淺談一道不等式問(wèn)題的解法

■河南師范大學(xué)附屬中學(xué) 陳 琦

本文通過(guò)對(duì)課本上的一道例題進(jìn)行多種解法探討,希望能給同學(xué)們?cè)诮怅P(guān)于不等式問(wèn)題時(shí)提供一些幫助。

本題是人教版教材高中數(shù)學(xué)選修4-5第二講證明不等式的基本方法——反證法一節(jié)中的例1,我們對(duì)本題的解法多是采用反證法,但在實(shí)際學(xué)習(xí)中,也有可能出現(xiàn)以下的解法,供同學(xué)們探討:

評(píng)注:本方法采用分類(lèi)討論的思想,并通過(guò)不等式放縮,顯示了良好的功底。

解法3:由x+y＞2,知2x+2y＞2+x+y,所以2x+2y＞(1+x)+(1+y),所以2x＞1+y或2y＞1+x。

評(píng)注:本方法充分利用了x+y＞2這一條件進(jìn)行變形,考查對(duì)不等式結(jié)構(gòu)的把握。

評(píng)注:本方法充分利用題目中x與y的地位等同,即輪換式的特點(diǎn),很巧妙。

評(píng)注:約束條件x＞0,y＞0,且x+y＞2表示平面區(qū)域D,而不等式2x＞1+y或2y＞1+x表示平面區(qū)域包含區(qū)域D。

小結(jié)反思:小題也可以作出大文章,想法很好,做法也很到位。對(duì)于證明過(guò)程,實(shí)質(zhì)上是采用結(jié)論“兩個(gè)實(shí)數(shù)的和小于零,則這兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)小于零”證明該題。事實(shí)上,本題考查的就是反證法的思想。