代數(shù)運算在邏輯推理中萌生*

●安振平

(咸陽師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院，陜西 咸陽 712000)

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代數(shù)運算在邏輯推理中萌生*

●安振平

(咸陽師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院，陜西 咸陽 712000)

文章通過兩道數(shù)學(xué)問題，探究了代數(shù)運算過程中邏輯思維萌生的緣由，為學(xué)習(xí)解決數(shù)學(xué)問題、展開數(shù)學(xué)思維的邏輯推理，進(jìn)行了有益地實例思考.

變形化歸;代數(shù)運算;邏輯推理;萌生

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要積累基礎(chǔ)知識、總結(jié)解題方法、提煉數(shù)學(xué)思想.在模式識別、差異分析的過程中，進(jìn)行不斷地變更、變形、轉(zhuǎn)化和化歸，實現(xiàn)陌生問題熟悉化、抽象問題具體化、復(fù)雜問題簡單化.運用邏輯推理的力量實施代數(shù)運算、幾何直觀，以及數(shù)與形二者的雙向溝通.本文通過對具體問題的解題分析，談?wù)劰P者的一些思考，愿對讀者有所啟迪.

例1 過定點P(2，1)的直線l交x軸正半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標(biāo)原點，則△OAB周長的最小值為

( )

A.8 B.10 C.12 D.45

例1是某地區(qū)2010屆高中畢業(yè)生調(diào)研考試的一道測試題.關(guān)于該問題的討論在一些刊物上雖已多見，但尋找簡單明了的適合高中生學(xué)習(xí)實際的解答方法，依然是一個值得探究的有趣話題.

巧妙解答 設(shè)△OAB的周長為p，利用柯西不等式和二元均值不等式，得

解得

一般解答 引入待定正的參數(shù)m,n滿足m2+n2=1.利用柯西不等式和二元均值不等式，得

(添加因式，創(chuàng)造用柯西不等式的環(huán)境)

a+b+ma+nb=(用柯西不等式“化掉”根式)

(用二元均值不等式).

等號成立的條件為

解得

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、體驗數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)的進(jìn)程中，需要多問幾個為什么？問題的條件是什么？解題目標(biāo)是什么？為什么要這樣去實施變形？不這樣變形行嗎？根據(jù)自己的已有知識經(jīng)驗，你還有其他解答方法嗎？比如：對上文的變形問題，你能用條件“解代消元”后，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，運用求導(dǎo)方法解答嗎？

待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)解題的通性通法，你能感悟到其中的解題機智、解題智慧嗎？我們不妨再舉一例說明之.

本題為第二屆(2011年)陳省身數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題第6題，對左邊不等式可以用配方法證之；對右邊不等式，同樣可以利用二元均值不等式，并結(jié)合待定系數(shù)法實現(xiàn)證明.

證明 先證左邊不等式.因為

3(x2+y2+2z2)+2(3xy+yz+zx)=(作差變形)

3x2+3y2+6z2+6xy+2yz+2zx=(代數(shù)變形)

6z2+2(x+y)z+3(x+y)2=

(整理為主元z的二次三項式)

再證右邊不等式.利用二元均值不等式，得

從而

因此 2(3xy+yz+zx)≤ (3+a2)(x2+y2+z2)=

即

其實，應(yīng)用均值不等式解題，其要害是平衡系數(shù)、分配因子，而待定系數(shù)法能化“未知”為“可知”，實現(xiàn)問題的化歸.作為解題的通性通法，配方法和待定系數(shù)法是基本的、常用的，在學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)多加關(guān)注和重視.

從方法到能力、到思想，需要不斷地、反復(fù)地思考、探究、琢磨和總結(jié)，且行且思，我思故我在，唯有深思、遠(yuǎn)思、勤思，方可通過有限道問題的演練獲得解答無限道問題的思維智慧.

?2017-05-22；

2017-06-30

安振平(1961-)，男，陜西永壽人，陜西省特級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.3

A

1003-6407(2017)08-30-02