讓理性的數學課堂開出感性之花*
——淺談數學文化在函數概念教學中的應用

●周 燕 (蕭山區(qū)第二高級中學，浙江 杭州 311251)

●朱 哲 (浙江師范大學教師教育學院，浙江 金華 321004)

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讓理性的數學課堂開出感性之花*
——淺談數學文化在函數概念教學中的應用

●周 燕 (蕭山區(qū)第二高級中學，浙江 杭州 311251)

●朱 哲 (浙江師范大學教師教育學院，浙江 金華 321004)

高中數學課程改革的一個亮點在于強調了數學史和數學文化的重要性．在課堂上科學合理地滲透數學文化，能幫助教師更好地突破教學難點，激發(fā)學生學習興趣．以函數概念的教學為例，教師可以從實例的引入和符號的解釋入手，將數學文化融入課堂、輔助教學；同時可以借助函數概念的演變過程，將數學史穿插于教學之中，幫助學生走出函數概念的認知誤區(qū)．

數學史;數學文化;函數概念;數學教學

數學教學在大部分教師眼里，等同于解題技巧的傳授、運算能力的培養(yǎng)和邏輯思維的訓練．數學學習中過度的形式化和抽象性，使學生感到枯燥乏味．但其實數學也具有社會性，也和文化相通．歷史上的許多文化名人，往往本身就是數學家，如達芬奇和柏拉圖．事實上，對現代教師而言，數學教育不光要進行知識的傳播，還要注重文化的熏陶，使學生在學習過程中感受到數學科學價值和人文價值的統一．

德國數學家克萊因曾把函數比作數學的靈魂[1]，它在高中數學課程中占有重要的地位．但是函數的概念因其表述抽象、符號繁多，往往使學生望而生畏，從而難以入門．其實，函數的發(fā)展過程蘊含著豐富的實際背景和文化內涵，筆者認為：若能將其服務于課堂，則必能使教學達到事半功倍的效果．

以下是筆者關于如何將數學文化融入函數概念課的一些做法和構想，以期在完成教學任務的同時獲得更好的教學效果．

1 從豐富的實際背景中引入函數的概念

《普通高中數學課程標準實驗教科書(必修)·數學1(A版)》分別從炮彈高度、臭氧層空洞面積和恩格爾系數這3個實例引入，建構概念．這不僅能讓學生們體會到函數在實際生活中的廣泛應用，也能幫助他們突破對函數對應關系認識的局限性．教材上的實例雖具有科學性和典型性，但筆者認為它們缺少時效性和趣味性．這里，筆者以發(fā)射天宮二號運載火箭為背景，提供引入函數和建構概念的4個例子．

例1 2016年中秋節(jié)9月15日22時04分，搭載天宮二號空間實驗室的長征二號運載火箭在中國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射．下面，請同學們就發(fā)射過程探討以下4個問題．

1)火箭在進入正常軌道后，運動軌跡可近似地看成和地球共圓心的圓，那么請問此時天宮二號距離地面的高度h與時間t之間的關系是否為函數關系？

2)火箭發(fā)射時大致可看成是勻加速直線運動，那么它的速度v與發(fā)射時間t之間的關系(可以解出表達式)是否為函數關系？

3)發(fā)射過程中，火箭外的大氣壓P隨高度h的變化而變化(可給出大致曲線),請問P是否為關于h的函數？

4)發(fā)射天數t和燃料剩余情況y之間的關系(給出表格)是否為函數關系？

在一個大前提下完成概念的引入和建構的過程，可以使課堂顯得更加連續(xù)和完整，同時也能節(jié)約學生上課閱讀題干的時間，提高課堂的效率．另外,后面3個問題的研究正好涵蓋了用解析式、圖像和表格來反映對應關系的3種情況，可謂和教材的例題異曲同工，但卻更加新穎有趣、與時俱進．

2 從形象的比喻中理解符號的作用

《普通高中數學課程標準實驗教科書教師教學用書(必修)·數學1(A版)》中指出:本節(jié)課的教學難點在于函數概念及符號的理解．但教材中沒有提及為何要引入符號f.許多教師在解釋y=f(x)時也只是強調“f(x)是一個函數符號，表示y是x的函數”，這樣的效果往往不能讓人滿意．函數概念的歷史源遠流長，各種符號的出現也有其根源，若在課堂上穿插“f”的故事，生動形象地解釋“y=f(x)”的含義，不失時機地向學生滲透數學文化的價值，不僅能使他們更好地理解抽象的概念，更能培養(yǎng)他們對數學學習的興趣．

國外的教材稱函數為function，它是德國哲學家萊布尼茨于1673年最早引進的,因此書上常用f來表示函數中的對應法則．在我國，清代數學家李善蘭首次把英文“function”翻譯成“函數”．“函”即“匣”，盒子的意思．因此符號f可以看成是一個盒子，它的作用就是把放x進去之后經過一系列變換變成唯一確定的y值[2]．例如f(x)=2x+3，就是把x放進這個f的盒子后，它先乘以了2再加上了3得到一個新的數y．這個盒子就可以理解為函數概念的對應法則．在提出把f看成盒子之后，教師可以用“函數機器”的比喻來形容函數的對應關系[2]：即將f看成一個機器，例如解釋f(x)=2x+3時，可以給出如下圖1：

圖1

用生動的比喻和直觀的圖形解釋f的作用，可使對應關系形象化．另外函數機器的用法在后續(xù)學習求抽象函數定義域和求復合函數解析式時也有用武之地．

例2 已知f(x)=x4，g(x)=2x+3，求f(g(x))的解析式．

圖2

如圖2所示，課堂上可向學生解釋復合函數實際上是x經過了兩臺機器的先后作用：先由內機器g將x變成2x+3，再將2x+3作為整體經過外機器f的加工，變成(2x+3)4．

例3 已知f(x+1)的定義域為[1,2]，求函數f(3-x)的定義域．

抽象函數的定義域問題一直來都困擾著學生，教師在講解這部分內容時可以借助上述比喻，幫助學生更好地理解其做法．如圖3所示，即對于同一臺函數機器f而言，放進去的“產品”，即括號中的整體，其規(guī)格和型號都必須相同．

圖3

引入函數機器的比喻，將對應關系形象化、具體化，不僅可以有效減少概念的抽象性給學生的理解帶來的困難，而且能幫助學生更好地吃透函數概念中所蘊含的本質和精髓．

3 從函數的發(fā)展史中深化函數本質的理解

在教學中，教師往往會通過練習的形式或注意事項的提醒，來清除學生認知上的盲區(qū)．那么能否換個方式，讓學生在課堂上循著數學家們的腳步去尋找概念產生的歷史蹤跡；讓他們看一看困擾著他們的問題在歷史上是否也一樣困擾過科學家們；讓他們感受一下先人們是如何通過解決這些問題來推動函數概念的發(fā)展的．在具體教學中，教師可以按照以下流程，分4個階段介紹函數的發(fā)展史．

1)函數的萌芽.

法國數學家笛卡爾在《幾何學》中提出了變量的思想，同時引入兩個變量之間關系的數學概念．而科學家們在探索發(fā)現世界的過程中，特別是研究物體運動的過程中，不斷遇到各種需要能準確表示兩個變量之間關系的數學概念．

課堂上通過介紹函數的萌芽，讓學生感受到函數概念的產生并非是憑空的，而是社會和科學發(fā)展的結果．而數學知識的來源往往是樸素的，依賴于人們的直觀，這種質樸的數學思想，正是一種文化現象[3]．

2)函數是解析式.

1748年，歐拉在出版的《無窮分析引論》中明確指出：函數是由一個變量與一些常量以任何方式形成的解析表達式[4]．他認為一個函數就是一個解析式，一個函數對應一條連續(xù)的曲線[5]．

事實上，學生在初中時期所學的一次函數、二次函數、反比例函數，都是典型的具有一個解析表達式的函數，都是那個時代的產物．讓學生了解自己對函數認識的局限性，才能讓他們擁有重新學習函數概念的動力．

3)函數是對應.

18世紀后半葉，歐拉和拉格朗日允許函數在不同區(qū)域上有不同的表達式，這與18世紀數學家們對函數的認識和理解相沖突，比如函數

和

就不滿足“一個函數就是一個解析式”的觀點．但是隨著概念的擴充，這類函數也漸漸被納入了函數的大家庭之中．隨后，狄利克雷提出著名的函數

“一個函數對應一條連續(xù)的曲線”的觀點也不攻自破了．1837年狄利克雷給函數下了一個定義：如果對于給定區(qū)間上的每一個x值都有唯一的y值同它對應，那么y就是x的一個函數，至于在整個區(qū)間上y是否按照一種規(guī)律依賴于x，或者y依賴于x是否可以用數學運算來表達，那都是無關緊要的[6]．

在課堂練習“利用定義判斷函數”時，就可以引入上述兩個經典的函數．同時，教師可以通過講解這一階段歷史，讓學生走出“函數即是解析式”和“函數即是圖像”的誤區(qū)，深刻體會初、高中階段函數概念的區(qū)別．

4)函數是關系.

上述函數的概念雖然擺脫了解析式和圖像的制約，但是其中“依賴”“對應”等術語依然沒有明確的界定和解釋．而數學嚴格化的進程，要求函數的概念建立在已經定義的概念的基礎之上[6]．另一方面，19世紀末德國著名數學家康托的集合論的誕生以及映射概念的引入，為最終函數概念的完善奠定了堅實的基礎．

而這個定義就是今天教材上所給出的，它使得函數概念得到了空前嚴格的程度．函數概念的演變過程，是由人們對運動與變化的研究、對客觀世界的認識而推動的，經歷了不斷的爭論和完善，是許許多多數學家們智慧的結晶．

在實際教學中，有一部分教師認為在課堂上滲透數學文化，穿插數學史，會擠壓學生練習的時間，從而影響教學成績，這其實是片面的．在函數概念的課堂上，若能讓學生看一看它的內涵不斷被精煉、深化、豐富的過程，是一件十分有意義的事情，它既培養(yǎng)了學生的理性思維能力，又使學生接受了人文精神的熏陶．

4 結語

以上是筆者對于數學文化融入函數概念教學的一點想法和做法，具體在教學中操作的流程如圖4所示：

圖4

課堂上數學文化的滲透是為了讓學生在學習過程中形成“樂學”的態(tài)度．當數學文化真正豐富了課堂，融入了教學，學生心目中高冷的數學才會更“接地氣”，數學就會通過文化的層面進一步被學生所理解和熱愛．當然，這對我們眾多教育者而言，任重而道遠．

[1] 梁宗臣，王青建，孫宏安.世界數學通史[M].沈陽：遼寧教育出版社，1999.

[2] 倪露蘋.函數概念難點研究及教學設計研究[D].上海：華東師范大學，2015.

[3] 黃孝長.高中數學新教材中的數學文化[D].金華：浙江師范大學，2008.

[4] 克萊因.古今數學思想(第二冊)[M].上海：上海科學技術出版社，1979.

[5]StruikDE.ASourceBookinMathematics1200-1800[M].Cambridge,Massachusetts:HarvardUniversityPress,1969.

[6] 賈隨軍.函數概念的演變及其對高中函數教學的啟示[J].課程·教材·教法,2008，28(7)：49-52.

?2017-04-18；

2017-05-21

周 燕(1987-)，女，浙江寧波人，中學一級教師．研究方向：數學教育．

O122.1

A

1003-6407(2017)08-07-03