淺論高中數學教學中學習材料的有效提供

朱愛紅

[摘 要] 高中數學教學中，向學生提供什么樣的學習材料，直接決定了學生的學習是否有效. 研究表明，學習材料的難易程度與學習有效性直接相關，而難易程度的判定又需要根據學生的學習過程與結果來判斷，這就為教師的教學經驗積累提供了可能.

[關鍵詞] 高中數學；學習材料；難易程度；有效性

在教學中向學生提供學習材料，是教師教學最基本的任務. 高中數學教學中，向學生提供的學習材料最主要都是來自于教材以及教學參考書，其是在教師教學經驗加工的基礎上，結合階段性考試或高考的需要，進而成為“適合學生”學習的. 這里之所以對“適合學習”加上引號，是因為這里判斷的“適合”其實是教師的一種主觀判斷，即使教師不認為自己是主觀判斷，而認為是結合學生學習需要的判斷，這實際上依然是一種主觀性極強的判斷. 因為當離開了學生學習的具體過程時，所有的判斷都難免帶有主觀性，因此是不是真正適合學生的學習需要，也就值得研究了. 本文嘗試就高中數學教學中學習材料的有效提供，談談筆者的淺顯觀點.

由于學習材料的提供是一個非常宏大的問題，對學習材料的判斷也可以多重視角，因而試圖通過一篇文章來面面俱到地闡述，其難度是非常大的. 因此，筆者從最容易理解的角度入手，這個角度就是“學習材料閱讀的難易程度”.毫無疑問，學生接觸到教師的學習材料之后，會有難易的判斷，這是一種直覺性的判斷，而且這種判斷將影響著學生的學習結果，因此從這個角度研究高中數學教學的有效性，應當說是非常恰當的. 因為數學盡管是一門理性學科，但對學習材料的閱讀卻是無法回避的——對學習材料閱讀原本就是數學學習的重要方式.當然必須指明的是，這里所說的閱讀，既有直接的文字或圖形的閱讀，也有對教師通過教學語言轉述的學習材料的閱讀.

學習材料的難易判斷

難易是學生面對學習材料的最直覺的判斷，是難還是易取決于學生對學習材料的加工程度，也決定著學生有效學習的基礎. 這里通過一個例子來詳細說明：

在“圓錐曲線”這一章的“橢圓”這一知識的教學中，常規的教學（也就是日常課，考慮到教學的實際需要，本文所選擇的事例均來自于日常的課堂觀察及反思）中，教師一般會通過教學語言或現代教學手段向學生呈現類似于教材上所提供的材料：你認為油罐車的油罐其橫截面的形狀最接近于什么曲線？之所以將課本上的素材以這樣的問題形式提出，是考慮到問題更容易驅動學生思維，而且在學生的生活中，是有觀察油罐車的經驗的，其也是能夠迅速地做出“橢圓”的判斷的. 因此從材料難易的角度來看，這一問題（當然也是學習材料）是既簡潔又簡單的. 但是，這個學習材料的“易”只是表面上的易，因為此時只需要學生做出猜想，而既然是猜想，就是不需要理論證實的，只需要經驗加工即可. 同時，這種“易”的感覺還更容易將學生帶入學習的情境，從而為有效學習打下基礎.

其后跟進的學習材料則可以讓學生更清晰地產生難易感覺，如筆者就是用PPT呈現的問題：是不是被壓扁的圓就一定是橢圓？如何根據方程去研究橢圓？這兩個問題就不是憑經驗所能夠回答的了，很顯然，這個時候不同學生會有不同的感覺：數學基礎較好的，往往能夠結合此前所學過的相關知識去猜想，如根據此前形成的“在同一平面內，到兩定點距離為定值的點的集合為橢圓”的理解，試圖將這一定義變成表達式，然后去進行進一步的推理.盡管在短時間內這些基礎較好的學生無法得出最終的橢圓標準方程，但這個方向畢竟是正確的，因而這些學生此時的學習感覺往往是“有把握的”，也就是“易”的；而另一部分學生的學習心理更是這樣的：被壓扁的圓是不是橢圓不知道，但可以肯定不是圓，難道還有既不是圓又不是橢圓的圖形……也應該有，因為圓是可以隨便壓的……那么橢圓必須是什么樣的呢？……這段話是筆者在教學之前隨機從中等生及學困生抽出的幾個學生，進行簡單調查時的結果，這說明他們在面對這個問題時實際上是感覺到“難”的，因而他們基于這個問題對橢圓的標準方程探究就是困難的.

那么，探究學習材料的難易程度有什么意義呢？答案很簡單，因為這與學生學習過程是否有效有關. 近年來，在學習心理領域，有不少專家在研究學生學習有效性的時候，都將學習材料的難易程度當成研究的重要對象，而且更有人指出，即使同一個教學內容，即使用不同大小的字體呈現，學生的學習結果也會有很大的不同，這使得學習材料的難易程度從內容層面的研究拓展到形式的研究，盡管這一研究不在本文的重點敘述范圍內，但已經能夠說明學習材料的難易程度對學生學習的有效性有著明顯的影響.

學習材料的有效提供

那么，什么樣的難易程度的學習材料的提供才是有效的呢？從經驗的角度來看，學習材料的難易程度對有效學習與否的影響，顯然不是學習材料越難，學生學習越有效. 那是不是學習材料越容易，學生的學習就越有效呢？答案也并非那么簡單.

一則學習材料的提供能夠在多大程度上促進學生的學習，關鍵取決于學生對學習材料的加工情況，而學習材料的難易程度，首先影響的是學生對學習材料的態度. 研究表明，適當難度的學習材料的提供，更加容易將學生的注意力集中到學習本身.仍然以“橢圓”的教學為例，在上面所提供的第二個學習材料（問題）進行分析時，筆者發現其難度對于大多數學生來說都不是太恰當的，因此學優生盡管能夠發現問題解決的方向，卻難以得到結果；而中等生與學困生則更是難以根據該問題尋找到判斷的思路. 于是筆者對該材料進行了改編（向學生提供一段文字，并輔之以問題來驅動學生的思考）：第一張幻燈片：橢圓是圓錐曲線中的一個重要的曲線，一個看起來像橢圓的扁圓是不是真正的橢圓，要看其是否符合橢圓的特征.那么，你知道的橢圓的特征有哪些呢？待學生思考之后再呈現第二個幻燈片：橢圓在生活中有著不少奇特的現象！鏈接教材上“圓錐曲線的光學性質”（意大利西西里島上的故事）……；在學生完成這兩則學習材料的信息的輸入之后，教師再給出問題：判斷一個曲線是不是橢圓，數學上常常有一個“標準方程”，這是數學上常用的以“數”描述“形”的方法，也是數形結合重要思想的體現，現在我們面臨的任務就是來探究橢圓的標準方程. 那么，我們的探究從哪里入手呢？endprint

在上面兩張幻燈片上學習材料的刺激之下，在新的問題的驅動之下，學生的思維從感性趨向了理性，從形轉向了數.而這個時候學生大腦中關于橢圓的數學理解，就只有此前的定義，而這個定義也將成為走向標準方程的重要入口.

事實證明，在上面學習材料的刺激之下，絕大多數學生探究橢圓標準方程的過程更加順利，而在課后筆者進行的調查中，三個層次的學生普遍反映：這樣的學習過程感覺還是比較“順”的.順，說明了什么？說明了學生的思維比較順利（并不意味著探究的過程中遇不到問題，而是指即使遇到問題，在解決問題方向的判斷與解決問題的工具選擇上也不會有太多的困難，如將橢圓的定義轉換成方程，對方程進行移項、平方、再平方等處理），而思維的順利其實歸根結底是由學習材料的難易程度來決定的，因為材料難易適中，因此學生容易更好地占有學習材料，也因而可以對學習材料并基于學習材料進行有效的思維加工.

很顯然，這里必須對“難易適中”做出更有效的界定. 盡管筆者并未尋找到精確的描述，但從相關的心理學研究結論，以及筆者相關的教學實踐經驗來看，所謂的“難易適中”，應當是學生在看到相應的學習材料的時候，感覺到材料描述本身通俗易懂——材料最好由生活語言來描述，而在教師問題的驅動之下，又會發現材料背后有著豐富的數學含義——學生可以將生活語言組織的材料轉換成數學語言的理解. 有了這樣的轉換之后，學習材料應當還能夠促進學生進一步的數學思考，以將學生引入數學要領構建或數學問題探究的境界. 如上面的例子中，在對生活中橢圓的理解基礎上提出如何精確地界定橢圓的問題，就有這樣的效果.

尋找有效的教學視角

無論是教學視角下對有效教學的探討，還是宏觀視界下對學生數學學科核心素養的研究，最根本的落腳點就是教學視角的有效性. 而教學視角的有效性，歸根到底又要落到教學的細節上.

研究學習材料的難易程度，在筆者看來是一個非常可靠的教學視角，一方面學習材料的提供原本就是教學過程中最常見的事情，以至于很多時候我們往往忽視對其難易程度的判斷，忽視了對其有效性的研究，而事實上學習材料是學生學習接觸得最直接的對象之一，其直接影響著學生的學習結果.

筆者基于自身的教學直覺，基于在理論學習中偶遇的教育專家對學習材料的研究，做出了文中所述的一些探究，自認為是一個比較有效的教學視角.當然，由于能力所限，文中也會存在一些不當之處，還請專家同行批評指正.endprint