中點，點F不為CD的中點，且CE=DF，試探究上述結論①②是否依然成立，并說明理由.

（2）如圖5，如果點E，F分別在CB，DC的延長線上，且CE=DF，試判斷上述結論①②是否依然成立. 如果成立，請寫出具體的證明過程;如果不成立，請說明理由.

（3）如圖6，在（2）成立的基礎上，連接AE和EF，如果點M，N，P，Q分別為AE，EF，FD，AD的中點，試判斷四邊形MNPQ是“矩形”“菱形”“正方形”中的哪一種，并證明結論.

分析 （1）證明結論①②，可以將其放在三角形中，通過證明三角形全等來獲得證明條件，如證明△ADF≌△DCE. 利用全等性質可得AF=DE，∠DAF=∠CDE，通過角度的代換可得∠ADG+∠DAF=90°，從而∠AGD=90°，于是AF⊥DE.

（2）同（1）的證明思路和步驟一樣，此處不贅述.

評析 本題的設問采用“移步換景”的變換方式，對結論的探究從特殊到一般逐層遞進，最終利用所證結論求證了后者的拓展性問題. 與考題1所不同的是，設問關系存在差異，考題1的設問主要是對條件與結論的轉化，而考題2的設問則是對一般規律的逐步探索，以“求證—應用”的模式完成題型設置，總體來說均是對銜接、生長性問題設計的充分體現.

解后之思，教學之思

1. 學習銜接問題，提升解題思維

上述所解析的兩道幾何綜合題均是銜接生長性的典型題，具有低起點、高產出的鮮明特點，問題的設置層層遞進、環環相扣，逐步引導學生進行深層次的思維活動. 每一問的條件、結論、解題策略均不是獨立存在的，對于后面的問題探索均有重要的啟示作用. 該類題型的設計是對復雜問題的簡化變形，其不僅可以充分調動學生的知識經驗，還對學生的思維有一定的引導作用. 在實際教學中，教師可以合理地編排練習題，引導學生對問題的結論和條件進行變式、拓展，以提升學生思維的開放性、連續性和遞進性，從而形成獨立的解題思維.

2. 掌握基礎知識，系統歸納整理

幾何綜合題一般來說涉及的知識點多、圖形復雜、問題抽象，求解過程需要不斷地對問題進行轉化、變形，逐步建立起條件與結論之間的聯系. 但無論問題的復雜程度如何，最終都需要利用幾何基本性質和定理來求解. 以上述考題為例，解題過程涉及正方形的性質、全等三角形和相似三角形的性質及判定、三角形中線、三角函數等知識，因此基礎知識的掌握程度直接影響著學生的解題效率. 教學中，我們要立足教材基礎內容，引導學生掌握最基本的知識、技能、思想，并對基礎知識進行系統整理，提升知識運用的靈活度.

3. 解讀概念定義，提煉基本圖形

圖形幾何作為初中數學的重要內容，中考基于該內容主要考查學生的思維能力和推理能力，尤其體現在具有銜接生長性的問題之中. 對該類問題的求解離不開對問題信息條件的整合、轉化，以及對復合圖形的提煉、分離. 對圖形語言的表達、理解，以及對基本圖形的提煉，都將影響解題思路的探索過程. 因此，在教學中，教師有必要對教材的概念、定理進行語言符號的相互轉化，以幫助學生深度理解其本質內涵，同時需要結合直觀的基本圖形對公式、定理進行釋義、解讀，以促進學生對圖形特征和性質的理解，從而有效提升學生提煉基本圖形的能力.

結束語

具有銜接、生長性的幾何綜合題在問題設計上具有緊密的關聯性，該類題不僅對學生的解題思路具有一定的引導作用，對學生的解題思維也具有拓展作用. 求解時，需要緊密把握問題之間的關聯信息，有效利用已有條件、結論和思路進行思維深層拓展. 教學中，需要教師立足教材內容，扎實學生基礎;開展概念、定義的語言互化，結合基本圖形加深學生對公式、定理的理解，提升學生基本圖形的提煉能力;適當地對習題進行變式、拓展，使學生形成獨立的解題思維. 總之，初中教學是知識內容與推理思維的雙重活動，結合考題進行實踐教學可以提升教學的實效性.