數學課程中“有”與“無”的對立統一

【摘 要】對于除法運算中整除的情況，也就是余數為0的情況，應當視為是“有余數”還是“沒有余數”，對于這一問題一直存在不同意見，類似的問題在運算以及幾何圖形的認識等方面都存在。其中蘊含著的是辯證法中對立統一的思想，也即任何事物的存在，都伴隨著其對立一方的存在，對立的雙方在一定條件下可以相互轉化。數學教學應當讓學生通過學習活動，感悟這樣的思想。

【關鍵詞】數學思想 對立統一 數學課程

在一份小學數學試卷中，有這樣一個試題：

一個有余數的除法算式中，除數是5，余數最大可能是幾？余數有幾種可能？

此試題考查的知識點顯然是“余數要比除數小”，因此對于“余數最大可能是幾”的問題，其答案自然應當為4。但對于“余數有幾種可能”的問題，一些教師的意見存在分歧。

分歧的焦點在于，除了余數可能是“1，2，3，4”之外，對于整除的情況，應當看作是“沒有余數”還是“有余數”？換句話說，余數為0的情況應當看作是“有余數”還是“無余數”？

一、沒有余數與余數為0

如果從日常生活經驗來看，比如6個蘋果平均分給2個小朋友，每人分得3個蘋果，此時通常就叫作“分完”了，或者叫作“無剩余”。如果是7個蘋果平均分給2個小朋友，就是每人分得3個，剩下1個，此時就叫作“沒有分完”，或者叫作“有剩余”。這樣就形成了“有余數”和“無余數”的兩種情況，這兩種情況表現出“有”與“無”的關系，是截然相反、相互對立的關系。

用數學的語言說，在正整數范圍內研究除法，自然會出現“整除”和“不整除”兩種情況。用字母a表示被除數，字母b表示除數，如果數a能夠被數b整除，那么這個除法算式就可以寫為如下的算式1：

算式1：[a÷b=q]

其中的字母q表示除法的結果，也叫作商①。如果這樣的除法不能整除，除法運算的結果就會出現余數，如果用字母r表示這個余數②，那么這個算式就要寫為如下的算式2：

算式2：[a÷b=q……r]

由于“余數要比除數小”的要求，其中余數r的取值可以是“1，2，……b-1”，一共有b-1種可能性。從形式上看，整除的算式1中沒有余數“r”，不能整除的算式2中有余數“r”。由此看出，整除的除法和有余數除法從算式上看也表現出“有”與“無”的差異，是一種對立的關系。

而數學家思考問題常常會運用辯證法的思維方式，認為對立的雙方在一定的條件下是可以相互轉化的。因此就會創造條件將處于對立狀態的對象納入到同一個系統之中，使之成為同一個系統中的不同狀態，這種思維方式通常叫作“使之一致（Unifying）”。

運用“使之一致”的思維方式，就可以轉變對“沒有余數”的看法，把“無”看作“有”，也就是把“無余數”看作是“有余數，且余數為0”。這樣“無余數”的情況就與“有余數”的情況取得一致，統一到一個系統中了。前面的算式1和算式2就可以統一為算式3：

算式3：[a÷b=q……r]

只需要認為其中的余數r可以是0，把“沒有余數”看作是“余數為0”，余數“r”的取值范圍從“1，2，……b-1”的b-1種可能，擴大為“0，1，2，……b-1”的b種可能。其中的余數r為0時就是前面的算式1，r不等于0時就是算式2的情況。這樣就將截然不同、對立關系的兩種除法算式，統一為一個算式了。這個算式在數論中通常叫作“帶余除法定理”，常常寫為乘法的形式：

算式4：[a=bq+r， 0≤r

雖然叫作“帶余除法定理”，但其中是包含“r=0”，也就是整除的情況，此時把余數為0認為是有余數的。因此前面試題中，如果把余數為0認為是“無余數”，那么答案就是4種可能；如果把余數為0認為是有余數，那么答案自然就是5種可能了。

類似的例子還有，對于“2[÷]5”，如果在整數范圍內，這個算式是沒有意義的，就像把2個蘋果平均分給5個人，這個分的過程是無法實現的。但是在數學中，仍然認為這個算式是有意義的，也就是認為除法的結果商為0，余數等于被除數2。寫為：

2[÷]5=0……2

在教學或者考試中，對于這種具有人為規定意義的內容，重要的是理解規定的道理，感悟其中蘊含的思想，而不是結論本身的對錯。

二、如何理解運算中的“無”

小學數學課程中，乘法運算的意思是“相同加數求和”，就是說至少應當是兩個或者兩個以上的相同加數相加，才會出現乘法運算。比如“[3×2]”，可以看作是2個3相加，即“3+3”，也可以看作是3個2相加，即“2+2+2”。

按照這樣的理解，乘法算式“[1×1]”以及“[0×0]”等算式是沒有意義的，因為“相同加數相加”的過程根本沒有發生，對應的“相同加數求和”的加法算式也無法寫出。因此如何理解諸如“[1×1=1]”以及“[0×0=0]”等沒有乘法意義的乘法算式，就成為數學教學需要研究的問題。事實上，這些算式的結果都是數學家做出的人為規定，有關乘法運算這樣的規定可以概括為如下兩條：

l規定1：1乘任何數的結果還是這個數。

l規定2：0乘任何數的結果都是0。

任何人為規定通常有兩個方面的來源，其一是符合人的直覺，其二是符合相應的規律或規則。比如，為什么規定“1乘任何數的結果還得這個數”？比如“[2×1]”，除了直覺上表示“1個2”或者“2個1”相加，結果應當等于2，更重要的原因是要符合運算律，比如可以把數字1看作是“4-3”的結果，那么就可以運用分配律對“[2×1]”進行如下計算：

其結果等于2，說明規定“[2×1]=2”不僅符合直覺，也不違背乘法對加、減法的分配律。

對于“0乘任何數的結果都是0”的規定，也有類似的原因，比如可以把0看作是“3-3”的結果，也運用分配律對“[2×0]”進行計算：

這就說明規定“[2×0]=0”不僅與“2個0相加等于0”的直覺相符，同時與分配律也不矛盾。正是這樣的規定，將“無乘法”與“乘法”變得一致，實現了“無”與“有”的統一。

在初中數學課程中，表示相同因數相乘的指數與冪的運算中，也有類似情況。比如3個4相乘“[4×4×4]”，可以表示為冪的形式“[43]”，其中的“4”叫作冪的底，“3”叫作指數。在這里就出現了如何理解“[41]”和“[40]”的問題。這兩種情況都沒有發生“相同因數相乘”的過程，因此就需要規定相應的取值。

如果規定“[41=4]”，直覺上比較容易理解。但是如何規定“[40]”的取值，從直覺上就很難看出來。因此就需要運用“同底數冪相除，指數相減”的運算律進行計算，可以把指數“0”看作是“2-2”的結果：

[40=42-2 =4242 =1]

鑒于運用運算律計算結果等于1，因此就需要規定“[40=1]”，更一般的規定就是“[a0=1，a≠0]”。

在高中數學課程中，有一個與運算相關的概念叫作“階乘”，表達的是一個自然數依次連續向下乘每一個自然數，比如3的階乘等于“[3×2×1]”，用符號“3！”表示。按照這樣的定義，那么“1！”和“0！”就成為特例，其中事實上的階乘過程并沒有發生。

如果規定“1！=1”是符合直覺的，也是與相應的運算規律不矛盾的。如果用n表示任意一個自然數，按照階乘的定義，應當有如下的等式成立：

n！=n（n-1）！

在等式中讓n=2，那么就得到：

2！=2[×]1！

由于等式左邊的2！等于2，所以等式右邊的1！就應當等于1。因此對于規定“1！=1”，直覺與運算規律都是相符合的。同樣憑直覺看，“0！”的取值似乎應當是0。在前面等式中，如果n等于1，那么就得到：

1！=1[×]0！

由于等式左邊1！等于1，因此等式右邊0！不能等于0，而應當等于1。因此不得不違背直覺，規定“0！=1”。雖然這樣的規定從直覺上難以接受，但按照與運算律無矛盾的原則，只能這樣規定。有了這樣的規定，就將沒有發生階乘運算的特例融入到階乘運算的系統中了，實現了“無”與“有”的一致和統一。

三、點與線的對立統一

在幾何圖形的研究中，也經常需要這種對立統一的眼光。比如，平面上的三角形和梯形應當是完全不同的圖形。如果改變一下思維方式，用運動的眼光看待梯形，那么三角形就可以與梯形統一到一個系統中。

所謂運動的眼光，是將作為四邊形的梯形，看作是一條自下而上運動線段掃過的軌跡所形成的圖形（見圖1）。

圖1中，運動的線段EF從AB位置運動到CD位置，留下的軌跡就形成了梯形ABCD。運動線段EF在運動過程中，其長度均勻地縮短，如果繼續向上運動，直至其長度變為0，也就是線段EF變為了一個點，其軌跡就形成了一個三角形（見圖2）。

點與線段原本是完全不同的幾何圖形，不僅從直觀感受上看是截然不同的，從度量的角度看，線段是有長度的，而點是沒有長度的。按照對立統一的思維方式，可以把“無長度”看作是“有長度，且長度為0”，那么點就可以認為是特殊的線段，因此也就可以將三角形看作是特殊的梯形，梯形面積公式“[a+b2h]”中的上底長度b為0，那么這一公式就轉變為三角形面積公式“[a2h]”了。

在數學教學中讓學生經歷數學發生與發展的過程，體驗數學課程內容中蘊含著的思想，歷來是我國數學教育的傳統。對立統一作為辯證法思想的重要內容，自然應當融入到數學學習活動的設計中去。讓學生“在活動中經歷過程，在過程中獲得經驗，在經驗中感悟思想”。

參考文獻：

[1]郜舒竹.小學數學這樣教[M].上海：華東師范大學出版社，2015.

（首都師范大學初等教育學院 100048）