問渠那得清如許，為有源頭活水來

顏堅真

[摘 要] 筆者針對高考壓軸題的教學研究，發現極值點偏移可以通過構造一元差函數來處理及對數平均值是它的數學本質. 由此，給出重視教材內容及習題創新、滲透數學思想及方法提煉、典型試題的來源及篩選等教學與備考的啟示.

[關鍵詞] 極值點偏移；構造；一元差函數；對數平均值；數學本質；教學啟示

考題再現

（2016年全國Ⅰ卷理科壓軸題）已知函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.

（1）求a的取值范圍；

（2）設x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2<2.

解析：（1）對a進行分類討論，得到a的取值范圍為（0，+∞）. 第（2）題學生一開始感到很陌生，不知怎么找突破口. 為此，讓學生回顧教材，尋找與之類似的題型.

考題探源

（選修2-2第32頁習題1.3 B組T1（3））利用函數的單調性，證明：ex>1+x（x≠0）.

解析：本題來源于高中教材中的選修內容，學生很快就有了想法：構造函數f（x）=ex-x-1，然后求導，判斷其單調性. 由f（x）>f（0）=0，從而得證. 有了剛才的求解體驗，學生的興趣很快被調動了起來. 借助多媒體技術的教學功能，用幾何畫板畫出函數f（x）=ex-x-1的圖像，觀察得到函數的極小值點x=0也是函數唯一的零點.把函數圖像向下平移一個單位長度，得出函數f（x）=ex-x-2的圖像，由圖像可知函數有兩個零點，并且極小值點x=0偏移兩個零點的中點. 從而，趁機可以對本題進行改編.

改編：已知函數f（x）=ex-x-2有兩個零點x1，x2，證明：x1+x2<0.

證明： f ′（x）=ex-1，所以x=0是函數f（x）的極小值點.

構造函數F（x）=f（-x）-f（x） ，即F（x）=e-x-ex+2x，F′（x）=-（e-x+ex-2）.

當x∈（-∞，0）時，F′（x）<0，故F（x）在（-∞，0）上單調遞減.

所以F（x）>F（0）=0，即f（-x）-f（x）>0.所以f（x）

由圖像可知，兩個零點x1，x2在0的兩側. 不妨設x1<0

由f（x）在（0，+∞）上單調遞增，所以x2<-x1，即x1+x2<0.

由于x=0是函數f（x）的極值點，要證x1+x2<0，就是證明極值點偏移. 什么是極值點偏移？我們知道，二次函數f（x）的頂點就是極值點x0，若f（x）=c的兩根的中點為 ，則剛好有 =x0，即極值點在兩根的正中間，也就是極值點沒有偏移（如圖1）；而函數g（x）= 的極值點x0=1剛好在兩根的中點 的左邊，我們稱之為極值點左偏（如圖2）.

我們對極值點偏移問題進行分類，一是按極值點偏移的特點來分，可以分為兩類：左偏 >x0和右偏

從改編題的求解過程中，注重構造函數F（x）=f（-x）-f（x） . 2016年高考題第（2）題就是典型的極值點純偏移型問題. 由f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2，得f ′（x）=（x-1）·（ex+2a），可知f（x）在（-∞，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增. 要使函數y=f（x）有兩個零點x1，x2，則必須a>0，由此（1）得解. 這時，學生明白了原來所證問題是極值點偏移，高興極了，紛紛欲試，一展身手，想嘗試挑戰2016年高考壓軸題.下面提供學生的解答方法：

解法一：構造一元非對稱性差函數.

（2）證明：f ′（x）=（x-1）（ex+2a）.

由（1）知a>0，所以x=1是函數f（x）的極小值點.

構造函數F（x）=f（2-x）-f（x） （x<1），整理得F（x）=-[xe2-x+（x-2）ex]，則F ′（x）=（1-x）（ex-e2-x）.

當x∈（-∞，1）時，F′（x）<0，故F（x）在（-∞，1）上單調遞減.

所以F（x）>F（1）=0，即f（2-x）-f（x）>0.所以f（x）

由（1）可知，兩個零點x1，x2分居1的兩側，不妨設x1<1

由（1）可知， f（x）在（1，+∞）上單調遞增，又x2>1， 2-x1>1，所以x2<2-x1，即x1+x2<2.

解法二：構造一元對稱性差函數.

由已知得f（x1）=f（x2）=0，不難發現x1≠1，x2≠1.

故可整理得-a= = . 設g（x）= ，則g（x1）=g（x2）.

構造函數G（x）=g（1+x）-g（1-x），（x∈（-∞，1）），利用單調性可證，此處略.

點評：證x1+x2<2，即要證 <1. 是函數y=f（x）的圖像與x軸交點的中點的橫坐標，不等式右邊的1恰好是函數f（x）的極值點，因此本質上是證極值點右偏.解決極值點偏移的關鍵是構造函數，構造一元差函數是此題的難點.

考題本質

從解法一到解法二，解答極值點純偏移型，它的方法在于構造函數，一般處理策略為：

（1）構造一元差函數F（x）=f（x）-f（2x0-x）（非對稱性）或是F（x）=f（x0+x）-f（x0-x）（對稱性）；

（2）對一元差函數F（x）求導，判斷導數符號，確定其單調性；

（3）結合F（0）=0，判斷F（x）的符號，從而確定f（x0+x）與f（x0-x）的大小關系；

（4）由f（x1）=f（x2）=f[x0-（x0-x2）]與f[x0+（x0-x2）]=f（2x0-x2）的大小關系，得到f（x1）>（或<）f（2x0-x2）；

（5）結合f（x）的單調性得x1>（或<）2x0-x2，進而得到 >（或<）x0.

著名數學教育家弗賴登塔爾指出：反思是數學思維活動的核心和動力. 通過這道高考題求解過程的反思，了解了構造一元差函數是證明極值點偏移問題的關鍵所在. 但在處理這類問題上，學生產生了困惑：此題為什么要構造差函數相減才能奏效，而不能相加？課后筆者與學生共同探討過進行相加構造加函數而以失敗告終，相減構造差函數的思想基礎是什么？其他極值點偏移的考題是否也可以效仿相減的思路構造差函數？帶著這些問題，筆者期待與大家共同探討交流，對問題進一步探究，試圖解決學生心中的困惑.

此題及很多類似的問題，都有著深刻的高等數學背景.

拉格朗日中值定理：若函數f（x）滿足如下條件：①函數在閉區間[a，b]上連續；②函數在開區間（a，b）內可導，則在（a，b）內至少存在一點ξ，使得f（ξ）= . 當f（b）=f（a）時，即得到羅爾中值定理.

上述問題即對應于羅爾中值定理，聯系到f（ξ）= 的結構形式，想到函數中的平均變化率，而它有很好的幾何意義. 為此，相減構造差函數這一代數方法之所以能奏效，其理論思想基礎就是數形結合思想——A（x1，0），B（x2，0）兩點所在直線斜率k的坐標表示. 涉及平均值，高中數學教材中的基本不等式能不能提供理論思想基礎的來源？

考題的進一步拓展與延伸

高中數學教材上熟悉的基本不等式： ≤ （a，b∈R+），即“幾何平均數”小于或等于“算術平均數”，等號成立的條件是a=b. 對這個不等式加強之后，引入另一個平均值——對數平均值，得到對數平均值不等式：a>0，b>0，a≠b， < < .

以下給出證明：

由對稱性，不妨設a>b>0.

（1） < lna-lnb> ln > lnx> . 構造函數f（x）=lnx- （x>1），則f ′（x）= . 因為x>1，所以f ′（x）>0，所以f（x）在（1，+∞）上單調遞增. 所以f（x）>f（1）=0，所以 < 成立.

（2） < lna-lnb< ln < 2lnx

構造函數g（x）=2lnx-x- （x>1）， 則g′（x）=- -1 .

因為x>1，所以g′（x）<0，所以g（x）在（1，+∞）上單調遞減.

所以g（x）

由（1）和（2）可知，當a>0，b>0，且a≠b時，有 < < .

下面利用這個不等式解答2016年全國Ⅰ卷這道高考的壓軸題.

證明：設？搖f（x1）=f（x2）=0，則

（x1-2）ex1+a（x1-1）2=0，

（x2-2）ex2+a（x2-1）2=0（x1

移項并兩邊取對數，得

ln（2-x1）-ln（1-x1）2+x1=lna①，

ln（2-x2）-ln（1-x2）2+x2=lna②.

①-②得

ln（2-x1）-ln（2-x2）-[ln（1-x1）2-ln（1-x2）2]=x2-x1（顯然x1<1

- =1

+（x1+x2-2）·

根據對數平均值不等式，有

> ；

> .

由③式，可得 +（x1+x2-2）· <0，即（x1+x2-2）· + <0.

因為 + >0，

所以x1+x2-2<0，所以x1+x2<2.

點評：證明極值點偏移問題，由于所給函數是與指數和對數有關的函數，而且底數都是e，所以很難用到基本不等式，但可以利用對數平均值不等式求解，關鍵在于轉化利用該不等式，其解題沿循著如下處理方式：

（1）根據f（x1）=f（x2）=c建立等式；

（2）如果含有參數，則消參；如果等式中含有指數式，則兩邊取對數；

（3）通過恒等變形轉化為對數平均值，利用對數平均值不等式直接求解并適當變形.

考題變式

例1：（2010天津理）已知函數f（x）=xe-x（x∈R）. 若x1≠x2，且f（x1）=f（x2）. 證明：x1+x2>2.

例2：（2011遼寧理）已知函數f（x）=lnx-ax2+（2-a）x. 若函數y=f（x）的圖像與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0，證明：f ′（x0）<0.

例3：（2013湖南文）已知函數f（x）= ex. 證明：若x1≠x2，且f（x1）=f（x2）時，則x1+x2<0.

上面這三道高考題所證不等式盡管不同，但本質上都是證明極值點偏移問題，都可以利用上面兩種方法進行求解.

考題對教學的啟示

解決極值點偏移問題可以構造一元差函數和利用對數平均值不等式這兩種方法，本質上都是把兩個變元的不等式轉化為一元問題求解，途徑都是構造函數，解法一和解法二都是構造一元差函數，而利用對數平均值不等式的解法是捆綁式構造函數（證明對數平均值不等式的方法）. 其中，對數平均值不等式盡管在現行教材中未曾被提起，但是在高考題中，以這個不等式為背景的壓軸題已悄然進入我們的試題中. 給我們高三備考的教學啟示就是：

1. 重視教材內容及習題創新

我們知道，高考數學的全國卷命題以突出能力為特點，秉承“源于教材，高于教材”的原則. 在教學中給我們的啟示就是要充分研究每年的《考試說明》和《普通高中數學課程標準》的內容，讓復習的方向能依綱靠本. 在備考中，要回歸教材，挖掘教材，對教材內容加工再創造. 像今年高考壓軸題并沒有在教材中直接與之相似的題型，但經過對教材習題加工再創造，在原題基礎上適當創新改編就是一道很好的高考題. 讓學生明白教材的重要性，復習過程中不能脫離教材，丟棄教材，應對教材內容及習題再創新.

2. 滲透數學思想及方法提煉

高考數學壓軸題的題意，重點在考查學生運用導數處理有關函數的單調性和極值點、最值問題，以及綜合運用有關知識分析、解決問題的能力和化歸與轉化、數形結合、分類討論等數學思想方法. 因此，日常的教學過程中，得充分貫徹各種數學思想方法，以題型為載體，潛移默化地滲透解題中體現的數學思想和方法提煉.

3. 典型考題的來源及其篩選

今年有九個省份地區參加數學高考全國Ⅰ卷，通過調查，筆者所在學校的學生對極值點偏移感到陌生.其實，極值點偏移不屬于特別新的內容，各地歷年高考題和模擬考題都有出現過，如考題變式中的例1、例2和例3. 因此，說明命題人在出題時也參考過其他省份地區高考的出題模式. 命題人可能考慮到今年高考有多個省份采用全國Ⅰ卷，而且有些省份高考還是第一次參加全國Ⅰ卷，如廣東省就是今年第一次參加. 命題專家可能為了尋找最大公約數，避免各個省份波動太大，采用了大家“相對”熟悉的素材——極值點偏移. 所以，在準備本省份地區高考備考時，也要參考其他省份地區高考出現過的類型試題.其次，各地的模擬考題也是值得我們關注的對象. 為此，在高三復習課的備考中，注意精選題型，選題必須具有典型性和代表性，選題的來源可以是歷年高考題、各地區的高考題及模擬考題.

4. 關注熱點問題及高考動態

極值點偏移這個素材是在近幾年各地刊物上熱烈討論關于非對稱函數的性質，所以我們要深入教學研究，關注近期核心刊物發表的熱點數學問題，給我們提供教學研究的素材. 另外，每年高考動態千變萬化，作為教師，我們必須關注其變化，理清其方向，這是我們備考的指明燈.

5. 挖掘考題背景及數學出處

雖然我們無法猜測高考命題者的出題意圖，但是在我們高考的考題中，以高等數學為背景的題目類型已經進入我們的考題，如高等數學中的拉格朗日中值定理和對數平均值不等式. 古希臘數學家畢達哥拉斯說過：“在數學的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么.”所以，在解題教學中，不但要對題型詳細分析和講解，還得挖掘試題的背景，明白命題人命題意境“問渠那得清如許，為有源頭活水來”的數學背景及出處.

在高考備考中，教師的專業化素養需要發展，要想給學生“一滴水”，教師應有“一桶水”. 我國著名數學家華羅庚先生說過：“在學習中要敢于做減法，就是減去前人已經解決的部分，看看還有哪些問題沒有解決，需要我們去探索解決.”因此，在教學中，數學教師需要研究考題與考情，學情與教材，等等. 在學習研究中，提高教師的專業能力水平. 中學數學教師更要順應時代的發展，從數學學科的特點出發，著力培養學生的創新思維能力，在數學解題教學中充分發揮學生的主體能動性，激發學生強烈的求知欲，讓學生自主探索、發現、解決問題，享受發現、分析和解決問題的樂趣，獲得成功的喜悅，使教師的一桶水甚至一杯水引發出學生一條奔騰不息的創造力之河成為可能.endprint