一道課本例題的解析、改編與變式*

●李旺強

(清水縣第六中學，甘肅 清水 741499)

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一道課本例題的解析、改編與變式*

●李旺強

(清水縣第六中學，甘肅 清水 741499)

例題講解是數學課堂教學中必不可少的環節.文章中執教教師對課例進行深入的挖掘，使其在引領本節所學知識應用的同時，通過題型的改編、變式以及與高考試題的對應銜接來進一步開闊學生的視野，提升學生的思維能力.

一題多解；題型改編；變式提升

人教A版《數學(必修2)》第2.2節“ 直線與平面平行的判定”，筆者在講授這一判定在具體問題中的應用時選用了課本上的例1作為示例，先讓學生自己審題、尋找解決方法，培養學生動手動腦的習慣以及分析問題、解決問題的能力，同時增強他們的數學語感，積累解題經驗.在讓學生上臺展示解法時，有學生提出了自己的見解與證明方法，針對學生的提議，筆者課后對其解法進行了歸納分析，并將課本例題進行了改編，同時增加了幾道相同或相似背景的變式題，以提高學生對直線與平面平行的判定定理的理解和應用.

例1 求證：空間四邊形相鄰2條邊的中點的連線平行于另外2條邊所確定的平面.

圖1

已知：如圖1，在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點，求證：EF∥平面BCD.

(人教A版《數學》第55頁例1)

該題涉及線段中點、平面幾何的相關性質以及空間幾何體等相關內容，主要考查學生對線面平行判定定理的理解與應用.通過此題的解答,掌握一些處理線面平行問題的相關思想和方法，重點考查學生的抽象能力和靈活處理立體幾何問題的能力.

1 多視角探析

1.1 利用中位線定理改編

證法1 聯結BD.因為E,F分別是AB,AD的中點，所以

AE=EB,AF=FD,EF∥BD.

又因為EF∥平面BCD，BD?平面BCD,所以

EF∥平面BCD.

評注 此證法直接借用題目已知條件，針對空間四邊形的幾何體結構，借用三角形中位線定理證明，簡單、明了.

改編1 如圖2，在空間四邊形ABCD中,G是CD的中點，E,F分別是AB,AG的中點，求證：EF∥平面BCD.

分析 由題意易證EF是△ABG的中位線.

圖2 圖3

改編2 如圖3，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中,點E是PD的中點，求證：PB∥平面AEC.

分析 聯結BD交AC于點O,聯結OE,則OE是△PDB的中位線.

變式1 如圖4，已知E,F,G,M分別是四面體的棱AD,CD,BD,BC的中點，求證：AM∥平面EFG.

分析 聯結MD交GF于點H，易證EH是△AMD的中位線.

圖4 圖5

變式2 如圖5，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D為AC的中點,求證：AB1∥面BDC1.

分析 聯結B1C交BC1于點E，易證ED是△B1AC的中位線.

高考聯結1 如圖6，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，O為AC中點，M為PD中點，證明：PB∥平面ACM.

(2011年天津市數學高考文科試題第17題)

圖6 圖7

高考聯結2 如圖7,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中點，證明:BC1∥平面A1CD.

(2014年全國數學高考新課標卷Ⅱ文科試題第18題)

1.2 構造平行四邊形或梯形改編

證法2 如圖8，設G,H分別是BC,CD的中點，聯結BD，EG,GH,FH,則

EF,

從而

EFGH,

故四邊形EFGH是平行四邊形.因為GH?平面BCD,所以EF∥平面BCD.

評注 該證法從已知條件“E,F分別是AB,AD的中點”出發，分別選取的中點G，H,采用構造平行四邊形的方式進行了證明，雖然有點走彎路，但也是一種解決辦法.

圖8 圖9

改編1 如圖9，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點,求證：D1O//平面A1BC1.

分析 聯結D1B1交A1C1于點O1,聯結O1B,OB，易證四邊形OBO1D1是平行四邊形.

分析 取PC的中點F，聯結EF，則易證四邊形ABFE是平行四邊形.

圖10 圖11

變式1 如圖11，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，點E,F分別為棱AB,PD的中點,求證：AF∥平面PCE.

分析 取PC的中點G，聯結EG，FG，則易證四邊形AEGF是平行四邊形.

分析 取DB的中點H，聯結GH,HC，則易證四邊形FGHC是平行四邊形.

圖12

高考聯結1[1]如圖13，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD對角線的交點，面CDE是等邊三角形，棱EF，證明：FO∥平面CDE.

(2011年天津市數學高考理科試題第19題)

圖13 圖14

高考聯結2 如圖14，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分別是PB,PC的中點.

1)證明：EF∥平面PAD；

2)若H是AD的中點，證明：EA∥平面PHC.

(2010年陜西省數學高考文科試題第18題)

1.3 利用對應線段成比例改編

證法3 如圖15，不妨設G是BC邊上一點,過點G作GH∥BD交CD于點H,則四邊形EGHF為梯形，從而

EF∥GH.

因為GH?平面BCD,所以

EF∥平面BCD.

評注 證法3直接觀察讓人有點匪夷所思，證法1可以說是簡單、直接、省事，是首選方法.可為何放著現有的平行線不用卻要畫蛇添足重新來做呢？仔細琢磨，證法3隱含了另一種題型的證明方法，如將題目中的已知條件改成邊之間的比例關系，或者涉及相似三角形等相關知識時，證法3大有用場.

圖15 圖16

圖17

2 逆向思維、溝通遷移

圖18 圖19

例3 如圖19，四邊形ABCD為正方形，△ABE為等腰三角形，AB=AE,P是線段CD的中點，問：在直線AE上是否存在一點M,使PM∥BCE平面？若存在，請指出點M的位置，并證明你的結論.

分析 過點M做MF∥AB,聯結CF,則當四邊形PCFM為平行四邊形時,PM∥平面BCE，故M是AE的中點.

學生是一個個鮮活的個體，對待問題有一定的思想和靈感.通過例1的解法展示可以看出學生對線面平行的判定理解得比較深刻，在具體問題應用時，能夠抓住本質進行必要的構造，解題思路清晰、新穎，有自己獨特的見解.再通過改編題使學生對線面平行的判定理解更為深入，應用更加靈活、恰當，同時也拓展了學生的思維，開闊了學生的視野.

3 結束語

改編題分別體現了相同(相似)背景下、不同背景下問題的求解策略，有效地刺激了學生的空間想象能力，也激發了他們的探究熱情，調動了他們學習的積極性和興趣性，使數學在他們內心中趨于有趣化、常態化.一道課本例題的解析、改編與變式使他們對本節知識的理解更加透徹[2]，使他們的思維隨著試題的改編、變式而呈螺旋式上升，讓課例發揮了應有的功能和作用.

[1] 李旺強．數學教學中“講”的再認識——對一個向量問題教學的思考[J].中學教研(數學),2016(9)：7-9．

[2] 曹鳳山.從課本例(習)題到高考題的若干命題途徑.[J]中學教研(數學),2012(1)：26-28．

?2016-12-10；

2017-01-15

李旺強(1982-)，男，甘肅清水人，中學二級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)08-27-03