再談初中數學教學中的幾何直觀

朱玫瑰

[摘 要] 幾何直觀不僅僅是核心概念，也是一種教學思路. 幾何直觀的綜合描述，就是利用數學圖形進行數學思考. 對幾何直觀的理解，可以視之為一種學習模型，可以引導教師的教學思路. 培養學生的幾何直觀，通常從作圖、圖形加工、圖形描述三個方面進行.

[關鍵詞] 初中數學；幾何直觀；數學理解

幾何直觀被《義務教育數學課程標準》（2011版）描述為十個核心概念之一，對于幾何直觀的理解，通常是從“幾何”與“直觀”兩個關鍵詞上進行的：幾何通常是指幾何圖形，這一理解與數學是研究數與形的科學的理解是一致的，對于初中數學而言，這里的幾何更多的是指歐幾里得幾何，即基于點、線而構建起來的以簡潔為特征的幾何圖形；直觀一定程度上是一個心理學概念，通常是指基于實際看到的物體進行數學抽象后的產物——看到的對象是基礎，數學抽象后形成的有效表象是目的. 因此，幾何直觀說得簡單一點，就是“利用幾何圖形進行數學思考與想象”.

在初中數學教學實踐中，筆者總體感覺自己對幾何直觀的理解還顯得比較粗糙，實際教學中體現得也不太充分，因此進行了深入探究，取得了些許認識. 現總結出來，供方家批評、指正.

幾何直觀作為學習模型的存在

首先需要指出的是，對幾何直觀的理解不能僅限于幾何學習，其應當成為數學學習的一個重要思路. 筆者將幾何直觀理解為一種學習模型，主要是從建立數學理解的角度來認識的. 有研究者指出，幾何直觀是在“數學—幾何—圖形”的關系鏈中體現其價值的，筆者就琢磨并思考：這種價值是一種什么樣的價值呢？

從宏觀上來看，數學是學科總稱，也是學習內容總稱，而幾何作為數學的一個重要組成部分，其又是以圖形為主要加工對象的. 在初中數學教學中，圖形所起的作用絕對不僅僅是習題的載體，而應當是學生理解數學規律的重要工具. 正如希爾伯特所說的那樣，“圖形可以幫助我們發現、描述研究的問題；可以幫我們尋找解決問題的思路；可以幫我們理解和記得得到的結果”. 那么，在初中數學教學中，教師所起的作用就是幫學生理解這段描述中“幫”的作用，因為學生借助圖形去發現、描述研究問題的本領并非天然形成的，利用圖形去理解和記憶所得到的結果，也需要教師加以引導. 而這種引導的途徑，與幾何直觀建立的過程幾乎完全重合，因此幾何直觀建立的過程，就可以理解為初中生數學學習過程中遇到與圖形相關時的思維過程.

于是，一種新的教學圖式就出現在我們面前：對于初中數學教學中與圖形相關的學習內容，通過對圖形的分析來讓學生生成對圖形的分析、理解能力，并在這種能力的輔助之下形成對數學規律的理解，這就是數學能力形成的過程. 以“勾股定理”為例，可以肯定的一點是，無論是教師還是已經學過勾股定理的學生，提到勾股定理時，大腦里一定會同時出現直角三角形的表象，并基于此表象迅速得到直角三角形兩直角邊平方之和等于斜邊的平方的認識. 這個現象對于熟悉勾股定理的人來說，似乎沒有什么值得強調的，因為這就是一種直覺. 而筆者意識到其中的價值正在于此，什么叫直覺？其與直觀有什么樣的區別？筆者的回答是：直觀作為一種分析、思考的過程，其最高結果正是形成良好的直覺. 因此，在初中數學涉圖教學中，利用幾何直觀來讓學生形成一種良好的直覺，進而形成一種高水平的思維定式，就成為教學的一個重要目標.

幾何直觀作為教學思路的存在

既然形成了初中數學涉圖教學的幾何直觀教學思路，那就需要厘清這一思路的具體內涵與外延. 筆者經過分析形成如下兩點認識.

1. 幾何直觀是對初中數學學習內容與學習方法的概括

初中數學中的大部分內容基本上都具有“數”與“形”的特征. 譬如函數，嚴格來講，是以解析式為基本特征的數學關系，但這種關系可以在平面直角坐標系上用圖形表示出來. 這種圖形普遍存在的事實，使得幾何直觀在初中數學教學中具有普遍的價值，因而讓學生在“數學”學習中通過對“圖形”的分析來理解“幾何”意義，也就成為數學教師的教學思路之一（當然，這里也涉及數形結合思想，限于篇幅與文章主題，這里就不詳細討論了）. 重要的是，幾何直觀強調的是思維的參與，也就是說，學生頭腦中所加工的幾何對象不是孤立、僵化的，而是聯系性強、可變性強的對象. 如上面所舉的“勾股定理”例子，從教材一般引用的畢達哥拉斯研究地磚的故事開始，教師就需要引導學生形成將實際事物抽象成數學圖形的思想（數學抽象的存在），當學生從地面圖案中抽象出由三個正方形的各一條邊組成的直角三角形時，這是一種意義重大的變換，意味著學生的思維里不再是實際的地面圖案，而是抽象的數學圖形. 同時，這一圖形的形成，又將直角三角形延伸為三個正方形的面積，于是問題解決的思路也就獲得了突破. 事實上，通過面積關系來得到勾股定理作為最簡潔的方法引入初中數學教材，其目的與意義也正在于此. 在此過程中，學生的思維是不斷變化的，思維加工的對象也是不斷變化的，但思維發展的脈絡又是清晰的，通過對實際事物的抽象，形成幾何圖形，進而通過面積關系尋找直角三角形三邊的關系，這就是一個對圖形進行數學思考的過程，也是一個幾何直觀建立的過程.

2. 幾何直觀的思想可以引導數學有效教學

如果說上一點是對已有教學的歸納，那如果演繹開去還可以發現，幾何直觀其實可以引導數學的有效教學思路. 初中數學教學有兩個特別明顯的主線：一是經驗；二是邏輯. 基于合情推理得出的基本數學概念，通常也都是基于學生的生活經驗而建構的，而此外更多的數學概念其實都是在基本概念的基礎上，通過數學邏輯建立的. 在幾何直觀的理解中，對圖形的認識常常需要經驗的支撐，而對圖形的思考與想象，其實是直覺與邏輯共同作用的結果. 因此，對數學學習過程的描述就可以是這樣的：初中數學學習，就是學生利用經驗、直覺去推理，得出新的數學概念或規律的過程. 有了這樣的理解，可以幫初中生形成對數學學習的宏觀認識，這從學習心理上來看，很有利于學生建立數學學習的認識，并化解不必要的心理障礙；從數學知識建構的角度來看，無論什么樣的數學知識的學習，都是經驗、直覺加推理的過程. 如在“整式”的學習中，常常有一些實際問題如船在靜水與流水中順行、逆行的問題，面積問題等，學生在這些問題的解決過程中，如果有了良好的畫圖意識（實際上是將實際問題抽象成數學圖形），那就有了基本正確的解題思路（此時就是幾何直觀在起作用），待到正確的問題解決方法出現之后，學生反過來又會認識到畫圖這一步驟的重要性（實際上是高水平的幾何直觀認識的形成）.

以上兩點分析是對初中數學教學中幾何直觀內涵的挖掘，以及對實際教學的啟示、描述. 從教學策略的角度講，這里還面臨著一個很直接的問題，那就是在實際教學中如何有效地培養學生的幾何直觀.

如何有效培養學生的幾何直觀

要回答這一問題，需要結合教學經驗去總結，需要借鑒同行的智慧去分析. 具體總結為三點.

1. 一定要有畫圖意識

畫圖是數學學習的法寶之一，畫圖是一個將文字轉換為圖形的過程，這個過程是人與生俱來的本能之一，是將復雜、抽象對象簡潔化、形象化的重要過程. 對于初中數學教學而言，只要有畫圖的機會，教師都不能放過，簡單的要讓學生自己去畫，難度較大的要在學生畫不出的情況下教師畫. 一旦畫圖意識形成，幾何直觀就有了堅實的基礎.

2. 要學會加工圖形

對圖形的加工除了簡單的數據標入之外，還有兩個要點：一是作圖的準確性，作圖是一個學生經驗支撐的過程，有時由于對題意理解不透，會出現圖形失真、比例失調的情形，這其實是培養學生良好作圖能力的重要機會，教師此時不能越位，要讓學生充分畫圖之后再給予指導；二是圖形的由靜變動，這個過程是學生借助自身的想象力來完成的（在比較困難的情況下，可以借助幾何畫板來呈現動態圖形，但一定要先讓學生自己想，通常不能直接呈現），是培養學生數學抽象與思維能力的好機會.

3. 學會描述圖形

描述圖形也是一個重要的數學能力形成的機會，但通常得不到教師的重視，因為解題思路一旦形成，教師通常都會讓學生去解題、去求答案，少有讓學生基于圖形進行思路描述. 事實上，這是一個將隱性知識顯性化的過程，這個過程可以讓學生對數學語言的掌握更精確，教師不能感覺浪費時間而忽視此過程. 從另一個角度講，描述圖形也是對原有思路的重新整理，常常可以讓模糊的認識變得清晰.

綜上所述，初中數學教學中對幾何直觀的重視，可以加深學生對數學教學的理解，從而讓學生的學習變得更加高效.endprint