一道向量問題的多角度探究

■河南師范大學附屬中學 劉長杰

編者的話:“經典題突破方法”欄目里例、習題選名校模擬題或三年高考真題,推出本欄目的主要目的是讓同學們更好地領悟數學解題思想方法,通過多解多變培養同學們多思多想的好習慣。學會解題反思,無疑是同學們學習的一條捷徑,愿同學們不斷在反思中進步,在反思中收獲!

學習數學離不開解題,解題時要善于從多角度審視和分析問題,不斷開發解題潛能,進而提高解決綜合問題的能力。下面是一道平面向量的數量積的綜合問題,筆者變換角度給出三種解法,供同學們學習時參考。

【考點定位】本題是平面向量問題,考查學生對于平面向量數量積知識的理解。其中包含動點問題,考查同學們對最值求法的掌握情況。

【考查意圖】本題考查平面向量的線性運算、數量積運算等基礎知識,考查數形結合思想,考查運算求解能力。

分析1:利用一組基底表示所有向量,利用向量數量積的定義來計算。

分析2:建立平面直角坐標系,利用坐標研究向量的數量積。

解法2:如圖2所示,以點D為坐標原點,直線DC,DA分別為x軸,y軸,建立平

【名師點睛】對向量的數量積問題,我們常采用三種處理方法:

(1)向量運算。選擇一組基底,用向量的線性運算表示所有向量;再利用向量數量積的定義來計算。這種方法技巧性較強,并且有時運算量較大。

(2)坐標運算。把向量的運算轉化為坐標運算,即向量問題代數化。這需要建立恰當的坐標系,并且要有一定的代數變形能力。

(3)幾何運算。根據向量的幾何意義,把向量的運算結果轉化為幾何圖形的特征,即向量問題圖形化。這種方法綜合性較強。

【復習建議】一道向量問題,通過多角度的認識,使思維的方法與知識的應用各不相同。一題多思,有益于知識的對比,更有利于思維批判性的養成。在平時的復習備考中,同學們要加強這方面的訓練。

跟蹤練習:如圖4所示,圓O的半徑為3,單位向量e所在的直線與圓相切于點A,B是圓上的動點,則e·的最大值為____。

【審題方法】此問題是向量數量積的綜合應用,可以采用例題的解法來嘗試解決。

【解題思路】利用向量數量積的定義結合三角變換來計算,也可把向量的運算轉化為坐標運算,還可以利用投影來計算。

圖4

圖5

解法2:如圖6所示,以O為坐標原點,直線OA為x軸,過點O且與直線OA垂直的直線為y軸,建立平面直角坐標系,則A(3,0)。設B(x,y)(-3≤x≤3,-3≤y≤3),則=(x-3,y)。設e,由e =1,知 D(3,1),則=(0,1)。所以=0×(x-3)+1×y=y≤3,即的最大值為3。

圖6

圖7

高考數學試題愈來愈注重對學生綜合能力的考查。在學習中有意識地進行一題多解的訓練,會不斷優化同學們的思維品質,培養同學們的發散思維,提高同學們的創新能力,促進知識的融會貫通。在平時的學習過程中,大家一定要加強這方面的訓練,從而提升自身的數學素養與解題水平。