高中數學解題思想方法之

李京玉

摘要：高中數學教學過程中引導學生解題時常用的一種方法——換元法。利用換元法解決問題是高中階段數學解題過程中的基本方法，同時也是學生在實際應用過程中的難點。本文分析利用換元法解數學題的本質，從根本上尋求利用換元法解數學題的關鍵問題，討論其在高中數學中的應用，為今后的高中數學教學及學生應用提供參考。

關鍵詞：數學；解題思想；換元法；數學教學；實際應用

中圖分類號：G632.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）50-0205-02

高中數學解題時，換元法是經常用的方法之一。換元法是把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化的方法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化，復雜問題簡單化，變得容易處理。

換元法可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函數、數列、三角等問題中有廣泛的應用。

換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數式幾次出現，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發現。例如已知復合函數f[g（x）]求f（x），可令t=g（x），由此解出x的表達式（用t表示x），將其代入f[g（x）]中得f（t），最后再把t換成x得到f（t）的解析式。此時要注意自變量的取值范圍，即t的取值范圍。又比如與指數函數有關的方程p·a2x+

q·ax+r=0，令t=ax，得pt2+qt+r=0，轉化為關于t的一元二次方程（p≠0，a>0且a≠1）.同理可將與指數函數有關的不等式通過換元轉化為一般不等式求解。

（注）應用局部換元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用。為什么會想到換元及如何設元，關鍵是發現已知方程中4x與2x之間的聯系。另外，本題還要求指數運算十分熟練。一般地，解指數與對數的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時也可能要對所給的已知條件進行適當變形，發現它們的聯系而實施換元，這是我們思考解法時要注意的一點。

我們還可以利用三角換元，將代數問題（或者是解析幾何問題）化為了含參三角不等式恒成立的問題，再運用“分離參數法”轉化為三角函數的值域問題，從而求出參數范圍。一般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數式時，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關問題時，經常使用“三角換元法”。

Abstract：The high school mathematics teaching to guide students in the process of problem solving a method often used for change element method. Substitution method is used to solve the problem is a basic method in the process of high school mathematics problem-solving，as well as the difficulties in the process of students in practical application. Analysis method used in the nature of mathematical problem solving，fundamentally to seek the key problems of using the method of mathematical problem solving in yuan，discuss its application in the high school mathematics，for the future of the high school mathematics teaching and the students application to provide the reference.

Key words：mathematics；the problem solving thinking；change element method；mathematics teaching；the practical applicationendprint