用蛛網巧釋浙江數列壓軸題*

●孫軍波

(溫嶺中學，浙江 溫嶺 317500)

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用蛛網巧釋浙江數列壓軸題*

●孫軍波

(溫嶺中學，浙江 溫嶺 317500)

借助蛛網工作法，從圖像角度形象地詮釋了2017年浙江省數學高考壓軸題，并借助圖像進行推廣延伸.文章通過數形結合簡議了對于這一類迭代數列的處理和命制思路，為解決和編制這一類型問題提供方向和思路．

蛛網工作法；不動點；數形結合；數列不等式

2017年浙江省數學高考仍以數列題壓軸.數列作為刻畫離散模型的重要函數，在高考中常與不等式相結合，這也是困擾學生的難題．筆者以2017年浙江省數學高考壓軸題為例，引入“蛛網法”，通過數形結合簡議這一類型數列的收斂、發散變化，希望能給大家帶來一些啟發與幫助．

1 考題再現

例1 已知數列{xn}滿足：x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(其中n∈N*),證明：當n∈N*時，

1) 0

(2017年浙江省數學高考試題第22題)

即

第3)小題是在第1)，2)小題基礎上的引申．若僅僅停留在就題解題，則不能使學生的數學能力得到提升．筆者將其和近幾年的一些高考題作了比較歸納，認為關注數列的收斂和發散可能是解決這一系列不等式的關鍵之處．借助圖像可以直觀地看透這類數列的變化．

從曲線的觀點，點(xn,xn+1)在曲線x=y+ln(1+y)上，按如下步驟作圖：第1步作點(x1,x2)，第2步過點(x1,x2)作平行于x軸的直線交y=x于(x2,x2)，第3步過點(x2,x2)作平行于y軸的直線交曲線x=y+ln(1+y)于(x2,x3)，依次類推……

圖1 圖2

2 方法溯源

上述方法有一個很形象的名稱——蛛網工作法[1]．對于an+1=f(an)(其中n∈N*)迭代生成數列的具體情況，往往不需要作很多計算，通過圖像觀察即可．此類數列變化主要有以下兩個規律:

命題1的證明略.

命題2 設數列{an}滿足遞推公式an+1=f(an),其中n∈N*，函數f在區間I上單調，同時數列{an}的每一項都在區間I中，則只有兩種可能：1)當f單調增加時，{an}為單調數列；2)當f單調減少時，{an}的兩個子列{a2k-1}和{a2k}均為單調數列，且具有相反的單調性．

分析 1)若f(x)在區間I上單調增加，假設a1

ak+2-ak+1=f(ak+1)-f(ak)>0．

若a1≥a2，同理用數學歸納法可證明an≥an+1．

2)可類比上述結論1)的證明過程．

根據命題2可作出如圖3和圖4所示的圖像．

圖3 圖4

3 題目改編

嚴格證明這兩個命題需要用到數學歸納法等，以上的幾何觀察在發現規律、提供思路和命題時是很有用的．

借助圖像，可以清晰地看出數列{xn}的變化，根據圖1和圖2，例1可作如下改編：

改編1 將x1=1改為x1>0，數列{xn}單調遞減且收斂于0，則結論1)，2)仍然成立，只是影響結論3)的結構形式.

改編2 將x1=1改為x1=-1，數列{xn}單調遞增且收斂于0，即

1)xn

改編3 將條件改為xn=xn+1+ln(1+xn+1)(其中n∈N*)，xn+10.

改編4 將條件改為x1=1,xn=xn+1+ln(1+kxn+1)(其中k>1,n∈N*)，結論1),2)仍然成立.

根據圖像，可以多角度清晰地去改編例1，其中曲線的變化和首項的范圍是影響數列收斂、發散的關鍵．

4 經典回顧

回顧近幾年的數學高考數列試題，均可用蛛網法解釋.

(2015年浙江省數學高考理科試題第22題)

圖5

分析 利用蛛網可以發現:點(an,an+1)在函數y=f(x)=x-x2上，借助不動點，按如下步驟作圖：第1步作點(a1,a2)，第2步過點(a1,a2)作平行于x軸的直線交y=x于(a2,a2)，第3步過點(a2,a2)作平行于y軸的直線交y=f(x)于點(a2,a3)，依次類推……(如圖5).

1)an

2)Sn>n-2；

3)Tn<3．

(2008年浙江省數學高考理科試題第22題)

圖6

(2014年重慶市數學高考理科試題第22題)

圖7

5 問題拓展

借助數形結合,可以看清此類迭代數列不等式的問題，也可以去命制此類數列問題，還可以去解決一些遞推關系為不等式的問題.筆者曾命制過一道地區高考模擬試題如下：

1)求證：an+2

2)求證：an>1．

圖8

因為

所以

an+2

2)假設存在ak≤1(其中k≥1,k∈N*)，由第1)小題可得當n>k時，an≤ak+1≤1．

于是

…

(1)

因此

這顯然與式(1)矛盾．故an>1(其中n∈N*)．

[1] 謝惠民，惲自求，易法槐，等．數學分析習題課講義(上冊)[M]．北京：高等教育出版社，2003．

?2017-06-14；

2017-07-03

孫軍波(1982-)，男，浙江溫嶺人，中學高級教師，教育碩士研究生.研究方向：數學教育.

O122

A

1003-6407(2017)08-48-03