淺析高中數(shù)學(xué)中的類比教學(xué)

于軍鋒

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教學(xué)；概念類比；結(jié)構(gòu)類比；性質(zhì)類比

【中圖分類號】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 C

【文章編號】 004—0463（2017）18—0112—01

中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，要重視學(xué)生能力的培養(yǎng)，使學(xué)生逐步學(xué)會分析、綜合、歸納、類比等重要的思想方法。在各種邏輯推理方法中，類比思想方法是富于創(chuàng)造的一種方法。這是因?yàn)樗梢钥缭礁鱾€種類進(jìn)行不同類事物的比較，可以比較本質(zhì)的特征，也可以比較非本質(zhì)的特征，因而具有較強(qiáng)的探索和預(yù)測作用。根據(jù)高中生的抽象邏輯思維從經(jīng)驗(yàn)型向理論型急劇轉(zhuǎn)化的特點(diǎn)和高中數(shù)學(xué)教材的特點(diǎn)，教學(xué)中恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用類比方法，不僅能突出問題的本質(zhì)，提高教學(xué)質(zhì)量，而且還有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。下面，筆者就高中數(shù)學(xué)中的類比教學(xué)，談些自己的體會和看法。

一、概念類比

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)方法的載體。數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，也是進(jìn)行能力訓(xùn)練的主要渠道。實(shí)踐證明，通過概念類比，可以使概念更清晰，加深對概念的理解，并可以發(fā)現(xiàn)新規(guī)律，揭示新知識，從而培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

例如 我們把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。這兩個定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫橢圓的焦距。設(shè)M為平面內(nèi)的一動點(diǎn)，則有MF1+MF2=2a。

類比橢圓定義，那么把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差等于常數(shù)（小于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫什么？從而得到雙曲線的定義，即MF1-MF2=2a.

二、結(jié)構(gòu)類比

在解題的過程中應(yīng)要求學(xué)生不拘一格，以發(fā)散的思維來分析問題形式。問題情境發(fā)生了根本性的變化，兩個對象在表面上毫無共同之處，但通過觀察或者創(chuàng)造條件，使兩者存在共同點(diǎn)，這種類比不是一種簡單模仿，而是一種具有創(chuàng)造性的做法。類比相同和相近的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，能鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力、自主思維能力、發(fā)散思維能力以及合情推理能力。

例如 等差數(shù)列求和方法為倒序相加法，由此結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，我們還可以求如下的問題：若f（x）=，求f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值。只要利用f（n）+f（1-n）=，結(jié)合倒序相加法，即可得到答案。

若函數(shù)f（x）=，求f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+f（4）+f（）的值。只要利用f（x）+f（）=1，結(jié)合倒序相加法，即可求得答案。通過類比等差數(shù)列求和解答函數(shù)問題，更進(jìn)一步體現(xiàn)了知識的相互關(guān)聯(lián)性，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化化歸思想，并培養(yǎng)了學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

三、性質(zhì)類比

在數(shù)學(xué)教學(xué)中常常運(yùn)用類比推理，抓住其發(fā)生過程、內(nèi)涵、結(jié)構(gòu)、性質(zhì)等方面的相似性來研究問題。性質(zhì)研究是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，也是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容。而研究性質(zhì)的最好方法就是類比推理，它是一種創(chuàng)造性的思維活動。隨著新課標(biāo)的實(shí)施，創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力是新教材所特別強(qiáng)調(diào)的。在學(xué)習(xí)過程中，讓學(xué)生獨(dú)立思考、自主探索，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，是當(dāng)務(wù)之急。而類比思維不僅能夠幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，而且常能幫助我們尋找解題思路。數(shù)學(xué)家歐拉說過：“類比是偉大的引路人”。在解決某些數(shù)學(xué)問題時，若能合理地運(yùn)用“類比”，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是十分有益的。性質(zhì)類比主要是知識內(nèi)部的類比，考查知識的內(nèi)部聯(lián)系。

例如 設(shè)AB是橢圓+=1，（a>b>0）的不垂直于對稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則kABkOM=-，即就是kAB和kOM的乘積是一個與A和B的位置無關(guān)的定值，那么對雙曲線-=1（a>0，b>0）是不是有相似的性質(zhì)，并推理證明。

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則中點(diǎn)坐標(biāo)M（x0，y0），得kAB=，kOM=，kABkOM=。因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在雙曲線上，則-=1，-=1，且x0=，y0=，兩式相減就可得出結(jié)論。

性質(zhì)類比是比較常見的，除了在圓錐曲線中出現(xiàn)，也在數(shù)列的性質(zhì)中有考查。性質(zhì)類比有利于學(xué)生綜合素質(zhì)的培養(yǎng)，其題型靈活多變，方法獨(dú)特。

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師運(yùn)用類比教學(xué)不僅有助于提高自身的數(shù)學(xué)教學(xué)水平，還有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、分析問題及解決問題的能力、探究能力以及創(chuàng)新能力，從而提高數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

編輯：謝穎麗endprint