三角函數與平面向量

■鄭州外國語學校 曹四清(正高級教師)

編者的話:基本知識和基本技能是高中數學的核心,同學們一定要高度重視。本期特約鄭州外國語中學曹四清等幾位老師為同學們解讀相關知識。鄭州外國語中學是河南省名牌高中,多年來高考成績一直在全省名列前茅。愿同學們通過閱讀,能從中感悟知識的結構與拓展,把握高考命題特點與趨勢。

1.關于特殊角的三角函數。

熟練掌握0°,30°,45°,60°,90°的特殊三角函數值;較高要求:了解15°,18°及其倍數的三角函數值。

2.同角三角函數間的關系。

同角三角函數有常用的三種基本關系:倒數關系、平方關系與乘積關系。

倒數關系:如圖1,對角的兩個三角函數值的乘積為1。(1)sinα·cscα=1;(2)cosα·secα=1;(3)tanα·cotα=1。

平方關系:如圖1,在陰影三角形中,上面兩個頂點處的三角函數值的平方和等于下面頂點處的三角函數值的平方。sin2α+cos2α=1,1+tan2α=sec2α,1+cot2α=csc2α。

圖1

乘積關系(商數關系):(1)如圖1,六邊形任意頂點上的函數值等于與它相鄰的兩個頂點處函數值的乘積。sinα=cosα·tanα,cosα=sinα·cotα,cotα=cosα·cscα。(2)如圖1,六邊形任意頂點上的函數值等于與它相鄰的頂點處與次相鄰的頂點處函數值的商。

(2)三角函數值的給出一般有兩種情況。(1)給出一個具體值(根據此值來確定所討論的象限);②給出一個未知的常數(根據平方關系確定要討論的象限)。

(3)任意給出一個三角函數值,都可以求出其他的五個三角函數值。已知sinα=a(a≠0,±1),試求

α的其他五個三角函數值。

3.弧長與扇形面積公式。

4.誘導公式。

口訣:“奇變偶不變,符號看象限,α當作銳角看”。

5.三角函數的圖像與性質。

(1)圖像的變換。

三角函數的變換方式有六條路徑。y=Asin(ωx+φ),其中參數有A,ω,φ,變換的種類數就是其排列數,有=6(種)。

(2)圖像的性質。

復習函數的性質要從定義域、值域、函數關系、特殊點、對稱性(奇偶性)、單調性、周期性等方面進行歸納總結。

圖2

1.兩向量共線。

(1)b≠0,若a∥b,則存在實數λ,使得a=λb。

(2)坐標表示:a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b?x1y2-x2y1=0。

2.兩向量垂直。

(1)向量a,b,若a⊥b?a·b=0。

(2)坐標表示:a=(x1,y1),b=(x2,y2),a⊥b?x1x2-y1y2=0。

3.平面向量基本定理。

圖3

4.向量的數量積滿足結合律嗎?

實數乘法結合律:(xy)z=x(yz)。分別用一個、兩個、三個向量去代替式中的x、y、z便可得到:實數與向量的積滿足結合律:λ(μa)=(λμ)a,內積滿足結合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb),同時得到了三個向量的結合式:(a·b)c=(b·c)a,此式記作(*)式,顯然它不一定成立。那么,何時它成立呢?

當a=0或b=0或c=0時,式子顯然成立。

當a≠0且b≠0且c≠0時:

(1)若a、c不共線,則:

①a·b≠b·c,顯然不成立;

②a·b=b·c≠0,顯然不成立;

③a·b=b·c=0,則有b⊥a,b⊥c,則a∥c,矛盾。

可知,a、c不共線時不成立。

(2)若a、c共線,則由共線向量定理,得a=λc(λ∈R),所以(a·b)c=(λc·b)c=λ(b·c)c=(b·c)(λc)=(b·c)a,從而(a·b)c=(b·c)a成立。

綜上,a、b、c至少一個為0或a∥c時,(*)式成立,反之不成立。

在向量研究中,每個向量式都對應了一個坐標式,用坐標法研究上式如下:

設a=(x1,y1),b=(x2,y2),c=(x3,y3),則(a·b)c=(x1x2+y1y2)(x3,y3)=(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3),(b·c)a=(x2x3+y2y3)(x1,y1)=(x1x2x3+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3)。

由(a·b)c=(b·c)a,即(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3)=(x1x2x3+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3),所以

論與用向量運算得出的結論是一致的。

5.為什么要學習投影?

圖4

(推導點到直線的距離公式)已知P(x0,y0)和直線l:Ax+By+C=0(A、B不全為0),求證:點P到直線l的距離為

證明:n=(A,B)是l的一個法向量,M(x,y)是l上任意一點,如圖5。

圖5