基礎與能力并舉 經典與創新共舞*
——2017年浙江省數學高考試卷評析

●鄭日鋒

(學軍中學,浙江 杭州 310012)

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基礎與能力并舉 經典與創新共舞*
——2017年浙江省數學高考試卷評析

●鄭日鋒

(學軍中學,浙江 杭州 310012)

文章對2017年浙江省數學高考卷的特點、命題規律及命題的變化進行分析，指出試卷對教學的啟示．

試題特色；文理合卷；核心素養；復習教學

2017年是浙江省高考改革后的第一年，較往年最大的不同是采用文理合卷．2017年浙江省數學高考試卷依然堅持“起點低、坡度緩、層次多、區分好”的命題思路和命題風格，嚴格遵循國家課程標準、省教學指導意見及省考試說明，充分考慮文理合卷，試題起點低，角度寬，既系統、全面地考查了高中數學的基礎知識和基本技能，又多層次地考查了數學素養和學習潛能．試卷有較好的信度、效度與區分度，難度較前兩年有所下降，有利于高校選拔人才，并對高中數學教學具有良好的導向作用，可謂“基礎與能力并舉，經典與創新共舞”．

1 試題特色

1.1 注重基礎，體現人文關懷

試卷充分考慮到文理合卷的特點，從學科整體和思維價值的高度設計試題，體現人文關懷．試卷全面覆蓋了中學數學教材中的主干知識模塊，對數學基礎知識的考查，既全面又突出重點，層次分明．命制的試題既讓基礎薄弱的學生可動筆，不致于望題興嘆，也讓優秀學生感覺并不是那么容易，全卷沒有偏難題，絕大部分試題入口寬，不同層次的學生會有不同的認識，但方法選擇不當會導致耗時較多或出錯．

立足課本.試卷中第1～4，6，7，11～14，18題以及第19題第1)小題、第20題第1)小題、第21題第1)小題，都來源于課本，或從課本中的例、習題直接改編而來,體現了數學試題的基礎性．

考查概念.如第5題考查函數的極差，第6題考查等差數列的定義，第7題考查函數的單調性與導函數的符號的關系，解決這些試題只需概念清楚，無需多動筆．

降低起點.如第1～3，11，12，18題考查的知識點單一，考生如熟悉基本知識、基本方法，解決這些問題可以做到既快又對．

注重通法.試卷充分考慮了解題方法的大眾化與常規化，不在冷僻的技巧上設置問題．努力貼近學生在通性通法上下功夫，大部分試題中規中矩、不偏不怪，材料背景熟悉，設問方式常規，解題方法基本，和平時教學匹配度高，在考基礎、通性、通法上體現得濃墨重彩、淋漓盡致.同一個問題，可以有多個視角，進而可用多種方法，可以有效區分不同層次的學生的數學水平和能力，如第19題立體幾何題既可用空間向量法解，也可用傳統綜合法解．

例1 已知向量a,b滿足|a|=1，|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是______,最大值是______.

(2017年浙江省數學高考試題第15題)

思路1 利用向量加減法幾何意義及重要不等式，得

|a+b|+|a-b|≥2|a|,

|a+b|+|a-b|≥2|b|,

從而 |a+b|+|a-b|≥2max{|a|,|b|}=4，

當且僅當a,b共線時，等號成立，故|a+b|+|a-b|的最小值是4.由

思路2 利用向量的坐標表示及三角函數知識，設a=(1,0),b=(2cosθ,2sinθ),則

|a+b|+|a-b|=

從而

16≤t2≤20,

設置臺階，選擇題、填空題、解答題都分別由淺入深，每一道解答題分層設計，前一小題的解決為后面的小題作鋪墊，逐步化解難點，拾級而上，即便壓軸題也是如此．

1．2 能力立意，聚焦核心素養

試卷在考查數學基礎知識和基本技能的基礎上，注重數學思想方法、數學能力的考查，突出數學本質，檢測學生的數學理性思維及數學核心素養．

(2017年浙江省數學高考試題第17題)

本題表面上是已知含參數函數的最大值，求參數的范圍問題，本質是函數圖像的對稱性問題．

此方法需要學生運用觀察、類比、化歸的策略，考查了學生直觀想象、數學抽象、數學建模等數學核心素養．解決此題還可用通常的方法,如直接求f(x)的最值(分3種情況a≥5，a≤4，4

( )

A．γ<α<βB．α<γ<β

C．α<β<γD．β<γ<α

(2017年浙江省數學高考試題第9題)

此題要求比較三棱錐D-PQR的3個面與底面所成二面角的平面角的大小，過點D作DO⊥平面ABC,垂足為O,則O為正△ABC的中心.分別設O到直線PR,PQ,QR的距離為d1,d2,d3，則

問題可轉化為比較d1,d2,d3的大小．

圖1 圖2

如圖2，由已知得點P,O,C共線，∠RQC=90°，∠ROC=90°,故點R,O,Q,C共圓，于是∠ORQ=30°,∠PRO>30°,因此d1>d3.同理可得d3>d2,從而

d1>d3>d2, tanα

即

α<γ<β.

故選B．

本題將空間問題平面化，這是解決立體幾何問題的基本策略，如能畫出比較準確的圖形，利用直觀也可得出結論(但要嚴格論證需要有較深厚的平面幾何功底)，考查了學生直觀想象、推理論證等數學核心素養．

圖3

1)求直線AP斜率的取值范圍；

2)求|PA|·|PQ|的最大值.

(2017年浙江省數學高考試題第21題)

本題是一道解析幾何求變量的取值范圍或最值問題，考查坐標化思想、數形結合思想、函數思想及轉化思想，試題常規而不落俗套．

分析 1)直接利用經過兩個點的直線斜率公式，得直線AP的斜率為

2)關鍵是|PQ|的計算.根據題目給出的信息，利用勾股定理計算|PQ|較簡便．

|PA|·|PQ|=(k+1)3(1-k).

此方法利用勾股定理，避免了求點Q的坐標帶來的繁雜運算，也可利用向量法：

以上各種方法回避了韋達定理，借助圖形的性質或向量，減少了運算量，因此也是規避題海的一個典例，考查了學生的數學建模、直觀想象、數學運算等數學核心素養．

此外，試卷在數學知識的應用上也做足了文章，第20～22題都考查了導數的應用，凸顯了導數應用的廣泛性，考查了學生綜合運用數學知識、思想和方法解決問題及數學建模等能力．

1．3 演繹經典，彰顯鮮明特色

將以往的浙江省數學高考試題推陳出新，是浙江卷的一貫風格，2017年試卷尤其突出．

例5 已知數列{an}滿足：x1=1，xn=xn+1+ln(xn+1+1)(其中n∈N*).證明：當n∈N*時，

1) 0

(2017年浙江省數學高考試題第22題)

本題給出的遞推式中含自然對數，規避了題海，也是2017年試題的一個亮點，背景是泰勒展開式，考查導數的應用及放縮的策略．此題實際上是2006年浙江省數學高考理科壓軸題改編而成的．

圖4

例6 已知函數f(x)=x3+x2，數列{xn}(其中xn>0)的第一項x1=1，以后各項按如下方式確定：曲線y=f(x)在(xn+1,f(xn+1))處的切線與經過點(0，0)和(xn,f(xn))的直線平行(如圖4)，求證：當n∈N*時，

(2006年浙江省數學高考理科試題第22題)

例5的第3)小題與例6的第2)小題證明的是同一個結論．例6直接從導數的幾何意義出發設計問題，而例5隱去了導數的幾何意義，需要考生去挖掘，對考生的數學能力來說是挑戰．解決此題需綜合運用數列、不等式、導數知識及分析、觀察、歸納、猜想等能力及思維品質，入口寬，解法多樣，能綜合檢測考生分析問題、解決問題的能力及進一步學習的潛能與潛質．

再如2017年數學高考卷的第7題由2007年理科卷第8題改編而來；第15題由2014年理科卷第8題改編而來；第17題由2008年理科卷第15題改編而來；第21題由2008年理科卷第20題改編而來．如此密集地演繹經典試題，并且都是重點題，創下了歷年之最．

2 試題對教學的啟示

2017年試題秉承了浙江卷的特點，是文理合卷的一次有益探索，命題設計盡可能地從現實問題或幾何背景出發，構造出素材樸實、內蘊豐富的試題，充分體現數學的內在實質．試卷中的題目處處閃現著問題解決的智慧，既加強了概念考查，又突出對學生能力的考查，對課堂教學是一種很好的引導，引導教師、學生避免將大量的精力消耗在盲目套用所謂的解題技巧上．這給我們昭示了一個信息：會思考、具有良好思維品質的考生能考出優異的成績，也給我們的復習教學諸多啟示．

學生缺乏的不是技巧，而是基礎．在考試中，不少學生對概念、定理、公理等認識模糊，導致在遇到陌生問題時不知道如何運用所學知識去合理地展開聯想，進行有效地探究，選擇簡便的方法.他們解答了大量的習題，但“大運動量的訓練”不能使他們獲得思考和解決問題的能力．研究每一章節的典型習題，注重“源”與“本”的關系，才能提高學生對“雙基”的靈活運用．

高考試題源于課本與以往的高考試題，這是高考試題公平性的體現，以往的高考試題凝聚了命題教師的心血．可以通過專題的形式分條塊進行，引導學生厘清每一條塊是怎么考的，答題策略有哪些，蘊藏著哪些規律,問題的本質是什么．

數學重在思維，教學中教師需幫助學生縱橫梳理知識和方法，實現知識條理化、有序化、網絡化．對重點知識與重點方法，要理解準、透，對難點知識、方法適度開展探究式教學，從基本問題出發，從多角度探索、一題多變、策略提升、建立數學模型展開教學，幫助學生理解數學本質，提升學生的數學核心素養．

?2017-06-11；

2017-07-03

鄭日鋒(1962-)，男，浙江瑞安人，浙江省特級教師.研究方向：數學教育.

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1003-6407(2017)08-41-04