問題生根：數學結構化學習的應然指向

萬兆榮

數學結構化學習遵循數學知識本身的結構體系和學生的認知規律，注重科學設計問題情境，不斷啟發學生發現對他們來說具有意義的數學問題，從而引導學生基于自我的問題分析和問題解決，體驗到知識發生、聯結與創生的過程，真正實現教材知識結構向學生數學認知結構的轉化。本文以蘇教版《數學》五年級上冊“一位小數的意義”教學為例，探索小學數學“問與學”之間的結構化關系。

一、尋根“續問”， 讓學習在疑惑中引發沖突

良好認知結構的建立，取決于是否為學生呈現了良好的知識結構，教材雖然根據知識結構的特點排列，但它是以靜態的序列呈現的，而知識的結構性不等于學生認知的結構化要求，合理的認知建構應體現“知識廣度高、豐度高、完整性高、融合性高”[1]。這就要求教師分層次梳理教材。

1.讀“懂”教材，了解問題起點

數學學習是一種概念逐漸建構的過程，由整數到小數是認識的一次擴張，應該使學生逐步理解小數的意義[2]。蘇教版教材將一位小數的初步認識安排在三年級認識分數之后學習，這里更多關注小數與分數之間的線性聯接。四年級除了習題中出現一次2.5、1.2升后再沒接觸小數，五年級教材僅提供一至三位純“小數意義”理解的樣態，教材第1課時借助米、分米、厘米、毫米間的關系，進而抽象概括出分母是10、100、1000的分數都可以寫成小數，并以此類推出小數間的十進制關系，這里則注重了“小數概念”數學內涵層面上材料的呈現。第2課時單獨認識小數的計數單位及整理整數位順序表。學生在三年級學習的有關小數的知識，基本上停留在長度單位與人民幣單位背景上初步認識的一位小數，由于學生熟悉的小數多數集中在購物中對元、角、分的認識，一線教師通常喜歡圍繞這一主題展開教學。雖然學生對元、角、分的情境很熟悉，但借此理解的小數的含義并不十分清晰，且解決問題時大多依賴生活中的原型支撐。然小數來源于測量不能得到整數表示的結果，借助測量從米、分米等長度單位開始深入學習小數，通過直觀模型和實際操作，采用數形結合的形式建立小數與十進分數的聯系，既貼近兒童認知特點，又關注了知識結構的溝通，使學生對小數的認識過程更具伸展性，更利于從具象到抽象的模型建構，易于促進小數意義的科學理解。

2.讀“通”教材，發現問題脈絡

小數的意義以符號的含義為其存在形態，在學生對于為什么0.1=■的概念還不是很清晰的情況下，直接切入兩三位小數的意義理解，其思維跳躍性過大不利于綜合理解意義。另外，計數單位、數位與意義是否割裂地學，帶小數的意義是否避而不談，整數、小數的進率溝通等諸多問題，須要用結構視角審視、挖掘教材知識背后所蘊藏的思想方法與策略等，尋求學生心理發展與數學本身發展邏輯的整合。筆者認為，這部分內容可以重新整合，第1課時深刻理解一位小數的意義，在整數-分數-小數框架下，促進一位小數意義、計數單位及數位的“生根”建構，讓小數意義的探索更具廣度與高度。第2課時類推兩三位數的意義，讓學生自然建構起知識、能力及情意發展的整體結構，發展學生數學核心素養。

3.讀“透”教材，建立問題導向

將教材轉化為“學”材，要遵循從整體到細節的順序，按知識結構順序，科學地設計知識結構網絡，建立知識的縱橫聯系，將教材知識轉化為問題，思考教材中哪些知識可以轉化為問題以及轉化為什么樣的問題，使學生的認知結構由淺入深地轉化。小數最早產生于人們生產勞動中的丈量活動，因此，小數意義的起點要退回到最原始的“量、分”的概念的理解上來。從認知連續觀點看，教學從測量開始，還原到小數產生的實際思維情境之中，將認知結構中與新知識相關的知識激活，以提供新知識賴以成長是“生長點”。教學初始，教師借助自制的沒有刻度的“整米數”尺子教具，測量教室黑板的長、寬等，讓學生直觀感知從1米到10米、100米、1000米“量”的累加，由少到多、由薄到厚，強化1、10、100、1000……整數十進制關系，為理解小數的十進關系與整體“1”的聯系奠定基礎。當教師出示一根不足1米（約4分米）的物體后，提出問題：“現在還能用這根米尺測量嗎？怎么辦？”整1米尺不能測量比較短的物體，必然要進一步改進與創造分米尺、厘米尺。測量的直觀既感知了量的累加，又有量的減少，這里以越來越深化的“疑惑”驅動著學生的思考，使新的學習材料與認知結構中的適當觀念相聯結，更易于促進學生學習小數動機的生成，這樣真正的學習才能發生。

二、培根“探問”，讓學習在收獲中探究突圍

1.在思維的轉折處呈現問題

結構化學習是在正式學習新知識之前，提出一些與新知識內容有關的問題，以引起學生的注意與思考，是激活學生原有認知結構的有效方法。提出的問題應難易適度，落在學生的“最近發展區”，從“是什么”到“為什么”，改變為“怎么辦”，讓真實問題探究引發生成系列問題。教師再次引發思考：“如果還用米作單位，該怎樣表示這根較短的物體？”小數其實是分數的另一種表達形式，有效測量4分米的問題情境，使 0.1、0.4……之類的小數在分的過程中呼之欲出，直觀感知0.1米=■米、0.4米=■米的意義相同，有利于學生深刻體會到小數在表征上與整數具有相似規則和結構。

直觀形象、具體可感的實物測量輔助，為學生的思維發展由操作水平逐步走向分析水平鋪路架橋，那么圖示直觀可以幫助學生化具象為抽象，借助適當的模型和圖式等直觀手段，使得問題中的隱蔽條件明朗化。因此，要為學生提供實物結構圖式支撐表達，借助媒體技術支撐展示一個正方形與一個數軸，同時平均分成10份，這樣的1份就是0.1或■，讓學生自己數一數，從0.1開始讓學生數出0.1～0.9 各數，數與圖同時延展，繼而再增加1個格，此時的正方形正好滿格，學生數出10個0.1、10個■也就是1.0，同時是整數1。這里讓學生經歷兩次數數：第一次以0.1為單位數，第二次以■為單位數，能更好地幫助學生理解一位小數都是由0.1累加而成的，十分之幾是由十分之一累加而成的。這里讓學生理解小數就是十進分數的關系，也理解了小數與整數的十進制關系，同時一位小數的計數單位隨之建立，既在概念認識上突出了數學知識內在的邏輯結構，又增強了概念呈現的系統性。

2.在突破難點時激發問題

問題不僅是探究活動的開端，也是整個探究活動的核心，更是探究活動的衍生和歸宿。如何將帶小數的意義納入學生認知結構呢？這里，需要拋出能夠產生“核裂變”的問題，1.1是帶小數的核心起點，又是小數與整數十進制關系的突破口。當學生通過舉一反三深刻理解了諸如0.1～0.9這樣的一位小數與分數之間的關系后，教師借助數軸，引導學生思考：“照這樣數下去，還有比0.9再大些的小數嗎？你能在數軸上指出一些嗎？”學生在具象與形象之間自然轉換，體會小數個數的無限性，由此想到1.1、1.2……那么“1.1表示什么意思呢？你能自己說清楚嗎？”這一核心問題的推動，讓學生接觸最實際的問題，親歷發現和解決實際問題的過程，并將實際問題抽象成知識模型，進而借助已經掌握的學科知識和能力，對知識模型問題進行解釋。學生想到：“1再加上■、1再加上0.1、■……”認知在實物直觀、模像直觀進入了言語直觀，使學生在無意識的聯想、歸納、演繹、概括、判斷等過程中不斷地自我分化和自我修正。以0.9為切入點對一位小數0.9與1.1進行結構化呈現、結構化表達、結構化表征，組成大的小數意義知識群，讓核心結構成為關聯小數意義的主要線索，從而在學生腦子里產生遏制不住的問題“核裂變”。

3.在懸念迭起中揭示問題

有意義的學習是學習者必須具有意義學習的心向，即學習者主動地把符號所代表的新知識與其認知結構中原有的觀念加以聯系的傾向性[2]。只要找到問題起點生成的知識聯系主干線，找準知識元素的內涵與外延，才能構筑起“問與學”意義聯結的結構化學習歷程。矛盾沖突是構建認知結構的前提，在教學中探討如何造成認知沖突，形成問題意識，不僅具有激發學習動機的作用，而且具有誘發學習者調整認知結構，促成認知發展的作用。

計數器的巧妙使用，讓小數的意義與計數單位及數位相融相通，同時讓整數與小數之間的溝通自然融合。

師：計數器的個位撥上1個珠子表示1，10個珠子呢？

生：需要向前一位，也就是十位進1當10。

師： 如果在個位的后面也撥1個珠子應該當幾呢？這個撥下的珠子該落在什么位呢？”

生：0.1，

師：0.1是什么位？

生：小數位、一位小數位、不足1的位、個分位、十分之一位、分數位……

師：為什么是分數位，你是怎樣理解的？

……

在學生的猜測中呼喚出小數的最高位是十分位，對于為什么是十分位的解釋，學生有著自己的表達。學生在沖突中理性思考問題，結論的得出必須有充分的事實依據或嚴密的推理，最終揭示一位小數的數位是十分位后，從數學學科知識體系的角度對小數進行分析，在內結構、外結構和群結構的聯系間提煉與展開，當學生將新知識與原有認知結構中的知識適當建立起“非人為和實質性的聯系”時，意義學習就自然而然發生了[3]。

三、 扎根“追問”，讓學習在追求中建模突破

結構化學習不僅關注知識和技能的教學，更注重讓學生體會知識技能的發生和發展與學科融合的過程，讓學生在學中思，在思中悟，在悟中得，以此提高思維層次，有效解決學生的認知沖突，達成對知識的深刻理解。

1.漸進分化，強化深層問題構建

結構的形式化本身就是一種構造過程。在認識一位小數的意義后，教師追問：“你還想到了什么數？它們分別表示什么意思呢？”在追問中螺旋上升使得學生對于知識的理解有個逐漸深入的過程。為學生學習提供感悟、反思和積淀的機會與時間，使學生經常回到低水平思維中，使具體經驗與新知識相契合。例如：如果正方形再次細分又會得到怎樣的數？1.11米是什么意思呢？學生有了1.1米的基礎，不僅是1.11，諸如1.111等小數的意義也不難理解，只要抓住知識的中心與要領，統攬全局，使知識網絡化、系統化、整體化，既生長小數結構，又增強了學生對小數意義的理解，有利于建立深層次的認知結構。

2. 綜合貫通，促進多元問題衍生

學習從問題開始，但不一定以問題解決而結束，它是一個不斷發現新問題的過程，未知的問題推動著學生自覺前行。課末，教師提出：“對于小數的學習，你還想知道些什么？”學生想知道：小數的來歷、小數的計算、小數怎樣加減、怎樣乘除……讓學生回到具體經驗的體驗學習中，形成實踐-認識-再實踐-再認識的漸進和升華的過程，使得學習形成生活化、人文化、信息化和實踐化，拓寬了學習的方式、內容和方法，讓學習內容在更廣闊的背景上獲得全方位的充實和增加。結構化學習不是灌輸，而是點燃火焰，結構化學習的過程與科學家研究的過程在本質上是一致的，從自學、同伴互學，向網絡拓展，在問題的引領中像“小科學家”一樣去發明、創造，為兒童多元發展提供思維動力，讓課堂不斷生長著新的生命氣息，讓學生的學習逐步豐富，精細化，在自然中實現價值提升。

參考文獻

[1] 皮亞杰.結構主義[M].盧濬選，譯.北京：人民教育出版社，2015.8.

[2]杰羅姆·S·布魯納.教育過程[M].邵瑞珍，譯.北京：文化教育出版社，1982.

[3]王萍.認知結構及教學構建研究[M].北京：中國言實出版社，2008.

[責任編輯：陳國慶]