數學思想方法在“整理與練習”中的滲透

周萍

“整理與練習”是小學數學課堂教學中的重要課型之一，它承載著回顧與整理、鞏固與生長的獨特功能。而筆者在聽課實踐中發現，時下很多教師在“整理與練習”課中，只注重了對知識與技能的強化與深化，而忽略了它的“生長”功能，即通過揭示知識背后的思想方法，促進學生的思維提升。正是我們在意識與行動上對數學思想方法的不重視，造成了學生就題論題、死記硬背的數學學習方法，長此以往，造成了學生數學思維上的“斷點”和知識上的“脫節”，從而出現“一聽就懂、一做就錯”的奇怪現象。因此，在“整理與練習”課教學時，我們應認真研讀教材吃透教材，找出數學知識與思想方法之間的結合點，把隱含在數學知識內部以及習題“背后”的數學思想方法充分挖掘出來，并以數學思想方法為主線，將整理的知識內容串聯起來，充分發揮它回顧與整理、鞏固與生長的功能，讓每一位學生在“整理與練習”中得到不同的發展。

一、滲透分類思想方法，培養思維的周密性

兒童心理學研究表明：先有分類，按類別形成集合，然后才能形成運算。可以這樣說，兒童學習數學的起點在于分類。為此，人教版、北師大版的小學數學教材都將“分類”單獨編寫成“章”，其他版本的教材也通過“物體分類”“圖形分類”等形式將分類的思想方法滲透其中。由此可以看出，分類的思想方法在現行小學數學教材中有著極其廣泛的應用。在數學概念的形成過程中，需要通過分類研究，從而準確地把握概念的本質；在數學問題解決的過程中，需要通過對問題本身所有可能出現的情況不重復、無遺漏地加以分類，并逐類討論求解，從而獲得完整的解答應用。在“整理與練習”環節，我們更應充分利用分類的思想方法，將單元所學內容進行有序整理，從而使數學知識條理化、系統化、結構化，促進學生更好地掌握知識，并形成較為牢固的知識結構。同時，還要充分挖掘習題“背后”可能隱藏著的分類思想方法，并通過必要的手段將其顯現出來，讓學生在解決問題的過程中，體現分類思想方法，從而使學生達到有條理地思考問題，養成周密思考問題的習慣。

在教學蘇教版《數學》四年級下冊“三角形、平行四邊形和梯形”的“整理與練習”時，出現圖1中的三角形，讓學生同桌互說分別是什么三角形，在交流發言中發現同一個三角形有不同的名稱。如第一個三角形，有同學說是等邊三角形，有同學說是銳角三角形。這時教師追問：等邊三角形是以什么標準分類的？銳角三角形又是以什么標準分類？三角形如果按邊分類或是按角分類，結果會怎樣呢？同桌討論交流，并形成以下結果：

（1）三角形按角分類

（2）三角形按邊分類

通過以上教學活動，讓學生明確了分類所要具備的三個要求：（1）母項，即被分類的對象（三角形）；（2）子項，即分類后所得到的類概念（各種三角形的名稱）；（3）根據，即分類的標準（按邊的長短或是按角的大小進行分類）。通過這樣的分類整理與練習，使學生加深了對三角形概念的理解與掌握，同時也很好地滲透了分類思想方法。為了讓學生進一步體驗分類思想方法在解決問題中的作用，我們對教材中的第4題進行了改編處理，去掉了原題中的三小問題，直接問“這個三角形的每條邊是多少厘米？”

第4題：把一根9厘米長的吸管剪成3段（每段都是整厘米數），圍成一個三角形。

（1）能圍成多少個不同的三角形？

（2）如果圍成等邊三角形，邊長是多少厘米？

（3）圍成等腰三角形，底是多少厘米？

先讓學生獨立完成，在集體匯報時，教師引導學生進行思考，合理分類，做到不重復不遺漏地找出所有答案。因為有了前面分類思想方法的滲透，此時學生就能根據前面的結果進行合理分類，找到所有答案，即：

不等邊三角形：4厘米、3厘米、2厘米；

等腰三角形：3厘米、3厘米、3厘米（等邊三形）；

4厘米、4厘米、1厘米（等腰不等底的等腰三角形）

日本的數學家米山國藏曾指出：“如果只是盲目地列許多情形，就不可能知道是不是把一切的情形都列完了。”[1]雖然當時他并沒有分類思想方法這一概念，但此番話卻一針見血地道出了數學分類思想方法的優勢。

二、滲透化歸思想方法，培養思維的靈活性

匈牙利著名數學家P.羅莎在《無窮的玩藝》中寫道：“數學往往不是對問題進行正面攻擊，而是不斷對它進行變形，直到把它轉化成能夠解決的問題。”[2]這里所說的“轉化”其實是化歸思想方法的核心。在小學數學新知識學習過程中，化歸思想隨處可見。如異分母分數的大小比較及加減運算法則的基本思想是借助通分將其化歸為同分母分數的大小比較及加減運算，進而化歸為整數（分子）的大小比較及加減運算。在蘇教版義務教育教科書小學數學教材中，還專門安排了“解決問題策略——轉化”這一單元，專門為學生提煉、提升化歸思想。由此可見，化歸思想方法在學生探索數學新知、解決數學問題的過程中具有不可替代的作用，在平時教學中向學生滲透化歸思想方法應成為我們數學教學的一種常態。當然，這種滲透不能只局限于新知識的傳授，在練習課中，特別是在我們的“整理與練習”課中更應該得到重視。因為此時是彰顯、總結、提升化歸的思想方法的最佳時機。

在教學蘇教版《數學》五年級下冊“圓”的“整理與練習”時，通過畫圓和巧妙的設問，形成了圖2中左側的知識結構圖，這樣的板書設計，幫助全體學生（特別是學習困難生）建立起較為完善的知識結構，溝通了知識的內在聯系。至此，已完成了知識整理與練習部分的教學任務。但對于涌動在知識背后的化歸思想我們不能視而不見。為此，在回顧圓的面積與周長計算方法時，先讓同桌互說計算方法是怎么得到的，然后動畫展示轉化過程，讓學生再次經歷化歸的思維過程，并將“化曲為直”“化圓為方”的轉化策略板書出來，這樣在板書右側就將學習這部分知識所蘊含的數學思想方法呈現了出來。

化歸思想具有靈活性和多樣性，它并沒有一個統一的模式，可以在數與數、形與形、數與形之間進行轉化，由此就決定了感悟和形成化歸思想需要一個長期的、層次化的過程。在這個過程中我們應合理地設計好轉化的途徑和方法，逐步豐富認識、積累經驗，提升感悟水平，從而提升學生思維的靈活性。

三、滲透歸納思想方法，培養思維的概括性

歸納是指一種由特殊到一般的推理方法。歸納分為完全歸納和不完全歸納，而在小學數學教學中，由于小學生的思維能力較弱，一般都采用不完全歸納的方法。在小學數學教學過程中，無論是數學概念的形成， 計算法則的概括，還是運算定律、性質和關系的發現都離不開歸納的思想方法。同時，在“整理與練習”中，我們應打通知識之間的內在聯系，深掘習題背后的數學本質，讓學生在經歷從具體到一般的抽象概括過程中，真切地感受到歸納的思想方法，使學生的歸納概括能力、推理能力和探究發現能力得到培養。

蘇教版《數學》四年級上冊“兩、三位數除以兩位數”單元是小學階段整數除法教學的最后一個單元。在這之前，學生已經學習了除數是一位數的除法，本單元學習了除數是兩位數的除法，但對于除數是三位數的除法將不再學習。不過在以后的數學學習過程中，學生仍然會碰到除數是三位數的除法，如已知圓的周長求直徑（或是半徑）。為此，在“整理與練習”時，為了幫助學生歸納、總結出整數除法的計算法則（通則），課前先讓學生通過預學單自主整理單元所學內容。

預學單

46÷9= 689÷5= 264÷5=

89÷42= 632÷54= 552÷68=

通過計算，你說一說除數是一位數的除法怎樣計算？除數是兩位數呢？你覺得除法應該怎么算呢？

課堂教學時，讓學生先板演預學單中的6道計算題，隨后判斷正誤，尋找計算錯誤的原因并加以糾正。接著讓學生說一說“除數是一位數的除法怎樣計算？”“除數是兩位數的除法怎樣計算？”在自主整理的基礎上，學生交流了這兩種除法的計算法則，教師隨即追問“除數是三位數的除法又該怎樣計算？”，先讓學生大膽猜想，然后通過舉例加以驗證，從而得出除數是三位數的除法計算法則。最后，提出“整數除法應該如何計算？”這一總結性的問題。在前面除數是一位數、兩位數、三位數這三種特例研究的基礎上，學生通過自主探究、小組討論，最后歸納、總結得出整數除法計算法則：先從被除數的高位除起，除數是幾位數，就看被除數的前幾位；如果不夠除，就多看一位，除到被除數的哪一位，商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商1，要補“0”占位。每次除得的余數要比除數小。這樣的整理與練習既讓學生對除法有了一個整體認識，形成了結構較為完整的知識體系，同時又讓學生通過比較特例之間的異同點，突破特殊與一般之間的界限，在不斷總結、抽象中進行歸納，進而探究出新的規律，在此過程中，既培養了學生的推理能力，又培養了學生思維的概括性。

“整理與練習”課或許沒有太多的新知識發現，規律探尋，但在這些已經掌握的知識與技能背后，數學思想方法卻在不斷涌動。因此，在實際教學中，我們應充分發掘隱藏于知識內部的數學思想方法，并適時滲透和傳遞給學生，幫助學生形成解決問題的策略，積累數學活動經驗，進而提升學生的數學素養，為學生的終身發展奠基。

參考文獻

[1] 米山國藏.數學的精神、思想和方法[M].毛中正，吳素華，譯.成都：四川教育出版社，1986.

[2] 羅莎·彼得著.無窮的玩藝朱梧橙[M].袁相碗，鄭毓信，譯.大連：大連理工大學出版社，2008.

[責任編輯：陳國慶]