尋根問“源”，多管齊下

王佳珍

摘 要 本文針對初中學生解決函數“動點問題”的困難原因及對策予以分析，結合現在數學教學發展的現狀，從相關理念介紹、“動點問題”需求、“動點問題”教學等方案進行深入研究與探索，目的在于能更好的推動函數“動點問題”教學的發展與進步。

關鍵詞 初中學生；函數知識；“動點問題”；解決措施

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）16-0208-05

初中生需要解決的動點問題不僅是初中數學中某一章節的內容，也是初中學習期間所有數學知識的集成與結合，并在考試中占有較大的分數比重。也正是在其綜合特性影響下致使學生在解答“動點問題”期間經常感到無從下手，在實際教學期間也缺少針對性教學方法與模式的教學內容。所以，在對“動點問題”教學期間，應對學生解答問題時具有的難點與其形成原因進行深入分析，結合學習需求制定完善的教學方法。在提高數學教師教學效率的同時，也可促進學生成績的提高，在一定程度上對提高學生問題解決與分析能力也有著極為重要的作用。

一、相關理念介紹

（一）解題困難

所謂解題困難主要為初中生在對數學問題解答期間出現的停頓現象，不能繼續對問題進行解答。同時這種問題地主要特點通常為教師在對問題講解期間，許多學生都可較好地了解，但再次出現這一類問題時，許多學生仍然不會對其進行解答，尤其是同種問題的條件與類型等在發生改變時，學生則不能較好地捋順解題思路。其中原因有兩方面：一方面為教學，而教學又可分為備課、課堂教學以及課后輔導三種形式組成。備課主要是核心教學材料，若教師在備課期間不能對各種類別以及學生進行科學備課，則易導致學生在課堂中因缺乏趣味性而降低其學習積極性。課堂教學期間不能良好地激發學生學習興趣，各種課程結構較為單一，對學生知識結構的形成較為輕視，通常是以上課為目的進行教學，不能在整體上控制對數學各知識間的關聯與滲透。課后輔導教學也缺乏合理性，不能在第一時間對一些學生沒有掌握的知識進行強化，同時一些教師對于課后輔導教學的重視程度也相對較弱。另一方面為學情，可將學生的學習分為厭惡與喜歡兩種，同時這兩種學生都有著解題困難現象，其形成的主要原因通常為數學基礎知識掌握相對較弱以及把各知識間的內在關系聯系起來。

（二）“動點問題”

相關專業研究人員通過初中教學實踐以及各方面數據信息的收集，通常將“動點問題”歸納為：問題題目中具有一個以及多個動點，其主要在折線、直線以及拋物線上等進行勻速運行的，需要對掌握數學知識進行靈活運行的開放性問題。

（三）解決函數“動點問題”困難

由于對數學基礎知識掌握質量較弱、閱讀理解能力較為缺失、數學知識綜合運用水平較差、對“動點問題”產生的心理陰影與恐懼以及實際數學教學效率較弱等因素，導致一些初中生不能較好地對“動點問題”進行解答，這就是解決函數“動點問題”困難的主要含義。

二、對于函數“動點問題”困難原因的分析

（一）調查研究目的

在實際研究調查期間，主要對問卷檢測方法進行使用，其中對縣級、市級以及農村地區各層次學生對于初中數學函數知識掌握情況進行了解與掌握，其主要目的在于真正發現基礎函數知識對于動點問題產生的各種影響。

（二）調查目標

在本次調查期間，參與口語報告檢測的學生共有45名，其中學習質量相對較好、學習質量中等、學困生各15名。

（三）調查題目

在選擇調查題目過程中，所有數學研究組教師結合實際需求與狀況，并在不斷調整。經過修改、斟酌，具有了較強的信度與效度。其中共設27道題，由選擇、填空以及簡答三類題型組成，對一次函數、二次函數以及反比例函數知識有著較為全面的考核，其中檢測時間為60分鐘。

（四）調查流程

對于參加檢測的15名學生均在同一時間進行實驗檢測。其中檢測主要分為三次，其中檢測檢地點主要結合實際情況在三所學校中完成。

（五）教師因素

通過上述科學調查的數據信息可發現，教師在學生解決函數動點問題期間通常具有七方面問題：其一，在課堂教學前雖然教師有著相應的備課，但其準備效率較為缺失，只是以題為核心分析問題。其二，受客觀因素影響，教師甚少使用多媒體對動點問題進行教學。其三，在教學期間雖給予學生相應的基礎知識復習時間，但對于函數動點問題缺乏較為完善與具體的教學方案。其四，函數動點問題講解期間，沒有結合實際需求運用完善的教學模式，沒有較好地提高學生解決函數動點問題的積極性。其五，在函數動點問題講解期間，許多教師通過對講授教學方法進行使用，沒有充分符合新課改相關需求，缺少高效的數學教學模式。其六，為了讓學生更好地了解函數動點問題含義，教師通常會讓學生多次閱讀問題，致使缺少較為固定的模式以及可行性方法對這種問題進行解決。其七，對于學生做過的動點問題教師缺乏相應的重視程度。

（六）學生因素

從學生學情分析，產生困難原因通常為三方面：首先，對題意的理解程度有著較大的差異。學習質量較好的學生可在短時間內對題意進行了解，同時可較為快速地對題干中具有重要意義的已知條件在圖像中進行標注。中等學生雖也可較好地了解題意，但理解時間相對較長，由于一些中等生對題意缺乏深刻的理解，對動點問題就會產生吃力感。學習質量較差的學生則不能較好地理解及對問題進行解決。其次，對函數關系式的建立有著較大的不同。一些學習質量相對較高學生可對問題中給予的已知量快速明確需要的函數知識，抓住問題的入手點并對其進行解決。中等學生在建立函數關系式時，常需在圖中尋找相應的關系，這并不是對函數動點問題的好的解決方法，若不能較好地發現問題中存在怎樣的函數關系，則會使學生逐漸失去相應的解題思路與自信心。學習質量較差學生在理解題意的同時會做，但解答質量與效率相對較差，一些學生甚至不能充分理解題意。最后，解答函數最值問題期間缺少較為良好的思路。學習質量較高學生在對最值問題解答期間，通常根據式子以及圖形對問題進行解答，中等生通常通過明確圖像上的點與特殊點位置等對函數最值進行明確，其中問題不能得到相應的解答，使用代數方法對函數最值進行求解較為簡單，也證明了中等生缺少相應的解題思路與解題方法。學習較弱學生則對函數最值計算有較大困難。

三、函數“動點問題”教學對學生的需求

初中函數動點問題往往是將整個初中數學的所有函數知識，與動點問題進行融合，主要對學生的綜合素質進行檢測與考察，通常為學生綜合使用數學知識解決問題能力、閱讀理解水平、數學思維的形成狀況等，想要較好地對函數“動點問題”進行解決具有較強的難度，在解題期間學生經常遇到較多的困難與阻礙，以其解題困難因素為基礎，結合實際教學需求與學生解題情況，可明確相應的需求：

（一）函數動點問題分類

在實際調查分析研究期間可以發現，各區域與各層次調查學生具有的困難具有較大差距，在遇到問題時學生不知道使用怎樣的方法與思路對問題進行分析與思考，若根據實際需求對動點問題進行分類與總結，可使學生在問題解答期間具有較為良好的思路。其中函數動點問題可分為三種類型分別為：與反比例函數結合、與一次函數結合以及與二次函數結合，其中與各種函數知識進行結合都可在題干與圖中發現相應的信息。同時，也需要學生對函數的表達式、圖形以及性質等具有較為良好的了解與掌握。

（二）將圖中信息標注于圖上

在這一環節過程中，需要學生較為快速對各種數據信息進行分析與處理，尤其是較為淺顯的信息應在圖上進行快速標記，還有一些信息則需要學生通過題干中的未知量以及相應的坐標信息等對線段的長度距離進行表示，還需要學生較好地對距離與坐標之間的內在聯系有著良好的掌握。

（三）尋找變量與不變量，用變量引起變量

在明確問題中的變量與不變量后，還應主要使用未知量對圖中線段進行表示，同時還可對利用已知形成的結論與可使用的數學知識形成良好的知識鏈。如與線段平行知識具有聯系時，不僅可較好地了解內錯角、同位角以及同旁內角互補等信息，還能較好地明確平行線分線段成比例，相似三角形等信息，因此我們應重視知識之間的關聯。

（四）運用已學知識建立函數關系式

在解答問題時，列出正確的函數關系式尤其重要。同時學生可能使用的數學知識通常為幾何圖形面積公式、勾股定理以及相似三角形等，應在實際問題解答期間結合各種數學知識背景對問題進行解答。如用勾股定理對函數表達式進行求解時，圖中一定存在直角三角形或通過添輔助線，可以形成直角三角形。在使用相似三角形知識時，問題中通常具有平行線段以及角度相同的角。通常情況下很少直接有利用圖形面積公式對函數關系式進行明確，通常需要結合實際需求進行相應的割補。

四、“動點問題”的教學對老師的需求

（一）教師應強化學生基礎知識掌握情況

在實際調查與初中數學基礎知識檢測過程中，學生對于函數動點問題解決困難的主要原因通常為學生數學基礎掌握情況相對較弱。數學基礎的掌握情況對其問題解決，解題思路的形成具有極為直接的影響，尤其是在對動點問題解答期間，學生對于初中數學教學中各函數知識掌握質量相對較弱時，則會導致其解答函數動點問題過程中極為迷茫，沒有清晰的解題思路。對函數進行分析與研究期間通常有著相應的規律，初中期間所有的函數知識都是利用問題的情境與氛圍讓學生對于函數表達式的形式進行了解與掌握，在利用表達式進行相應的列表與描點，并以此為基礎了解函數圖像，然后再對函數圖像性質進行研究，結合實際需求將其逐漸提升到實際運用層面，也就是函數知識的實際運行。了解圖像中點的坐標與函數表達式間的聯系，充分了解圖像上點的坐標滿足的函數關系式，即符合函數關系式的點在函數圖中。學生對于初中階段函數基礎知識、理論、定義以及實際推導流程等應充分了解與掌握。教師在對學生進行日常訓練期間應使其可舉一反三，科學使用知識點，才可進一步強化知識掌握情況。

（二）學生應消除對動點問題的恐懼

通常情況下函數動點問題題目較長，題意也較為復雜，使學生逐漸形成相應的恐懼感。也就是學生在剛剛面對函數動點問題時，在心理上對自身進行了相應的否定。在長時間的影響下每當其遇到函數動點問題時，心理上會認為這一類問題難度相對較高，自己不能對其進行解決。針對學生的這種現狀，教師應在學生剛剛接觸到動點問題期間，結合實際教學需求與學生知識掌握情況制定完善的教學計劃，實施專題訓練，從低到高、從淺至深對各種問題類型進行總結，對合理的教學模式進行運用，培養學生函數動點問題解題積極性的形成，并在其問題解答期間形成相應的征服感。

（三）強化學生閱讀能力與信息處理能力

在中等生與學困生中，對于閱讀能力與信息處理能力的強化與提升有著較為重要的作用。在對數據信息處理期間，初中數學教師應讓學生結合實際需求將函數動點問題中所有的已知條件在函數圖像中進行標注，避免反復閱讀對時間的浪費。在函數圖像上對所有問題提供的已知條件標注后，再根據自身對數學知識的了解將所有題目中隱藏的數據信息進行深入的挖掘與研究，同時對各已知條件可推導至的結論應在腦海中形成相應的印象。例如：在某一函數動點問題中“過點A作BC//DF交于Y點”這句話的重中之重是“平行（//）”一詞，在于平行知識具有關聯時，學生可自主聯想到已學知識以及相關知識的聯系，其中分線段成比例也較為重要，在對其解決過程中主要運用的知識點通常為“三角形對應高的比與相似比相同”。在培養與提高學生閱讀能力期間，結合認知心理學相關理論進行分析。學生在問題閱讀期間也屬于一種構建活動，也就是在文字輸入期間不斷進行加工處理，并在題意圖式活動的作用下，創建出較為完善的數學思維邏輯表象。

（四）對解題思路與方法進行指引

各地區的各層次學生在客觀因素作用下，致使其對于函數動點問題都缺少完善的解題思路與解題方法，這也在一定程度上需要教師在日常數學教學期間對學生的解題思路與方法進行指引與總結，使學生了解在函數動點問題中哪些詞語有著較為重要的作用。在遇到這種類型問題期間，學生會通過自身掌握的數學知識自動對函數動點問題進行分類與歸納，再根據問題類型選擇較為完善的解題方法與思路，這時可使函數動點問題較為簡單。

（五）歸納動點問題類型與細化

在初中數學中，函數動點問題可分為以下幾種：動點與一次函數結合、與二次函數結合以及與反比例函數結合。其中動點與二次函數結合問題出現幾率會相對較大，難度也相對高出很多。其問題通常為：其一，對函數解析式的建立計算存在問題。其二，計算最值缺乏準確性。同時最值問題主要是對之前函數解析式明確后才明確的，其中也可表示為幾何最值問題。其三，對相應問題的計算易產生錯誤。各種問題的提出都有著相應的種類，教師在數學教學期間應對其進行充分的總結與歸納。

（六）對完成問題進行處理

由于對完成的問題缺乏處理，致使在學生對于做過的問題沒有較深的印象。由于動點問題背景復雜性較強，學生對問題背景的差異過于重視，但對于完成的問題包含的解題技巧與類型應進行分類處理卻極為輕視。因此需教師對規律與方法進行指導總結，以提升學生解題能力。

五、一次函數動點問題解題對策

在初中數學教學期間共有著三種函數種類，其中一次函數通常是學生最早了解的函數知識，學生對其的印象也較為深刻，其所蘊含的函數性質也極為簡單。對于一次函數的這一特征，在其與動點問題成分結合期間通常具有較長的題目與數量較多的動點，在提出問題情況下還需要對分析討論方法進行使用，通過其主要特征制造相應的難點。因此對于此類問題提出以下三方面建議：

（一）消除學生恐懼心理

學生在對問題進行解答期間，通常在遇到較為復雜題目時形成較強的恐懼心理，即便通過閱讀后可較好對問題進行解決，卻不能較好地了解題意。因此在對一次函數與動點結合問題進行解答期間，教師應結合實際教學情況讓學生先充滿信心地對該問題進行閱讀，使學生形成較為良好的心理暗示，若動點問題僅與一次函數具有聯系、題目較為復雜、問題較為簡單時，學生在讀懂問題時就可順利地解決。

（二）背景圖形分析

所謂背景圖形主要是函數動點問題中沒有之前的各種圖形，通常情況下為一次函數形成的相應幾何圖形，學生應較好地了解各種幾何圖形的實際性質，例如：三角函數、圖形的邊、角以及面積等信息。

（三）了解點的運行流程

在對這一類型問題解決前學生應充分了解問題中有幾個運動的點，這有著較為重要的作用。其中在學生明確問題中實際運行點時有三個重要要素，其分別為：起點、運動速度中終點；轉折點；目標。函數動點問題的明顯特征通常為已知的速度，重點的考察目標是運動流程，將函數的信息以及坐標轉變為背景圖形數據信息。動點在移動到頂點位置時，轉折點就屬于分類探討的主要環節，學生在對這類動點問題進行解答期間，應主要對分類思想方法進行使用。與此同時，目標在解決這種問題時也有著較為重要的作用。結合目標列出相應的式子，可為創建出需要的函數關系式創建良好條件。

六、反比例函數動點問題解題對策

由于反比例函數動點問題與其它動點問題相比出現次數相對較少，題目難度亦相對較低。這一種類動點問題的主要目的是讓學生較好地了解點的運行流程，分類討論現象通常不會出現，只有一個未知量，對于其函數關系式的計算也較為簡單，因此初中數學教師在日常教學期間應主要培養與提高學生對這一類型函數動點問題的解決信心。

七、二次函數動點問題解題對策

動點問題與二次函數相結合在各屆中考與日常測試中出現的幾率相對較大，為了更好地對這種類型動點問題進行解決，不僅要充分了解題意、掌握點的運行流程，還應提高對初中知識之外的相關聯系。例如：圖1，在正方形ABCD中，A，B的坐標（0，10）、（8，4），定點C、D在第一象限，P從A出發，隨著正方形按逆時針方向進行運行，其中點Q從E（4，0）出發，沿著x軸正方向進行同速運動，在P達到C時，PQ停止運動，（1）設運行時間為T，計算ABCD的邊長；（2）當P在AB邊運動時，三角形OPQ面積為S與T之間的關系為圖2，求P與Q的運動速度。

在對于這一類型問題進行解析期間主要具有三方面的建議：

（一）提高知識間聯系的重視程度

學生在對二次函數與動點結合問題進行解答期間，充分了解題意與掌握點的運行流程雖然具有較強的作用，但建立二次函數關系式還需要了解并掌握式子中存在的關系，其也通常是最終需要獲取的函數關系式。學生在列式期間，各數學知識點之間存在的聯系有著較為重要的意義。提供的每個關系式可推導出哪些理論，各種已知條件與哪些數學知識具有密切的聯系，應使用哪些數學知識等在日常數學教學中應結合實際情況。對學生進行相應知識的滲透，使他們逐漸形成數學思維定式，使學生更好地理解函數動點問題題意。

（二）總結添輔助線的方法與規律

添輔助線對于問題解決較為重要，甚至在一定程度上還起著點睛之筆的作用。因此學生為了更好地對函數動點問題進行解決，應較好地掌握輔助線添加的方法與規律，通常情況下，輔助線的添加方法與規律主要為：其一，等腰三角形。作一邊上的高以及做底邊的高；其二，梯形。過上邊某一定點作底邊垂直線，將兩條斜邊進行延伸形成三角形；其三，菱形。將對角線進行連接；其四，平行四邊形。做對角線，作高以及垂直與平行邊；其五，在有中點時作中位線，在有中線時應將其延伸一倍。

（三）提高問題間聯系的重視程度

通常情況下，計算函數關系式、具有的問題以及計算最值等問題間都有著較為密切的關聯。同時，二次函數自身有著本身的特殊性質，具有最小值與最大值，因此經常與最值問題進行融合，學生直接使用函數關系式進行計算可較好地降低問題的解題難度。

總而言之，對于初中數學教學期間具有的三種函數動點問題進行解答期間，了解題意是主要基礎，掌握三要素是較為重要的輔助依據，接著再結合學生對于數學知識的不斷積累與各種知識之間的聯系性對問題進行解答，真正落實各解題流程才會更好地降低函數動點問題解決難度與復雜性。

八、函數動點問題實例分析

如圖3，直線y=-（3/4）x+6與坐標軸分別相交于A、B兩點。其中P、Q為動點從O點出發，共同抵達A點，并停止運動。點Q沿線段OA移動，速度為每秒1單位長度，P沿O-B-A線路移動其速度與Q相同。求（1），點A與B的坐標，（2）若Q運行時間為t，OPQ面積為S，求S與t之間的函數關系式及t的范圍。（3）在S=（48/5）時，求P點坐標，并直接寫出以點OPQ為頂點的平行四邊形的第四個頂點M的坐標。

在對這一問題進行講解期間，教師可主要根據以下流程進行教學：

（一）利用舊知識引入新知識

教師可結合上述問題與實際教學情況向學生提出：“三角形與直角坐標系具有哪些特殊的性質與特征？”等問題。其中教師的主要活動為結合實際問題提出科學的疑問，并讓中等生對相應的問題進行解答。學生對問題進行回答期間若不完整，教師則應進行相應的補充與說明。其主要目的是讓學生利用對以往數學知識的復習，使學生在解答這一函數動點問題期間可更好地想起以往學習的數學知識，并為其解題創造良好的條件。

（二）自主學習

教師結合函數動點問題提出該圖中共有幾個動點？學生在回答兩個動點后教師再次提問：動點引發的變量有哪些，不變量有哪些？并將對應線段的長進行表示。這時學生可較好地明確，該問題的變量主要為OQ、QA、OP以及PB線段的長度，不變量為∠BOA的大小、△AOB各角的角度以及△AOB實際面積等。其主要作用是讓學生自主完成兩個以及兩個以上的問題，使學生進行自主學習，并讓學生更好地對問題中的各種數據信息進行分析與處理，為了解函數問題中變量與不變量創建條件。

（三）仔細觀察發現問題

學生通過科學的觀察與分析更好地對點在運行期間的特征進行了解與掌握，進一步發現函數動點問題中存在的隱藏信息。同時教師應對多媒體教學方法進行運用，結合問題播放相應的動畫，對學生問題的回答進行補充并提出較為重要的關鍵性信息，其中還可結合實際教學情況對學生進行相應的鼓勵。其主要目的是對幾何畫板進行使用，較好地顯示出點的運動流程，讓學生直觀了解其運行流程與運行期間的重中之重。同時許多學生可較好地通過圖像發現相應的條件與信息。另一方面，利用對圖像進行直接觀察還可在一定程度上促進學生學習的積極性。

（四）小組分析與合作交流

教師讓學生以“通過圖像可發現怎樣的信息？”為條件進行科學的觀察，較好地發現（2）問按點P到拐點B所有時間分段分類，這時教師可結合實際教學情況對中等生進行相應的教育與引導。接著教師還可讓學生對相應的抑制條件進行尋找。學生通過對圖形的分析與研究可充分發現：最后一問屬于分類討論。其中，已知定點為P、Q、O，探究第四點構成平行四邊形時，按已知線段身份不同進行分類：其一，OP、OQ為邊；其二，OP為邊、OQ為對角線；其三，OQ為邊，OP為對角線等。以此為根據畫出相應的圖形，再根據圖形的相關性質對頂點坐標進行明確。這時教師再引導學生掌握解決這一問題的主要條件。學生可結合相應的基礎知識列S與t之間的函數關系式：在0

（五）尋找規律與總結方法

首先，應在各種聯系過程中不斷對變量與不變量之間存在的關系進行了解與分析。其次，結合最終需要的函數關系式列出該函數表達式，不能對兩者之間具有怎樣的關系進行憑空想象。最后，對于函數動點問題具有的問題若呈現出較為明顯的遞進關系時，學生則可結合問題第一問的答案對下一問題進行解決，不能僅根據自身的想象對問題進行解答。同時在課后還應讓學生們進行深入鍛煉，結合實際教學情況布置相應的作業。

九、評估與反思

在上述的研究與分析期間我們可以較好地發現，在數學教學過程中，最為重要的目的就是希望學生利用自身掌握的函數知識在圖形中充分了解與明確函數的實際模型，同時再以此為基礎對提出的問題進行科學地解決。其中這次實際教學在一定程度上明確了相應的教學流程模式，可分為六個教學環節：

其一，對以往學習的數學知識進行復習，并為新知識的引入創建良好的條件。在這一教學環節中，主要的教學目的是為了讓學生對與該函數動點問題有所聯系的數學基礎知識點進行了解與掌握。

其二，讓學生進行自主學習。在這一教學環節中其教學意義通常是讓學生較好地對函數動點問題中的信息進行科學處理，并在圖形上對具有較強價值的已知條件進行標注，明確問題中具有的變量與不變量，變量可導致哪些量的改變，可使用未知量對線段的長進行科學地表示。

其三，通過細心觀察發現相應的問題。利用多媒體等使學生在直觀的觀察下發現相應的問題，其中最值以及點的運動流程都可在圖中發現與掌握，同時對于分類討論情況的研究與探索有著較為有利的幫助。

其四，小組溝通與合作分析。在學習小組研究、分析以及合作交流過程中，可更好地對函數動點問題深層次信息進行發掘，在題干給予的各種已知條件推導出相應結論，在條件與問題間建立聯系。

其五，利用變式訓練提升與鞏固數學基礎知識。在變式訓練期間使學生在已經完成的函數動點問題中不斷積累豐富的解題經驗。

其六，尋規律總結方法。在這一教學環節中教師有著重要的地位與作用，對函數動點問題中包含的所有數學知識點、解題方法以及類型的歸納等進行科學的總結。其中還應每日解答一道相應的問題，不斷進行拓展與延伸。在每日解答一題期間所選的函數動點問題應與課堂教學期間教師講解函數動點問題的結構相一致，增強學生的興趣與解答問題的信心。

十、結語

綜上所述，在初中學生解決函數“動點問題”期間，由于受到教師與學生等客觀因素影響，致使其解題困難性相對較強。因此教師可結合實際情況通過利用舊知識引入新知識、自主學習以及仔細觀察發現問題等方法提高學生函數動點問題解題能力，并在一定程度上為學生的發展創建良好的條件。

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